封 軍,鄭 誠,鄭小波,肖 云

(安徽大學(xué) 計算智能與信號處理教育部重點實驗室，安徽 合肥230039)

在現(xiàn)實世界中，許多復(fù)雜問題可以被描述成有向圖及在其上的遍歷問題，其中具有代表性的實例是WWW的站點訪問[1]，可以把每個網(wǎng)站站點模擬成一個有向圖，圖中的頂點代表Web頁面，并代表一個頁面到另一個頁面的鏈接，用戶在網(wǎng)站上訪問的頁面記錄可以看成在一張圖上的遍歷，一旦所有的遍歷都給出，即可從中挖掘出有用的信息知識。這些信息知識的表現(xiàn)之一就是頻繁模式的挖掘發(fā)現(xiàn)。而通過這些頻繁模式的發(fā)現(xiàn)，不僅可以改進網(wǎng)站系統(tǒng)的性能，而且還可以相應(yīng)地制定出市場決策(例如在用戶經(jīng)常訪問的Web頁面做產(chǎn)品推銷和廣告發(fā)布等)。此外，如超文本訪問、人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成等，都可以通過圖來模擬其基本特征。所以，圖遍歷模式挖掘一直是一個研究熱點。

針對帶權(quán)值的有向圖的挖掘已不再有效,例如Apriori、FP-增長算法等[4]傳統(tǒng)挖掘算法。本文為了解決加權(quán)有向圖遍歷挖掘的問題，提出一種基于有向加權(quán)圖權(quán)頻繁模式挖掘算法，簡稱GTWF算法。對于加權(quán)圖遍歷模式的挖掘，傳統(tǒng)的圖挖掘沒有考慮到帶有權(quán)值的圖遍歷模式挖掘[5]，對于此項研究，先前的工作大多是與挖掘加權(quán)關(guān)聯(lián)規(guī)則和其子問題——加權(quán)頻繁項集有關(guān)的，而沒有考慮到帶有權(quán)值的圖遍歷問題。

1 基本概念

圖1 加權(quán)有向圖

定義1加權(quán)有向圖：給某個有向圖的每個頂點加上相應(yīng)權(quán)值，這些權(quán)值各自代表相應(yīng)頂點的重要程度，這樣的圖稱作加權(quán)有向圖。

例如圖1,如果把這個有向圖看作一個Web站點的結(jié)構(gòu)圖，則它有 7個結(jié)點{A,B,C,D,E,F,G},每個頂點分別代表一個網(wǎng)頁，還有9個邊，他們代表兩網(wǎng)頁之間的鏈接，并且在每個結(jié)點有一個相應(yīng)的權(quán)值,這個權(quán)值可以代表用戶對這些Web頁面的興趣度[6]，這樣的權(quán)值可根據(jù)用戶在Web頁面上的停留時間、用戶對Web頁面訪問行為[2](網(wǎng)頁滾動條的次數(shù)、被收藏的次數(shù)等)或訪問Web頁面的用戶數(shù)進行分析和評估得出。

定義2路徑遍歷數(shù)據(jù)庫(Path Traversal Database),如表1,把所有關(guān)于有向圖上的遍歷路徑綜合到一個數(shù)據(jù)庫D中，這個的數(shù)據(jù)庫稱為路徑遍歷數(shù)據(jù)庫。例如，用戶對某一Web站點訪問時，把他們各自訪問所有Web頁面按訪問的先后順序進行排列后，得到一系列訪問路徑，這樣的路徑稱為在站點結(jié)構(gòu)圖上的遍歷路徑。如路徑遍歷模式P：＜B,C,E,F＞,即為圖1中的一個遍歷路徑。

定義3支持度，把某一遍歷路徑模式P在上述數(shù)據(jù)庫D中出現(xiàn)的次數(shù)記為count(P),稱為P的支持數(shù)。關(guān)于上述數(shù)據(jù)庫D，設(shè)|D|為所有遍歷路徑的總數(shù)。所以P的支持度可以如下定義：

表1 路徑遍歷數(shù)據(jù)庫D

定義4可擴展模式[3]，若一個模式P擴展為長度更長的模式后，有可能成為頻繁模式，則稱模式P為可擴展模式。如果判斷一個模式P是否具有可擴展性，則P要滿足下述情況，給定一個最小支持數(shù) minsup，若 k-模式 P要擴展到 k+1模式，必須滿足 count(P)＞=minsup，則稱模式P具有可擴展的可行性(Feasible)。例如，設(shè)定最小支持數(shù) minsup=2，有 2-模式 P：＜A，B＞，從上述訪問路徑數(shù)據(jù)庫 D中得出 count(P)=2,然后可得 count(P)＞=minsup,則 P具有擴展 3-模式＜A,B,C＞或＜A,B,D＞的可行性。

定義5權(quán)支持度[3](weighted support)，如模式P的權(quán)支持度(wsupport)可定義如下：

這里 V＝{v1,v2,...,vn}為圖的頂點集合,每一個頂點 vj有一個權(quán) wj≥0，wj∈W,W={w1,w2,...,wn}。

定義6權(quán)頻繁模式[3]，如果 P為權(quán)頻繁模式，則 P的權(quán)支持度(wsupport)一定要大于或等于給定的一個最小權(quán)支持度(minwsup)。數(shù)學(xué)表達式如下：

