摘要:本文將圖論中的最短路網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于供水系統(tǒng)水泵裝置的更新維護(hù)費(fèi)用的研究，通過對水泵裝置更新維護(hù)費(fèi)用進(jìn)行定性和定量分析，得出水泵裝置更新維護(hù)的經(jīng)濟(jì)費(fèi)用，并為相關(guān)工作者提供了較好的決策方案。同時(shí)，可為供水系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行節(jié)約成本、提高總效益提供依據(jù)。

關(guān)鍵詞:水泵;更新維護(hù);經(jīng)濟(jì)費(fèi)用;最短路

中圖分類號(hào):TU991.35文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1000-8136(2010)03-0027-03

供水系統(tǒng)作為一種提水排水或補(bǔ)給水源的水利系統(tǒng)工程，在水資源調(diào)配、跨流域引水、城市及工農(nóng)業(yè)供水等方面舉足輕重，是解決水資源分布地域差異的有效系統(tǒng)工程。為保證供水系統(tǒng)的安全和穩(wěn)定運(yùn)行，必須對供水系統(tǒng)中的各項(xiàng)裝置進(jìn)行適時(shí)的更新維護(hù)，而水泵作為供水系統(tǒng)的主體，其更新維護(hù)決策顯得尤為重要。本文給出了供水系統(tǒng)中水泵更新維護(hù)費(fèi)用的經(jīng)濟(jì)優(yōu)化分析，以期在保證供水系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的條件下，降低成本，提高供水系統(tǒng)的總效益。

1水泵的更新與維護(hù)

水泵的更新即購買新的水泵裝置需要支付購買費(fèi)。在水泵的折舊年限內(nèi)，每年的購買價(jià)格有所不同，呈增加趨勢。

水泵的維護(hù)主要包括:(1)葉輪:①葉輪葉片與葉輪室的間隙測量;②葉輪和葉輪室汽蝕、磨損檢查及處理;③葉輪靜平衡試驗(yàn);④葉輪葉片密封裝置的檢查、更換、試驗(yàn);⑤葉輪體耐壓、密封試驗(yàn);⑥葉輪葉片接力器的修理或更換。(2)泵軸:①泵軸變形和軸頸、軸承磨損程度;②軸承間隙的測量、調(diào)整;③同軸度的測量與調(diào)整。(3)泵殼和懸架:主要檢測泵殼和懸架的銹蝕、裂紋、變形、損壞等情況。

水泵的維護(hù)需要支付相關(guān)的設(shè)備、實(shí)驗(yàn)和人工等費(fèi)用，隨著水泵使用時(shí)間的增長，每年所需的維護(hù)費(fèi)用也在增加。

水泵的更新與維護(hù)都需要資金的投入，如何以最少的資金投入獲得同樣的效益，是值得泵站管理者及相關(guān)工作人員關(guān)注的一個(gè)重要問題。本文將該問題歸結(jié)為圖論中的最短路問題。

2最短路問題的數(shù)學(xué)模型

2.1最短路問題的基本思想

最短路問題就是在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖中，給定一個(gè)起點(diǎn)，求出該起點(diǎn)到另一終點(diǎn)的權(quán)數(shù)最小的通路。最短路問題是網(wǎng)絡(luò)理論中應(yīng)用最廣泛的問題之一。

最短路問題的一般提法如下[1]:設(shè)G=(V，E)為連通圖，圖中各邊(vi，vj)有權(quán)l(xiāng)ij(lij=∞表示vi和vj間無邊)，vs、vt為圖中任意兩點(diǎn)，求一條道路μ，使它是從vs到vt的所有路中

總權(quán)最小的路，即 最小。

2.2最短路問題的求解方法

最短路問題的求解方法有:Dijkstra算法、逐次逼近算法和Floyd算法等。其中Dijkstra算法由Dijkstra于1959年提出，可用于求解指定兩點(diǎn)vs和vt間的最短路，或從指定點(diǎn)vs到其余各點(diǎn)的最短路，目前被認(rèn)為是求無負(fù)權(quán)網(wǎng)絡(luò)最短路問題的最好方法。

Dijkstra算法的基本步驟[1]如下:

