王 葵，商 瑩

（1.山東大學，濟南 250013;2.山東電力工程咨詢院有限公司，濟南 250061）

0 引言

電磁暫態(tài)程序（EMTP）最初版本Transients Program（TP），是H.W.Dommel在60年代后期完成的。我們也稱EMTP為Dommel-Meyer（DM）scheme。DM結合了貝瑞隆Bergeron方法和梯形法，形成了求解暫態(tài)過程的一整套算法。此方法可以求解集中參數或分布參數的單相或多相網絡方程[1]。

最常見的非線性元件有非線性電感和非線性電阻。EMTP用補償法和分段線性化法2種技術解決非線性問題。分段線性化就是把非線性元件的特征曲線用幾段具有不同斜率的直線段來表示，即把曲線近似的等值為折線。補償法是將非線性元件看成電流源，將不含非線性元件的線性部分做戴維南等效，最后應用疊加原理得出最后結果[2]。

本文將在介紹非線性電阻和非線性電感的基礎上，對三角形連接的非線性網絡進行理論證明和仿真。新方法具有普遍性，可以擴展EMTP的節(jié)點分析法，使之容納更多數量的非線性元件[3]。

1 非線性元件分析

1.1 非線性元件

非線性元件如圖1所示。

圖1 與線性網絡連接的非線性元件電路

電流ikm必須滿足以下2個方程：

下標0表示無非線性元件時的電壓，即戴維南開路電壓。RThev是線性部分等效電阻。方程（2）是非線性元件特性方程。

如果方程（2）是解析表達式，就要用牛頓法迭代求解。如果方程（2）是將非線性元件應用分段線性化技術處理的，則無需迭代就可以找到2條曲線的交點[4]。如圖2所示。

圖2 2個方程的聯立解

對于含有多個非線性元件的電路，如圖3所示，我們首先計算戴維南等效電路。

圖3 與線性網絡連接的非線性元件電路

對每一個非線性元件，從線性網絡中流出的電流等于流入的電流。

1.2 EMTP的局限

EMTP補償法要求流入非線性元件的電流等于流出的電流。在如圖4的情況下，非線性元件類似三角形連接，使得Ia≠Ia′，因此，EMTP補償法無法計算戴維南等效電阻。在EMTP中三角形連接的真的非線性元件是無法運行的[5]。

圖4 類似于三角形連接的非線性元件電路

2 牛頓-拉夫遜法非線性元件模型

圖5（a）中假定非線性電感和非線性電阻是電流控制型的。圖5的狀態(tài)方程為

解：第一步是用數值計算公式將方程離散化，并且寫作代數方程。應用梯形公式可得，

圖5 非線性電流控制的電阻和電感電路圖和它的線性伴隨電路

這里下標表示時間步序，步序n是已經完成的一步，步序n+1是下一步。

應當指出，λn+1和vR,n+1分別是在時刻tn+1的近似值λ和vR。

方程式（5）是一般意義的隱式非線性方程，它可以通過牛頓－拉夫遜的方法求解。

令

由牛頓－拉夫遜法得，

這里

這里上標是牛頓－拉夫遜迭代步序，迭代步序j被看作是完成的一步，迭代步序j+1是下一步。

方程式（9）、（10）定義了雅可比函數，增量電感和增量電阻，它們分別是在時間步序（n+1）和牛頓－拉夫遜迭代步序（j+1）處定義的函數。

也即

這里

因此式（12）是視在電感和視在電阻，它們決定了最終的解。電感增量的倒數（d i/dλ）或電納增量的倒數（d i/d v）用于求解節(jié)點電壓，視在電感的倒數（i/λ）或視在電納的倒數（i/v）用于求解非線性元件支路電流。然而當用牛頓－拉夫遜方法求解非線性電路時，增量電感和電阻也參與迭代。這表明，當迭代收斂時，視在電感和視在電阻決定了精度。增量電感和增量電阻則影響牛頓－拉夫遜法的迭代次數，但不會影響精度[6]。

