李述山

（山東科技大學(xué) 信息與工程學(xué)院，山東 青島 266510）

0 引言

Copula函數(shù)是連接隨機(jī)變量邊緣分布的連接函數(shù)，Sklar指出對(duì)于一個(gè)具有邊緣分布F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m的聯(lián)合分布函數(shù)F，一定存在一個(gè) Copula 函數(shù) C，使得 F(x1，…，xm)=C(F1(x1)，…，F(xiàn)m(xm)）。事實(shí)上，Copula函數(shù)描述了變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，運(yùn)用Copula技術(shù)來分析隨機(jī)變量間的相關(guān)性有很多優(yōu)點(diǎn)：與線性相關(guān)系數(shù)相比，由Copula函數(shù)導(dǎo)出的一致性和相關(guān)性測(cè)度可以捕捉變量間非線性相關(guān)關(guān)系，因此應(yīng)用范圍更廣、實(shí)用性更強(qiáng)；與基于聯(lián)合分布函數(shù)的建模方法相比，Copula模型更為靈活。這表現(xiàn)在如下兩個(gè)方面：一是Copula模型不限制邊緣分布的選擇，而且Copula函數(shù)有很多分布族；二是Copula模型將隨機(jī)變量之間的相關(guān)程度和相關(guān)模式有機(jī)地結(jié)合在一起，不僅可以得到度量相關(guān)程度的相關(guān)參數(shù)，還可以得到描述相關(guān)模式的Copula函數(shù)，可以更全面地刻畫隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系[1]。因此，Copula技術(shù)在相關(guān)性分析及風(fēng)險(xiǎn)分析等方面得到了廣泛的應(yīng)用。

當(dāng)我們用Copula函數(shù)來刻畫條件聯(lián)合分布時(shí)，就可以進(jìn)行條件相關(guān)性分析。本文擬建立條件相關(guān)性的概念以及條件相關(guān)性度量，提出相關(guān)性分析中Copula函數(shù)選擇的原則，通過構(gòu)建Copula-EGARCH模型，將兩個(gè)金融資產(chǎn)間的條件相關(guān)性轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化殘差間的相關(guān)性進(jìn)行分析，并進(jìn)行實(shí)證研究。

1 相關(guān)性度量與條件相關(guān)性度量

1.1 相關(guān)性度量

傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)已經(jīng)不適應(yīng)金融風(fēng)險(xiǎn)分析的需要，Kentalτ、α 上尾相關(guān)系數(shù) λL(α)、下尾相關(guān)系數(shù) λU、上尾相關(guān)系數(shù)λL、下尾相關(guān)系數(shù)已成為幾種最重要的非線性相關(guān)系數(shù)，它們?cè)诮鹑陲L(fēng)險(xiǎn)分析中具有重要的作用，且都可以由Copula進(jìn)行表達(dá)[1～4]：

1.2 金融時(shí)間序列間的條件相關(guān)性度量

對(duì)兩金融時(shí)間序列{Xt，t=1，2，…，n}，{Yt，t=1，2，…，n}，記Ψt為t及其以前時(shí)刻的信息集，我們關(guān)心的是在Ψt-1已知的條件下，Xt與Yt的相關(guān)程度。

定義1 稱在Ψt-1已知的條件下，Xt與Yt之間的相關(guān)性為Xt與Yt的條件相關(guān)性。

定義2 設(shè)在Ψt-1已知的條件下，Xt與Yt的聯(lián)合分布函數(shù)為 Ht(x，y)，邊際分布函數(shù)分別為 Ft(x)，Gt(y)，則存在一個(gè)Copula 函數(shù) Ct使得 Ht(x，y)=Ct(Ft(x)，Gt(y))，稱 Ct為(Xt，Yt)在Ψt-1已知條件下的條件Copula函數(shù)。

類似于非條件相關(guān)性度量，我們定義相應(yīng)的條件相關(guān)性度量。條件τ：τC，條件α上尾相關(guān)系數(shù)條件 α 下尾相關(guān)系數(shù)：條件上尾相關(guān)系數(shù)條件下尾相關(guān)系數(shù)：同樣它們可以由相應(yīng)的條件Copula函數(shù)進(jìn)行表達(dá)。

定義3 設(shè){Xt}，{Yt}為兩個(gè)隨機(jī)變量序列，定義在Ψ(t-1)已知條件下Xt與Yt之間的條件Kendall相關(guān)系數(shù)為：

τC=P{(Z1t-Z2t)(W1t-W2t)＞0}-P{Z1t-Z2t)(W1t-W2t)＜0}

其中(Z1t，W1t）和(Z2t，W2t)獨(dú)立且與(Xt，Yt)|Ψ(t-1)同分布。

τC度量了Xt與Yt在Ψ(t-1)已知的條件之下變化的一致性程度。

定義 4 設(shè) {Xt}，{Yt} 為兩個(gè)隨機(jī)變量序列，(Zt，Wt）=(Xt，Yt)|Ψ(t-1)的聯(lián)合分布函數(shù)為Ht(x,y)，邊際分布函數(shù)分別為Ft(x)，Gt(y)，則 Xt與 Yt在 Ψ(t-1)已知條件下的條件 α 左尾相關(guān)系數(shù)和條件α右尾條件相關(guān)系數(shù)分別定義為：