采用標(biāo)號(hào)法，可用兩種標(biāo)號(hào):T標(biāo)號(hào)和P標(biāo)號(hào)，T標(biāo)號(hào)為試探性標(biāo)號(hào)(tentative label)，P標(biāo)號(hào)為永久性標(biāo)號(hào)(permanent label)，給vi點(diǎn)一個(gè)P標(biāo)號(hào)時(shí)，表示從vs到vt點(diǎn)的最短路權(quán)，vi點(diǎn)的標(biāo)號(hào)不再改變。給vi點(diǎn)一個(gè)T標(biāo)號(hào)時(shí)，表示從vs到vt點(diǎn)的估計(jì)最短路權(quán)的上界，是一種臨時(shí)標(biāo)號(hào)，凡沒有得到P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)都有T標(biāo)號(hào)。每一步計(jì)算都把該計(jì)算點(diǎn)的T標(biāo)號(hào)改為P標(biāo)號(hào)，當(dāng)終點(diǎn)vt得到P標(biāo)號(hào)時(shí)，計(jì)算過程結(jié)束。

計(jì)算步驟:

(1)給vs以P標(biāo)號(hào)，P(vs)=0，其余各點(diǎn)均為T標(biāo)號(hào)，T(vi)=+∞。

(2)若vi點(diǎn)為剛得到P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，考慮這樣的點(diǎn)vj∶(vi，vj)∈E，且vj為T標(biāo)號(hào)，則vj的T標(biāo)號(hào)為:T(vj)=min[T(vj)，P(vi)+lij]。

(3)比較所有具有T標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，把最小者改為P標(biāo)號(hào)，即:P( )=min[T(vi)]，當(dāng)存在兩個(gè)以上最小者時(shí)，可同時(shí)改為P標(biāo)號(hào)。若全部點(diǎn)均為P標(biāo)號(hào)則停止。否則用 代vi，返回步驟(2)。

3實(shí)例仿真與分析

現(xiàn)以某型號(hào)離心泵(一臺(tái))為例進(jìn)行分析。每年年初做出購買決定，若購買新的水泵，要支付購買費(fèi)，若使用舊的水泵，要付維護(hù)費(fèi)。在購買新泵的第二年不考慮更換，因?yàn)楸谜＿\(yùn)行的情況下，經(jīng)過合理的維護(hù)，其運(yùn)行效率不會(huì)有明顯降低。[2]制定一個(gè)12年的更新計(jì)劃(對于離心泵，其折舊年限為12年[3])，使總支出費(fèi)用最少。

根據(jù)多年來該水泵的價(jià)格走勢，對未來的價(jià)格做出預(yù)測，以等差數(shù)列的形式表示購買費(fèi)。每年基本折舊率按8.08 %計(jì)算，每年平均大修理費(fèi)按6 %計(jì)，凈殘值占原值按3 %計(jì)，[3]可得出水泵的維修費(fèi)與余值，見表1。

考慮到水泵更新的當(dāng)年舊水泵不一定能夠賣出，例如用了一年后的水泵如果沒有賣出，即實(shí)現(xiàn)不了4 596元的余值，但水泵仍可實(shí)現(xiàn)最終的殘值150元，所以采用余值的期望收益來表示。

一個(gè)決策變量的期望值，就是它在不同自然狀態(tài)下的損益值(或

機(jī)會(huì)損益值)乘相對應(yīng)的發(fā)生概率之和，即 ，

式中， 表示變量aj的期望值，Vij表示變量aj在自然狀態(tài)θi下的損益值(或機(jī)會(huì)損益值)， 表示自然狀態(tài)的θi發(fā)生概率。[4]這里取余值變現(xiàn)的概率為0.9，余值未變現(xiàn)的概率為0.1，可得到各年份期望余值(見表1)。

表1水泵使用年限及相關(guān)費(fèi)用(元)

年 限123456789101112

購買費(fèi)5 0005 0505 1005 1505 2005 2505 3005 3505 4005 4505 5005 550

維修費(fèi)5095140185230275320365410455510565

余 值4 5964 1923 7883 3842 9802 5762 1721 7681 364960556150

期望余值4 1513 7883 4243 0612 6972 3331 9701 6061 243879515150

v1v3v4 v5 v12 v13

圖1路徑示意圖

該問題的路徑見圖1，用點(diǎn)vi表示第i年年初購進(jìn)水泵裝置，虛設(shè)一點(diǎn)v13，表示第12年年底。邊(vi，vj)表示第i年年初購進(jìn)的水泵裝置使用到第j年年初，即第j-1年年底。

邊(vi，vj)上的權(quán)重表示第i年年初購進(jìn)的水泵裝置，使用到第j年年初所需支付的購買和維護(hù)的全部費(fèi)用(由表1計(jì)算得到)。例如(v1，v3)邊上的1 357是第一年初購買費(fèi)5 000加上兩年的維修費(fèi)50、95，減去第2年水泵裝置的余值3 788;(v3，v6)邊上的1 961是第三年初購買費(fèi)5 100加上3年維修費(fèi)50、95、140，減去水泵余值3 424。同理，可得各邊上的權(quán)重(見表2)。