3 算例證明

新算法有2個循環(huán)迭代，時間步序n的迭代和牛頓－拉夫遜步序j的迭代。新模型中假非線性元件Type-96－99不需要進行j迭代，不需要再次三角因子分解；真非線性元件需要2個迭代，j迭代一般2到3次即可以收斂，三角因子分解中，需要修改和非線性元件有關的部分元素。

非線性元件二極管的伏安特性如圖6所示。其中v1=-0.5，v2=0，v3=0.6，v4=0.9。v1至v2段簡化為直線，斜率為k1=（i2-i1）/（v2-v1），v3至v4段亦簡化為直線，斜率為k2=（i4-i3）/（v4-v3），EMTP中非線性元件一般都是這樣線性化處理的，如ZnO避雷器的低電壓段。

圖6 非線性元件二極管的伏安特性

只有v2至v3段有解析表達式，iD=Is（eVD/VT-1），所以稱二極管為非線性元件。它是一個電壓控制型的非線性元件。

上式中Is=10-15A，vT=0.025 V，非線性電阻為

圖7電路用來證明本算法的正確性。非線性元件二極管做三角形連接，這在EMTP中是不運行的。在EMTP中3個三角形連接的TYPE－96或3個三角形連接的TYPE－93電路都是不能運行的。圖8（a）中，Ra，Rb，Rc為線性電阻；La，Lb，Lc為線性電感；Da，Db，Dc為非線性二極管。它的伴隨電路如圖8（b）所示。

用節(jié)點電壓法求各節(jié)點電壓[I]=[Y][U]

其中Y為節(jié)點導納矩陣，

圖7 三角連接二極管電路及其伴隨電路

運行結果如圖8所示。電源電壓ea，eb，ec和節(jié)點va，vb，vc為正弦波電壓，負載節(jié)點電壓v4，v5，v6為交替導通的正向電壓。電源電流iLa，iLb，iLc在2～3個周波的暫態(tài)后變?yōu)檎也娏?。負載二極管電流i45，i56，i64為正向導通電流，電流值大于0，電流交替達到最大值。

圖8 三角形連接二極管電路的運行波形

結果表明牛頓-拉夫遜法非線性元件模型算法是正確的。

運行結果還表明，牛頓-拉夫遜法非線性元件模型具有良好的穩(wěn)定性。在二極管的非線性特性下，沒有出現數值振蕩。

4 結語

運用本算法的非線性元件模型，可以將非線性元件模型和線性元件模型直接組成導納矩陣，這一點類似于分段線性化模型，因此可以適用任意接線的和任意數量的非線性元件，即任意拓撲結構。這種算法的缺點是，因非線性參數變化而需要重新三角分解，因而增加的運算量比補償法要多。若非線性元件采用分段線性化的方法，本算法不會增加任何運算量，因為同一段上每次n迭代的導納矩陣不變。因此本算法適用于比較復雜的非線性元件電路，這需要進一步的研究探討。

[1]Dommel H W.Electromagnetic Transients Program Reference Manual（EMTP Theory Book）[M].BPA,Portland,Oregon,USA.,August 1986.

[2]Watson N R，Jos Arrillaga.Power Systems Electromagnetic Transients Simulation[M].The Institution of Electrical Engine ers,London,United Kindom,2003.

[3]Christos Mademlis.Compensation of Magnetic Saturation in Maximum Torque to Current Vector Controlled Synchronous Reluctance Motor Drives[J].IEEE Trans.Energy Conversion,2003,18（3）：379-385.

[4]Essah D N，Sudhoff S D.An Improved Analytical Model for the Switched Reluctance Motor[J].IEEE Trans.Energy Conversion,2003,18（3）：349-356.

[5]Perkins B K,Marti J R,Dommel H W.Nonlinear Elements in the EMTP:Steady-state Initialization[J].IEEE Trans.Power Syst.,1995,10（2）：593-601.

[6]Canadian /American EMTP User Group Alternative Transients Program（ATP）Rule Book[M].1987-1992.