左尾相關(guān)系數(shù)和右尾條件相關(guān)系數(shù)分別定義為：

結(jié)論：設(shè)(Zt，Wt）=(Xt，Yt)|Ψ(t-1)對(duì)應(yīng)的 Copula 函數(shù)為 Ct，則

2 相關(guān)性分析中Copula函數(shù)的選擇原則

采用Copula技術(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析，就要求Copula函數(shù)要很好地刻畫各種非線性相關(guān)關(guān)系，這體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是Copula函數(shù)要能很好地?cái)M合實(shí)際數(shù)據(jù)；二是Copula函數(shù)要能夠充分反映各變量間的非線性相關(guān)性指標(biāo)。因此我們提出如下選取原則。

2.1 Copula函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的擬合程度要高

首先，所選擇Copula函數(shù)要通過擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，如K-S檢驗(yàn)、χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)等。文[9]引入了一個(gè)評(píng)價(jià)Copula函數(shù)的χ2擬合優(yōu)度的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法（以二元情況為例）：設(shè)(U，V)為邊緣分布均為[0，1]上均勻分布的隨機(jī)向量，(uk，vk)（k=1，2，…，n）為樣本，將[0，1]均勻分割成 m×m 個(gè)單元格 G(i，j)（i，j=1，2，…，m）記 Aij為落入單元格 G(i，j)內(nèi)的實(shí)際頻數(shù)，Bij表示落入單元格G(i,j)內(nèi)的理論頻數(shù)，則在原假設(shè)H0:(U,V)～C(u,v)成立時(shí)

漸進(jìn)服從自由度為m2-1的χ2分布。在實(shí)際應(yīng)用中，觀測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)過少的單元格通?？梢院喜ⅲ粜枰烙?jì)的未知參數(shù)個(gè)數(shù)為p，合并的單元格數(shù)為q，那么自由度將減少到m2-p-q-1。

其次，在通過擬合優(yōu)度檢驗(yàn)檢驗(yàn)的條件下，擬合程度越高越好。記C(u,v)與C～(u,v)分別為Copula函數(shù)及相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)，則的大小刻畫了 Copula函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度，Wn的取值越小，擬合程度越高。

2.2 能夠較全面地刻畫非線性相關(guān)性

Kendall的τ、α上尾相關(guān)系數(shù)與α下尾相關(guān)系數(shù)等是重要的相關(guān)性指標(biāo)，Copula函數(shù)的選擇要較好地反映這些相關(guān)性指標(biāo)。

（1）Kental的 τ：設(shè)(ξ，η)為二維隨機(jī)向量，基于(ξi，ηi)（i=1，2，…，n）((ξi，ηi)為(ξ，η)的樣本)的 τ的非參數(shù)估計(jì)量為[1]：

（2）α上尾相關(guān)系數(shù)與α下尾相關(guān)系數(shù)

記 C(u，v)為(ξ，η)對(duì)應(yīng)的 Copula 函數(shù)，(u，v)是相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn) Copula 函數(shù)，由于(u，v)是 C(u，v)的估計(jì)量，因此，我們用如下二式作為α上、下尾相關(guān)系數(shù)的非參數(shù)估計(jì)：

即用參數(shù)估計(jì)法得到的Kendall的τ、α上、下尾相關(guān)系數(shù)的估計(jì)要與上述非參數(shù)估計(jì)接近。

上述原則對(duì)條件Copula函數(shù)的選擇同樣適用。

3 基于Copula-EGARCH模型的條件相關(guān)性分析

假設(shè)X1t，X2t為t時(shí)刻兩項(xiàng)資產(chǎn)（或資產(chǎn)組合）的對(duì)數(shù)收益率，用Copula-EGARCH模型刻畫：

引理[2]連接函數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量的嚴(yán)格單調(diào)增變換是不變的。

由式（10）可以看出，在t-1時(shí)刻的信息集Ψt-1給定的條件下，Xt=(X1t，X2t)是 εt=(ε1t，ε2t)的嚴(yán)格增變換，因此有如下推論。

推論 收益率向量Xt=(X1t，X2t)在Ψt-1已知條件下的條件 Copula 函 數(shù) 與 標(biāo) 準(zhǔn) 化 殘 差 εt=(ε1t，ε2t) 的 Copula 函 數(shù) 相同，因此X1t與X2t之間的條件相關(guān)性與ε1t，ε2t之間的相關(guān)性相同。