表2邊(vi，vj)上的權(quán)重lij (元)

vj

viv3v4v5v6v7v8v9v10v11v12v13

v11 3571 8612 4093 0033 6424 3255 0545 8276 6467 5208 450

v3//1 4571 9612 5093 1033 7424 4255 1545 9276 746

v4///1 5072 0112 5593 1533 7924 4755 2045 977

v5////1 5572 0612 6093 2033 8424 5255 254

v6/////1 6072 1112 6593 2533 8924 575

v7//////1 6572 1612 7093 3033 942

v8///////1 7072 2112 7593 353

v9////////1 7572 2612 809

v10/////////1 8072 311

v11//////////1857

運(yùn)用Dijkstra算法作如下計(jì)算:

(1)首先給v1以P標(biāo)號(hào)P(v1)=0，給其余所有點(diǎn)T標(biāo)號(hào)，T(vi)=+∞(i=2，3，…13)。

(2)v1為剛得到P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，考慮點(diǎn)v1，有:T(v3)=min[T(v3)，P(v1)+ l13]=min[+∞，0+1357]=1357。

同理可得:T(v4)=1 861;T(v5)=2 409;T(v6)=3 003;T(v7)=3 642;T(v8)=4 325;T(v9)=5 054;T(v10)=5 827;T(v11)=6 646;T(v12)=7 520;T(v13)=8 450。

(3)比較所有T標(biāo)號(hào)，T(v3)最小，所以令P(v3)=1 357，并記錄路徑(v1，v3)。

依此類推，可得計(jì)算結(jié)果見表3。

表3最小路徑記錄表

P標(biāo)號(hào)Tmin路徑記錄(vi，vj)

v3T(v4)=1861(v1，v4)

v4T(v5)=2409(v1，v5)

v5T(v6)=3003(v1，v6)

v6T(v7)=3642(v1，v7)

v7T(v8)=4325(v1，v8)

v8T(v9)=5014(v4，v9)

v9T(v10)=5612(v5，v10)

v10T(v11)=6251(v5，v11)

v11T(v12)=7578(v6，v13)

綜上所述，從v1到v13的最短路為v1→v6→v13，路長為7 578。所以決策者可以選擇的方案為:在第一年初和第六年年初購進(jìn)新水泵，在其余年份進(jìn)行合理維護(hù)。此方案總支出費(fèi)用為7 578元。

4結(jié)束語

本文針對供水系統(tǒng)中水泵裝置的更新維護(hù)費(fèi)用問題，主要做了以下工作:①建立了網(wǎng)絡(luò)理論中的最短路優(yōu)化數(shù)學(xué)模型;②根據(jù)模型得出水泵裝置更新維護(hù)的經(jīng)濟(jì)費(fèi)用，并提供了最優(yōu)決策方案;③考慮到余值變現(xiàn)的不確定性，運(yùn)用概率的思想，采用期望余值的方法。通過以上的決策模擬過程，可以為供水系統(tǒng)中水泵裝置的更新維護(hù)提供更經(jīng)濟(jì)合理的方案，從而為供水系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行節(jié)約成本，提高其總效益。另外，文中實(shí)例的數(shù)學(xué)模型是在水泵正常運(yùn)轉(zhuǎn)的條件下建立的，對于事故水泵以及實(shí)際中余值變現(xiàn)的概率，決策者應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況作具體分析，從而實(shí)現(xiàn)在確保水泵裝置安全運(yùn)行的條件下更新維護(hù)費(fèi)用最低的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

1 胡運(yùn)全主編.運(yùn)籌學(xué)教程(第2版).北京:清華大學(xué)出版社，2003

2 趙玉香.水泵修復(fù)與涂護(hù)工藝的方法探討.中國農(nóng)村水利水電，2008.4:113～114

3 武漢水利電力大學(xué)主編.泵站技術(shù)管理規(guī)程(SL255-2000). 北京:中國水利水電出版社，2000

4 張所地著.管理決策論.北京:中國科學(xué)技術(shù)出版社，2005

The cost optimization analysis of the pump replacement

and maintenance in water supply system

Wang Xiaojie，Cheng Hongxia

Abstract: The shortest path is used in the study of the cost about the pump replacement and maintenance in the water system. Through the qualitative and quantitative analysis of the cost about the pump replacement and maintenance， this paper acquired the economic cost of the pump replacements and maintenance， and provided a good decision-making program for relevance workers. At the same time， it can save the cost of the safe operation and improve overall efficiency in the water supply systems.

Key words: water-pump; replacement and maintenance; economic costs; the shortest path