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        一道競賽題的三種解法

        2010-05-10 07:14:32董洪瓊
        物理教師 2010年6期
        關鍵詞:小蟲姑父化簡

        郎 軍 董洪瓊

        (重慶11中,重慶 400061)

        題目.將質量為m的小球以水平速度v0拋出,小球在運動中受到的空氣阻力與小球的速度成正比,f=-kv,k為比例常數(shù).經過一段時間后,小球速度的偏向角為θ,求此時小球的速度v和運動的水平位移x.重力加速度為g.

        圖1

        解法1:微元法

        將運動時間t等分成n段,則每一段的時間令n→∞,則Δt→0,在每小段的時間內可以認為加速度不變.

        將運動沿水平方向和豎直方向正交分解,當速度大小為v,方向與初速度方向成α時,物體在x方向的合力大小為加速度大小為在y方向的合力大小為加速度大小為

        設vix表示經過iΔt后小球在x方向上的速度,則有

        由上面的遞推關系可得

        設viy表示經過iΔt后小球在y方向上的速度,則有

        根據(jù)題意有

        由(1)~(3)式消去pn可得

        在水平方向上,速度的減少量為

        小蟲不懂那段錄音有多大威力,但姑父這么說,說明錄音對姑父很重要,對姑媽對自己都很重要。小蟲說,找楊律師幫你呢。姑父搖搖頭,現(xiàn)在誰也幫不了我。小蟲說姑父,我?guī)湍阋劁浺舭?。姑父就等小蟲這句話了,點點頭說,那女人很狡猾,我怕你對付不了她。小蟲打了個酒嗝,酒勁又上來了,一拳砸在桌上,兩個酒杯都震倒了。小蟲說一個女人我都對付不了,我在凌州還怎么混?

        所以

        解法2:等效法

        圖2

        物體的初速度為v0,設想物體還同時具有兩個分別豎直向上和豎直向下的初始速度v1,由于這兩個速度相抵消,它沒有改變物體的初始運動條件.將向上的分速度v1與v0合成為v2,v2與v0的夾角設為α,則有

        這樣物體的運動可以等效為沿v2的方向做加速度逐漸減小的減速運動,在豎直向下的方向下以的速度勻速運動,因為該方向上的空氣阻力的分力(f1=kv1=mg)與重力平衡.

        圖3

        經過一段時間后,在v2方向上的速度減小為v2′,合速度大小變?yōu)関,方向與v0方向的夾角變?yōu)棣?v是v1和v2′的合矢量,如圖3所示.由正弦定理有

        化簡有

        將(1)式代入(2)式消去cosα,sinα化簡可得

        水平位移x的求法同解法1.

        解法3:積分法

        物體在x方向上的微分方程為整理后有兩邊同時積分后有

        根據(jù)初始條件,t=0時,vx=v0,所以C=v0.因此有

        在豎直方向上由牛頓第二定律有

        整理后有

        兩邊同時積分得

        化簡得

        當t=0時,vy=0,所以因此有

        由題意,當速度偏向角為θ時

        水平位移x的求法同解法1.

        點評:微元法和等效法是中學物理競賽中常用的思維方法,在平時的競賽教學中應重點訓練.積分法涉及到高等數(shù)學的知識,超越了中學生的理解范圍,但對從事競賽指導的教師而言,不可不知.

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