楊林虎，朱 涵，劉春生

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 美國亞利桑那州立大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，Tempe，AZ，85281；3. 天津市土木工程結(jié)構(gòu)及新材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

含孔洞的無限大板在面內(nèi)荷載作用下，在孔洞周圍會產(chǎn)生應(yīng)力集中．應(yīng)力集中是一種十分普遍的力學(xué)現(xiàn)象，它是指受力物體應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象，一般出現(xiàn)在物體形狀急劇變化的地方，如缺口、孔洞、溝槽以及有剛性約束處．應(yīng)力集中一直是工程技術(shù)人員十分關(guān)心的問題．關(guān)于含圓形孔的彈性板在面內(nèi)載荷作用下的應(yīng)力集中問題的研究成果比較多[1-4]．關(guān)于橢圓孔引起的應(yīng)力集中問題，Guo等[5]研究了橫向同性的壓電材料橢圓孔孔邊應(yīng)力集中問題；Dumir[6]分析了在面內(nèi)荷載作用下矩形板的尺寸對橢圓孔孔邊集中應(yīng)力的影響；Hanus等[7]研究了應(yīng)力集中系數(shù)與橢圓孔距自由邊界距離之間的關(guān)系，并建立了統(tǒng)計模型. Hebel等[8]認(rèn)為采用數(shù)值計算的方法研究應(yīng)力集中問題時，對模型的要求很高．物體內(nèi)部缺陷處有時并不是完全空的，往往會含有軟性填充物，如塑料、橡膠等．然而很少見到相關(guān)文獻(xiàn)報道填充物對孔洞集中應(yīng)力和周區(qū)應(yīng)力場的影響．筆者采用數(shù)值計算的方法，研究了含橢圓孔洞的矩形板在單軸拉伸作用下，橢圓形狀的變化對周區(qū)應(yīng)力場的影響，并采用軟性填充物(彈性模量為周圍介質(zhì)彈性模量的 0.001倍)對橢圓形孔洞進(jìn)行填充，初步探討軟性填充物對橢圓形孔洞應(yīng)力集中系數(shù)、周區(qū)應(yīng)力分布的影響．

1 模型的建立

含橢圓形孔洞的應(yīng)力集中問題示意如圖 1所示．圖中橢圓表示在無限大板內(nèi)的橢圓孔．a(chǎn)為垂直于拉力方向的橢圓的半軸長度；b為平行于拉力方向的半軸長度．在均布荷載 q 作用下，最大拉應(yīng)力σmax出現(xiàn)在點(diǎn)A處．σmax隨橢圓的長短軸之比λ的變化而變化．這里λ=a/ b，應(yīng)力集中系數(shù)k=σmax/q．

圖1 橢圓孔尖端應(yīng)力集中問題示意Fig.1 Schematic illustration of stress concentration at the tip of an elliptic hole

在有限元計算中，模擬無限大板的四邊形尺寸以及網(wǎng)格劃分對計算結(jié)果有重要影響[6]．本文經(jīng)試算選定邊長為 400,mm×200,mm 的四邊形模擬無限大板(1/4對稱部分)．建立了橢圓形孔洞的二維計算模型，如圖2所示．在該模型中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA＝20,mm, 計算時 OA的長度固定不變，通過 OB的長度逐漸減小即增大λ值來改變橢圓的形狀．

圖2 計算模型Fig.2 Calculation model

模型分3種區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分：遠(yuǎn)離 A點(diǎn)區(qū)域(Ⅰ)，橢圓弧 AB 附近區(qū)域(Ⅱ)，臨近 A點(diǎn)區(qū)域(Ⅲ)．Ⅰ區(qū)域網(wǎng)格邊長為 4,mm 左右；Ⅱ區(qū)域網(wǎng)格邊長為 1,mm 左右；對Ⅲ區(qū)域網(wǎng)格進(jìn)行多級加密，臨近A點(diǎn)處網(wǎng)格邊長最小處達(dá)到 0.001,mm．各區(qū)域間網(wǎng)格大小逐漸過渡．根據(jù) Saint-venant 原理，遠(yuǎn)離 A點(diǎn)處網(wǎng)格的疏密情況對 A點(diǎn)應(yīng)力影響極?。Ｐ图s有1.4×104個單元．圖3用全圖方式展示了橢圓孔周圍網(wǎng)格劃分情況．

圖3 未填充情況下橢圓孔洞周區(qū)網(wǎng)格劃分(λ＝8)Fig.3 Finite element mesh around the elliptic hole in hollow case (λ＝8)

計算模型的位移邊界條件為：①邊 OE，Ux＝0；②邊 OC，Uy＝0．力的邊界條件是：邊 CD，均布拉力q＝100,N/mm，其余邊為自由邊界．

板的彈性模量取0E＝2.5×104,MPa，泊松比取0.25．軟性填充物的彈性模量為周圍介質(zhì)彈性模量的0.001倍，泊松比取 0.3．在界面處，軟性填充物與周圍介質(zhì)共用節(jié)點(diǎn)．

本文的計算重點(diǎn)在于探討軟性填充物以及橢圓形狀對橢圓周區(qū)應(yīng)力分布的影響，在計算過程中，假定材料一直處于彈性階段，暫不考慮材料本構(gòu)關(guān)系的變化對應(yīng)力分布的影響．

2 計算與分析

含橢圓形孔洞的無限大板在單軸拉伸作用下，A點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)具有解析解，即

根據(jù)式(1)可計算出不同λ值下的應(yīng)力集中系數(shù)k，采用本模型計算的應(yīng)力集中系數(shù)為1k，軟性填充物填充后計算值為2k，見表1.