所以根據(jù)式(1)、式(2)和式(3),如P是權(quán)頻繁項,可以得到以下的不等式：

把式(4)右邊進行向上取整，得到的值定義為P支持數(shù)的較低限度(lower bound)，簡稱為sbound(P)。如式(5)：

最終，綜合式(4)式和式(5)，可以得到以下定義，當count(P)≥sbound(P)時，模式 P為權(quán)頻繁模式。

2 基于加權(quán)有向圖的權(quán)頻繁模式挖掘算法

本文提出的基于加權(quán)有向圖的權(quán)頻繁模式挖掘算法(簡稱GTWF算法)過程與傳統(tǒng) Apriori算法基本相似，最主要的過程是剪枝步和候選項的產(chǎn)生，不同的是GTWF算法提出模式的可擴展性的概念，并把它應(yīng)用到剪枝和候選項產(chǎn)生操作中，這樣可以找出可能具有權(quán)頻模式的所有模式。下面，對GTWF算法的過程進行詳細描述。

2.1 剪枝步

在本文算法中，剪枝操作主要是把沒有可能成為權(quán)頻繁模式的候選項剪掉，保留那些有可能成為權(quán)頻繁模式的候選項。由定義4可知，如果模式P滿足條件count(P)≥minsup，則它具有可擴展性，否則 P從候選模式集中剪掉。

結(jié)合定義4可得出下列算法：

2.2 候選項的產(chǎn)生

本文算法的候選項主要是從可擴展模式集中產(chǎn)生的，如果一個可擴展 k-模式＜p1,p2,…,pk＞的兩個(k-1)-子模式＜p1,p2,…,pk-1＞和＜p2,p3,…,pk＞都是可擴展的，則它們之間有完全向下閉合性。當存在完全向下閉合性時，則可以從可擴展的k-模式集Ck產(chǎn)生一個候選(k+1)-模式集Ck+1，算法描述如下：

2.3 基于有向加權(quán)圖權(quán)的頻繁模式挖掘算法（GTWF算法）步驟

GTWF算法的主要過程與Apriori算法基本相似，就是把剪枝操作算法與候選模式產(chǎn)生算法結(jié)合在一起。下面是GTWF算法的詳細步驟：

2.4 實例分析

通過圖1和表1數(shù)據(jù)做GTWF算法相應(yīng)的實例分析。假設(shè)最小權(quán)支持度minwsup=5，最小支持數(shù)minsup=2。下面根據(jù)GTWF算法步驟做具體實例分析。

(1)根據(jù)算法步驟 1，掃描路徑遍歷數(shù)據(jù)庫 D，得出權(quán)頻繁模式的最大可能長度u=4,總的數(shù)據(jù)庫記錄數(shù)|D|＝8。

(2)根據(jù)算法步驟2，初始化長度為1的候選模式如下：

C1={＜A＞,＜B＞,＜C＞,＜D＞,＜E＞,＜F＞,＜G＞}

(3)表 2、表 3、表 4和表 5是根據(jù)算法步驟 3、步驟4、步驟5循環(huán)執(zhí)行所得出的結(jié)果。

得出最終的權(quán)頻繁模式集為：{＜C,E＞,＜B,C,E＞}。

3 實驗分析

本實驗是在 Pentium4 3.0 GHz，內(nèi)存為1GB的PC上進行，算法的實現(xiàn)環(huán)境為VC++6.0和SQL Server 2005。實驗數(shù)據(jù)是合成數(shù)據(jù),實驗數(shù)據(jù)中加權(quán)圖的頂點數(shù)(v)最多有500個，頂點權(quán)值(w)范圍為 0＜w≤12。合成路徑遍歷數(shù)據(jù)庫|D|=10 000,最小權(quán)支持度(minwsup)可分別為1,2,3,4,5。最小支持數(shù)（m）可分別為 2，3，4，5。

表2 一項模式集

表3 二項模式集

表4 三項模式集

表5 四項模式集

實驗研究了不同的最小支持數(shù)閾值、最小權(quán)支持度閾值、候選遍歷模式數(shù)、圖的頂點數(shù)與運行時間的關(guān)系。圖2、圖3分別進行算法性能評估。圖2(a)主要說明不同頂點數(shù)與執(zhí)行時間的關(guān)系——隨著圖頂點數(shù)的增加，算法執(zhí)行時間也是遞增的。圖2(b)主要說明候選遍歷模式數(shù)與執(zhí)行時間的關(guān)系——隨著候選遍歷模式數(shù)目的增加，執(zhí)行時間也是呈遞增狀態(tài)。圖3隨著最小支持數(shù)(m)的增加，執(zhí)行時間將減少，因為當最小支持數(shù)增加時，可擴展模式數(shù)就越來越少，相應(yīng)的剪枝等操作也少了，所以執(zhí)行時間就變少。另外圖中還說明隨著最小權(quán)支持度（minwsup）的增加，執(zhí)行時間也減少，因為隨著最小權(quán)支持度的增加，從算法循環(huán)一開始，可確定的權(quán)頻繁模式就減少，直接導(dǎo)致可供下次循環(huán)的候選模式也減少了，從而減少了搜索和剪枝等操作，所以執(zhí)行時間就減少。

本文主要分析討論了通過加權(quán)有向圖的遍歷來挖掘權(quán)頻繁模式的問題，提出了解決此問題的GTWF算法。在算法中，利用權(quán)支持度、可擴展模式和權(quán)頻繁模式等概念，并通過剪枝操作和候選模式產(chǎn)生操作來實現(xiàn)算法對圖遍歷模式的挖掘，最后通過實驗對算法的性能進行了驗證。實驗結(jié)果表明算法在可伸縮性與執(zhí)行性能等方面具有較好的效果。

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