摘要:文中闡述了3種估計疲勞極限的方法，即加權(quán)平均法、按正態(tài)分布(或?qū)?shù)正態(tài)分布)估計疲勞極限應(yīng)力值和三參數(shù)威布爾分布理論。并對3種方法進(jìn)行了比較。相比之下三參數(shù)威布爾分布理論可求出任意可靠度下的疲勞極限，應(yīng)用更廣泛。

關(guān)鍵詞:疲勞極限;正態(tài)分布;威布爾分布;置信度;可靠度

中圖分類號:O211.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1000-8136(2010)03-0009-02

疲勞極限是表征材料與結(jié)構(gòu)疲勞性能的重要參量之一，其試驗(yàn)與測定方法一直受到國內(nèi)外的關(guān)注。當(dāng)研究其概率值時，試驗(yàn)方法主要有大子樣升降法和小子樣升降法。大子樣升降法測定結(jié)果精度較高，但花費(fèi)試樣較多，一般大于30個，這一試驗(yàn)方法已寫入了英、日、法等國的試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。小子樣升降法測定結(jié)果精確度稍差，但花費(fèi)試樣較少，約13個～20個，在我國得到了廣泛應(yīng)用。

疲勞極限的早期理解是，材料不發(fā)生疲勞損傷(無限疲勞壽命)的臨界疲勞強(qiáng)度;后來被理解為一定疲勞壽命(如107循環(huán)數(shù))下的中值疲勞強(qiáng)度估計值。因材料的疲勞極限隨加載方式和應(yīng)力比的不同而異，通常以對稱循環(huán)(即應(yīng)力比R=-1)下的疲勞極限作為材料的基本疲勞極限。[1]擴(kuò)展到概率領(lǐng)域，則應(yīng)理解為一定疲勞壽命下疲勞強(qiáng)度的概率(包含存活概率和置信度兩方面含義)估計值。本文闡述了3種估計計算方法，并進(jìn)行了比較。

1加權(quán)平均法

為了區(qū)別對待不同精度條件下的測量結(jié)果，在計算平均值時需要采用加權(quán)平均。所謂權(quán)，就是權(quán)衡輕重的意思，某個測量值越可信賴，則在數(shù)據(jù)分析中應(yīng)該使它占有越大的比重，即需要賦予它越大的權(quán)。測量值的可信賴程度與測量值的誤差密切相關(guān)，誤差越小，可信賴程度就越高，權(quán)也就越大;反之亦然。在加權(quán)平均時，習(xí)慣上將權(quán)值取得與測量結(jié)果的方差成反比。采用加權(quán)平均法對其小子樣升降法的疲勞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行處理時，其缺點(diǎn)是加權(quán)平均值只可以作為可靠度為50%的疲勞極限。

2正態(tài)分布(或?qū)?shù)正態(tài)分布)估計疲勞極限應(yīng)力值[2]

在疲勞分析中，需要利用由各種試驗(yàn)獲得的疲勞性能數(shù)據(jù)。由于疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)常常有很大的分散性，因此，只有用統(tǒng)計分析的方法處理這些數(shù)據(jù)才能夠?qū)Σ牧匣驑?gòu)件的疲勞性能有比較

清楚的了解。

正態(tài)分布也稱高斯(Gaussian)分布。對數(shù)疲勞壽命lgN常常是服從正態(tài)分布的。令X=lgN，即可利用正態(tài)分布理論進(jìn)行對數(shù)疲勞壽命X的統(tǒng)計分析。

2.1正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)

若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則密度函數(shù)(或稱頻率函數(shù))為:

(1)

式中，μ為母體均值;σ為母體標(biāo)準(zhǔn)差，是非負(fù)的。正態(tài)概率密度函數(shù)曲線是關(guān)于x=μ對稱的，兩端伸向無窮。f(x)在x=μ處取最大值，且f(μ)=1/(σ )?？梢?，σ越小，在x=μ附近取值的可能越大;密度函數(shù)曲線越“瘦”，隨機(jī)變量X的分散性越小，故標(biāo)準(zhǔn)差σ反映了X的分散性。

