韓祥臨 ，范光歡

(湖州師范學院 理學院, 浙江 湖州 313000)

1 預備知識

高斯函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)論函數(shù)中的一個重要函數(shù)，它在近現(xiàn)代數(shù)論和其它數(shù)學學科都有相當廣泛的應用，并頻頻地出現(xiàn)于各個級別的數(shù)學競賽中，這足以顯示出它的重要地位。這類問題的解決需要對它的定義、性質作深刻的理解，并且解題要求有很強的技巧。這里，我們先簡述高斯函數(shù)的定義和基本性質[1-2]，為探討含高斯函數(shù)項方程的求解方法做準備。

定義：高斯函數(shù)[x]又稱取整函數(shù)，即對任意實數(shù)x，x是不超過 的最大整數(shù)，稱[x]為x的整數(shù)部分，與它相伴隨的{x}是小數(shù)部分。

性質：(1)y=[x]的定義域為R，值域為Z；(2)y={x}的定義域為R，值域為[0,1)；(3)對任意實數(shù)x，都有x=[x]+{x}，且0≤{x}<1；(4)對任意實數(shù)x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x?x-1<[x]≤x<[x]+1；(5)若[x]=n，則n≤x

2 含高斯函數(shù)方程解的探求

含高斯函數(shù)的方程已經由許多學者從不同角度進行了探討[3-7]，這里結合具體實例對相關方法進行歸類總結，并進一步進行分析。

2.1 換元法

含高斯函數(shù)項方程中主要類型為[f(x)]=g(x)型，其中f(x)，g(x)均為有理系數(shù)多項式，解決此類方程主要應用換元法。此方法主要應用了[x]為整數(shù)，令g(x)=t，并結合性質(3)、(4)、(5)確定t的取值，最后根據(jù)t的取值情況求出x的值。

說明：(1)當方程形如{f(x)}=g(x)時，應用定義x=[x]+{x}將{f(x)}轉化為f(x)-[f(x)]，這樣便把問題轉化成了[f(x)]=g(x)型；(2)當方程形如{f(x)}=g(x)時，利用性質(3)有0≤g(x)<1，進而可求出 的范圍，從而確定f(x)的取值范圍，最后就可求解x的值；(3)之前所用的換元法都是將[f(x)]=g(x)中的g(x)換為整數(shù)t，事實上，若令[g(x)]=n，再由性質5對原方程進行變換，求出n，從而確定x，也可以很容易地解決含高斯函數(shù)的方程。此類換元適合f(x),g(x)都為1次或2次整系數(shù)多項式的情形。

2.2 圖像法

圖像法作為解決問題的一個常用方法，在含高斯函數(shù)項方程中，由于y=[x]的圖像為階梯形。充分利用這一特點，采用圖像法可使問題變得簡單。

例2：解方程x3-[x]=3

2.3 放縮法

該方法充分利用了性質(4)，用x-1和x分別作為替代[x]的上下界，得到一個關于x的不等式組，解此不等式組確定x的可能取值，經驗證得到x的取值。該方法適用于方程中只含一個高斯函數(shù)項的情形。特別是當方程形似于普通一元二次方程的情形。

例3:求方程3x2-20[x]+12=0的實數(shù)解

解：由x-1<[x]≤x可將原方程化為不等式組

(1)

2.4 構造法

構造法有兩種情形：(1)由定義構造，即利用x=[x]+{x}或x=n+r,(n∈Z,0≤r<1)變形原方程；(2)配方法。在使用構造法時所要求的技巧很強，必需對題目進行充分地分析。

例4：求x3-[x]=3的解

大家熟知的配方法(事實上也是變形法的一種)在解高斯函數(shù)方程中也有出現(xiàn)。

2.5 分區(qū)間討論法

此方法實質上為分類討論法。當方程中含有高次多項式，特別是當該高次多項式所對應的函數(shù)圖像是不熟悉的無法準確作圖，甚至無法作圖時，該方法就充分體現(xiàn)了其優(yōu)越性(其思想類似于含絕對值方程中的去絕對值過程)。

例6：解方程3x3-[x]=3

2.6 一類特殊方程的解法

這里重點討論形如[f(x)]=[g(x)]的方程的求解，可用性質8若[x]=[y]，則|x-y|<1求解。

(3)

于是，由性質6 當1-2x∈Z時，

3 結語

因為含高斯函數(shù)項方程求解的方法具有多樣性和靈活性的特點，所以對這類問題的求解比較困難。本文從六個方面分類予以探討，并舉例進行了分析與說明。這無論對大學數(shù)學的教學與研究，還是對中學生的思維都有一定的幫助，并且此類題使得學生有機會接觸到經典的數(shù)學知識，對提高中小學生的學習興趣也有相當?shù)囊嫣帯．斎?，含高斯函?shù)項方程求解是一個非常困難的大課題，今后我們還有待繼續(xù)予以深入地研究。

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