表1 應(yīng)力集中系數(shù)Tab.1 Stress concentration factors

通過與解析解進(jìn)行比較，衡量此模型的計算誤差．模型的相對誤差計算式為

根據(jù)式(2)可計算出模型的平均相對誤差為0.73%，比較可靠．軟性填充物對應(yīng)力集中系數(shù)的降低作用隨橢圓長短軸之比的增大逐漸增大，從 0.23%增加到13.31%．

僅以λ取 8時，說明橢圓尖端區(qū)域應(yīng)力分布情況，其應(yīng)力分布等值線圖如圖4和圖5所示．由兩圖可以發(fā)現(xiàn)，由于采取了多級加密的網(wǎng)格劃分方案，當(dāng)趨于橢圓尖端時，等值線趨于光滑，單元應(yīng)力急速增加，等值線由橢圓尖端向四周呈橢圓形擴(kuò)散．采用軟性填充物填充后，最大應(yīng)力有一定程度的降低．

沿x軸(OC)方向拉應(yīng)力xσ的分布計算結(jié)果如表2和表3所示．

圖4 未填充情況下橢圓尖端應(yīng)力分布等值線圖(λ＝8)Fig.4 Stress contour near the tip of the elliptic hole in hollow case(λ＝8)

圖5 填充后橢圓尖端應(yīng)力分布等值線圖(λ＝8)Fig.5 Stress contour near the tip of the elliptic hole in filled case(λ＝8)

表2 未填充時λ對沿OC方向的xσ的影響范圍Tab.2 Influence of λon the distribution of xσ along OC direction in hollow case mm

表3 填充后λ對沿OC方向的xσ的影響范圍Tab.3 Influence of λon the distribution of xσ along OC direction in filled case mm

表4 未填充時橢圓孔對沿OE方向的xσ的影響范圍Tab.4 Influence of the elliptic hole on the distribution of xσ along OE direction in hollow case mm

表5 填充時橢圓孔對沿OE方向的xσ的影響范圍Tab.5 Influence of the elliptic hole on the distribution of xσ along OE direction in filled case mm

當(dāng)用彈性模量為周圍介質(zhì)彈性模量0.001的軟性物質(zhì)填充后，上述3個幅值改變?yōu)椋?.08% (＞6.24%)，16.08%(＞10.74%)，3.66%(＜8.20%)．這說明軟性填充物能夠使第一階段應(yīng)力更迅速降低，使第二階段中σx趨于q時所用的距離減?。窜浶蕴畛湮餃p小了橢圓孔洞對沿OE方向的σx的影響范圍．填充前后相比較，σx/ q取1.01、當(dāng)橢圓長短軸之比為64時，影響范圍從 171.5,mm減小到 164.20,mm，降低了4.26%．

軟性填充物對第一階段的沿OC和OE 2個方向的xσ的影響示意如圖6所示．

在未填充和填充后2種情況下，沿OE方向的xσ的分布情況如圖7和圖8所示．由圖7和圖8可以發(fā)現(xiàn)，兩圖中沿OE方向的xσ的分布形式基本相同，由此可知，雖然填充前后xσ在絕對值上有變化，但填充前后各點(diǎn)處的相對比值變化較?。?種情況下，沿OC方向xσ的分布情況如圖9和圖10所示．

圖6 第一階段沿OE和OC方向的xσ的分布示意Fig.6 Sketch of the distribution of xσ along OE and OC directions in the first stage

圖7 未填充情況下沿OE方向xσ的分布Fig.7 Distribution of xσalong OE direction in hollow case

圖8 填充情況下沿OE方向xσ的分布Fig.8 Distribution of xσalong OE direction in filled case

由圖9和圖10可以發(fā)現(xiàn)，填充后，隨著橢圓長短軸之比的增加，填充物的拉應(yīng)力xσ′逐漸增大．在計算結(jié)果中提取y＝0處填充物的拉應(yīng)力，如圖11所示．當(dāng)λ為64時，xσ′增加到q的12.68%．這樣，在橢圓形孔洞處，通過軟性填充物傳遞的力逐漸增加，即橢圓形孔洞越趨于裂縫，軟性填充物所發(fā)揮的作用越大．這也是軟性填充物能顯著降低應(yīng)力集中系數(shù)，降低孔洞對周區(qū)應(yīng)力場影響范圍的主要原因．

圖10 填充情況下沿OC方向xσ的分布Fig.10 Distribution of xσalong OC direction in filled case

圖11 y＝0處λ對′xσ的影響Fig.11 Influence ofλon ′xσwhen y＝0

3 結(jié) 語

含橢圓孔洞的無限大板在單軸拉伸作用下，在橢圓孔洞尖端存在應(yīng)力集中，橢圓孔洞對周區(qū)拉應(yīng)力的分布產(chǎn)生重要影響．隨著橢圓長短軸之比增大，應(yīng)力集中系數(shù)逐漸增大，沿 x軸(OC)方向的影響范圍逐漸減小，沿y軸(OE)方向的影響范圍逐漸增大．當(dāng)橢圓孔洞被彈性模量為周圍介質(zhì) 0.001倍的軟性填充物填充后，應(yīng)力集中系數(shù)顯著降低，沿 x軸方向和 y

軸方向的影響范圍也明顯減?。浶蕴畛湮锼惺艿睦瓚?yīng)力隨橢圓長短軸之比的增加逐漸增加．綜上所述，軟性填充物對降低應(yīng)力集中現(xiàn)象效果十分顯著．橢圓越趨于裂縫，軟性填充物所發(fā)揮的作用越大．本文僅進(jìn)行了軟性填充物彈性模量為周圍介質(zhì)彈性模量的 0.001倍的研究，其他比值的情況有待進(jìn)一步進(jìn)行系統(tǒng)的研究．

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