一般來說，無論分布形式如何，概率密度函數(shù)均具有以下性質(zhì):

(1)f(x)≥0。f(x)表示隨機(jī)變量X取值為x的頻繁程度，故對于所有的可能取值，f(x)顯然是非負(fù)的。

(2) ，即曲線f(x)下方的總面積為1。

正態(tài)概率分布函數(shù)為:

(2)

分布函數(shù)F(x)給出了隨機(jī)變量X取值小于等于x的概率。顯然可見，隨機(jī)變量X取值大于x的概率則為1-F(x)。

2.2給定疲勞壽命下的破壞概率估計和置信水平

在對數(shù)疲勞壽命服從正態(tài)分布的假設(shè)下。首先，應(yīng)確定分布參數(shù)，即均值micro;和標(biāo)準(zhǔn)差σ。micro;、σ是母體分布參數(shù)，其真值常常是得不到的。一般只能由取自該母體的若干試件組成的“子

樣”(或稱樣本)試驗(yàn)數(shù)據(jù)來估計。

子樣均值 為:

(i=1，2，…，n) (3)

式中，xi為第i個觀測數(shù)據(jù)，對于疲勞分析，則是第i個試件的對數(shù)壽命，即xi=lg Ni;n為子樣中xi的個數(shù)，稱為樣本大小(或樣本容量)。

子樣方差S2為:

(4)

方差S2的平方根s，即子樣標(biāo)準(zhǔn)差，是偏差(xi- )的度量，反映了分散性的大小。注意到(4)式，所有n個偏差的總和為零，故只有(n-1)個偏差是獨(dú)立的。

子樣大小n越大，子樣均值 和標(biāo)準(zhǔn)差s就越接近于母體均值micro;和標(biāo)準(zhǔn)差σ。因此，假定對數(shù)疲勞壽命X=lgN是服從正態(tài)分布的，則只要由一組子樣觀測數(shù)據(jù)計算出子樣均值 和標(biāo)準(zhǔn)差s，并將它們分別作為母體均值micro;和標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計量，即可得到具有某給定破壞(或存活)概率下的壽命或某給定壽命所對應(yīng)的破壞(或存活)概率。

事實(shí)上，這樣估計的對數(shù)壽命Np= +up#8226;s(其中up為與破壞概率p對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量，其存活率即可靠度R=1-p)，可能比母體對數(shù)壽命的真值micro;+up#8226;σ小，也可能比母體真值大。因此，需要引入置信度γ這一概念。如果由 +up#8226;s估計的破壞概率為p的對數(shù)壽命小于真值的概率為γ，則稱γ為這一估計的置信度。置信度γ通常取為90 %或95 %。將破壞概率為p，置信度為γ的對數(shù)壽命寫為:

xp(γ)= +k#8226;s(5)

式中，k稱為單側(cè)容限系數(shù)。

由此，可以求出一定可靠度R和置信度γ下的疲勞極限。

3三參數(shù)威布爾分布理論[2、3]

在疲勞強(qiáng)度的可靠性設(shè)計中，最適合表達(dá)疲勞強(qiáng)度分布的函數(shù)，除了正態(tài)分布函數(shù)外，還有目前發(fā)展起來的威布爾分布概率密度函數(shù)。威布爾分布概率密度函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，在于存在最小壽命，即100 %可靠度的壽命，這是符合疲勞破壞實(shí)際情況的。

3.1威布爾分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)

威布爾分布的密度函數(shù)為:

(N≥N0)(6)

式中，N0、Na和b為描述威布爾分布的3個參數(shù)。N0是下限，也稱為最小壽命參數(shù);Na控制著橫坐標(biāo)的尺度大小，反映了數(shù)據(jù)N的分散性，稱為尺度參數(shù);b描述分布密度函數(shù)曲線的形狀，稱為形狀參數(shù)。