由推論可以看出，X1t與X2t之間的條件相關(guān)性可以通過殘差 ε1t，ε2t之間的相關(guān)性獲得。 由于 εt=(ε1t，ε2t)（t=1，2，…，T）獨(dú)立同分布，可以視為來自同一個(gè)二維總體的樣本，因此ε1t，ε2t之間是常相關(guān)的，從而X1t與X2t之間的條件相關(guān)性是常相關(guān)的，其相關(guān)性參數(shù)可以用通常的參數(shù)估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)。

4 實(shí)證分析

本文采用上證綜指與深證成指數(shù)據(jù)，利用4種常用的Archimedean Copula[3～6]：Gumble Copula、Clayton Copula、GSCopula和BB1 Copula進(jìn)行實(shí)證研究 （Frank Copula不能捕捉尾部相關(guān)性，故不采用），其中GS Copula與BB1 Copula的分布函數(shù)的表達(dá)式分別為：

CGS(u,v,θ)=[1+((u-1-1)θ+(v-1-1)θ)-1/θ]-1（θ≥-1，θ≠0）

CBB1(u,v,θ,δ)={1+[(u-δ-1)θ+(v-δ-1)θ)1/θ}-1/δ（θ≥-1，θ≠0，δ＞0）

4.1 樣本選取與參數(shù)估計(jì)

本文采用的樣本數(shù)據(jù)為2000年1月4日至2008年6月27日的上證綜指與深證成指的收盤價(jià)pit（i=1，2），總樣本數(shù)為2009，以對(duì)數(shù)收益率為研究對(duì)象，對(duì)數(shù)收益率{rit}定義為:rit=100(lnpit-lnpit-1)，共2008對(duì)日收益率數(shù)據(jù)。

基于金融序列的尖峰厚尾特性，我們采用GED分布對(duì)EGARCH模型建模，用Eviews軟件對(duì)EGARCH模型（10）參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，通過編程對(duì)誤差分布進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Dn的結(jié)果見表1。

利用如上4種Archimedean Copula函數(shù)對(duì)二殘差序列進(jìn)行擬合，通過Matlab編程得到Copula參數(shù)的極大似然估計(jì)，將[0,1]2均勻分成6×6的單元格進(jìn)行χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，得統(tǒng)計(jì)量M（自由度），計(jì)算Wn的值，結(jié)果見表2。

表1說明兩個(gè)序列用EGARCH模型擬合具有良好的效果。表2表明在水平0.05下只有GS-Copula與BB1 Copula能夠通過χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，且BB1 Copula擬合效果最好。

4.2 Copula函數(shù)的確定與相關(guān)性分析

表1 模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果與K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Dn值

表2 Copula的參數(shù)估計(jì)值、及χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量M（自由度）的值以及Dn值

表3 τ、λU、λL的 Copula 估計(jì)值

表4 α條件上尾相關(guān)系數(shù)與α條件下尾相關(guān)系數(shù)估值

一方面，從表3及表4可以看出，4種Copula中只有GS Copula與BB1 Copula能夠較全面地反映α條件上尾相關(guān)性、α條件下尾相關(guān)性以及條件τ，因此，只有GS Copula與BB1 Copula能較好地反映上證綜指與深證成指之間的條件相關(guān)性。

另一方面，由GS-Copula與BB1-Copula得到的相關(guān)性指標(biāo)可以看出，上證綜指與深證成指之間具有很強(qiáng)的條件相關(guān)性，條件接近0.75，條件τ上尾相關(guān)系數(shù)、條件下尾相關(guān)系數(shù)都在0.7以上。

5 結(jié)論與分析

本文類似于通常的非線性相關(guān)性度量，建立了條件τ等幾個(gè)條件相關(guān)性度量，提出了相關(guān)性分析中Copula函數(shù)選擇的兩個(gè)原則，通過構(gòu)建Copula-EGARCH模型，將兩個(gè)金融資產(chǎn)間的條件相關(guān)性轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化殘差間的相關(guān)性進(jìn)行分析，對(duì)上證綜指與深證成指數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)在常見的幾種Archimedean Copula中GS-Copula與BB1 Copula對(duì)金融市場(chǎng)相關(guān)性的描述具有良好的效果，能夠較全面地反映兩個(gè)市場(chǎng)之間各種非線性相關(guān)性，并且滬市與深市之間的條件相關(guān)性很強(qiáng)。同時(shí)，通過GS-Copula與BB1 Copula得到的相關(guān)性指標(biāo)可以看出：滬市與深市之間具有很強(qiáng)的條件相關(guān)性，并且在下跌時(shí)條件相關(guān)性更強(qiáng)。這說明如下三個(gè)問題：第一，兩市具有共同的外部影響因素，如重大的利好或利空消息或其它市場(chǎng)的信息會(huì)對(duì)兩市制造類似的影響，即市場(chǎng)的外部驅(qū)動(dòng)是類似的；第二，身在滬市的投資者密切關(guān)注著深市的市場(chǎng)變化，反之亦然；第三，投資者對(duì)其它市場(chǎng)的變化相當(dāng)敏感，對(duì)其它市場(chǎng)下行變化更加敏感。

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