如同前面討論正態(tài)分布一樣，我們關(guān)心的是在疲勞壽命N之前破壞的概率，或壽命小于等于N的概率F(N)。由此有威布爾分布的分布函數(shù)為:

令x=(N-N0)/(Na-N0)，則有dN=(Na-N0)dx，并注意到F(N)=F(x)，即得三參數(shù)威布爾分布函數(shù)F(N)為:

(7)

由上式顯然可知，當(dāng)N=N0時，F(xiàn)(N0)=0，即疲勞壽命小于N0的破壞概率為零，故N0是最小壽命參數(shù);當(dāng)N=Na時，F(xiàn)(Na)=1-1/e=0.632，即疲勞壽命小于Na的破壞概率恒為63.2 %而與其它參數(shù)無關(guān)，所以Na也稱為特征壽命參數(shù)。

3.2威布爾分布參數(shù)的估計

正態(tài)分布母體的均值micro;和方差σ 2都能直接反映在正態(tài)分布概率密度函數(shù)中。但在威布爾分布概率密度函數(shù)中并不包含micro;和σ 2。因此，只能通過威布爾的三個參數(shù)N0、Na和b來表達(dá)micro;和σ 2值。

引入伽馬函數(shù)，設(shè)z>0，定義伽馬函數(shù)[4](Γ-函數(shù))為:

Γ(z)=

且有如下性質(zhì):①Γ(z+1)=zΓ(z);

②Γ(z)Γ(1-z)= 。

根據(jù)求數(shù)學(xué)期望的定義，通過積分計算可得威布爾變量的數(shù)學(xué)期望，即母體均值micro;為:

micro;=N0+(Na-N0)Γ(1+ )(8)

威布爾變量的方差σ 2為:

σ 2=(Na-N0)2[Γ(1+ )-Γ 2(1+ )] (9)

其置信度γ=1-α(α是顯著度)。

由此，便可求出一定可靠度和置信度下的疲勞極限。

4結(jié)論

本文闡述了3種估計疲勞極限的方法。加權(quán)平均法簡單易行，但缺點(diǎn)是加權(quán)平均值只可以作為可靠度為50 %的疲勞極限。按正態(tài)分布(或?qū)?shù)正態(tài)分布)可以求出一定可靠度R和置信度γ疲勞極限，但它存在一個缺點(diǎn)，即當(dāng)失效概率很小時，疲勞壽命或疲勞極限趨于零，這與很多試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)際不符。而三參數(shù)威布爾分布中的參數(shù)N0在疲勞試驗(yàn)中表示最小壽命或最低疲勞極限，與實(shí)際疲勞特性相符。

三參數(shù)威布爾分布理論與加權(quán)平均法相比，不僅考慮置信度，還可以求出任意可靠度下的疲勞極限。與按正態(tài)分布(或?qū)?shù)正態(tài)分布)相比，能更準(zhǔn)確地估計疲勞極限，應(yīng)用更廣泛。

參考文獻(xiàn)

1 周傳月、鄭紅霞、羅慧強(qiáng).MSC.Fatigue疲勞分析應(yīng)用與實(shí)例.北京:科學(xué)出版社，2005.3

2 陳傳堯.疲勞與斷裂.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2002.1

3 李舜酩.機(jī)械疲勞與可靠度設(shè)計.北京:科學(xué)出版社，2006.9

4 吳 翊、李永樂、胡慶軍.應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計. 北京:國防科技大學(xué)出版社，2005.8

The comparison of three methods for the estimation of fatigue limits

Zhu Xue chao，Li Quan zhen

Absract:Three methods are introduced for the estimation of fatigue limits in this paper. Weighted Average Method is a simple way to estimate fatigue limits. The fatigue stress limits is estimated according to the Normal Distribution and Weibull Distribution. Comparing the three methods， the Weibull Distribution is applied more widely and can obtain accurately the fatigue limits of arbitrary reliability.

Key words:fatigue limits; Normal Distribution; Weibull Distribution; Confidence Limits; Reliability