楊 洋，陳 超，白寶明，王新梅

(西安電子科技大學綜合業(yè)務網(wǎng)理論及關鍵技術國家重點實驗室 西安 710071)

基于上述事實，本文構(gòu)造了一類有限域上的非二元準循環(huán)LDPC碼，依賴于如何設計校驗矩陣的系統(tǒng)部分，既可以構(gòu)造列重為2的規(guī)則碼，也可以構(gòu)造非規(guī)則碼。針對校驗矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，本文給出了一種有效的編碼算法，并給出了具體的電路實現(xiàn)，進而對編碼復雜度進行分析。最后，考察了該類碼與高階調(diào)制相結(jié)合時的性能。

1 非二元準循環(huán)LDPC碼

1.1 定義

出于實用性考慮，本文只討論定義在二元擴域GF(2b)上的碼，其中b是一個大于1的整數(shù)。一個GF(2b)上的(N,K)低密度校驗碼是一個碼長為N、維數(shù)為K的線性碼，并可通過一個由含有M≥N?K行、N列的校驗矩陣描述。

定義GF(2b)上的準循環(huán)低密度校驗碼的校驗矩陣為：

1.2 碼優(yōu)化技術

現(xiàn)有文獻已從環(huán)特性和碼距離特性兩個方面給出了兩種碼優(yōu)化技術。

文獻[13]考察了M(H)中的環(huán)與H中的環(huán)的關系。

則該環(huán)在H中會產(chǎn)生L個長為2lr的環(huán)。

從定理1可以看出，通過優(yōu)化移位因子，可以避免短環(huán)，從而改善碼的環(huán)特性。

定理 2[9]對于校驗矩陣中一個長為l的環(huán)，如圖1所示，如果變量節(jié)點的度均為2，該環(huán)提供一個重量為l/2的碼字，當且僅當：

圖1 校驗矩陣中一個長為l的環(huán)

從定理2可以看出，通過優(yōu)化校驗矩陣中的非零域元素，可以避免低碼重碼字，從而改善碼的距離特性。

2 碼構(gòu)造和編碼電路

2.1 碼構(gòu)造

考慮由下述校驗矩陣定義的非二元準循環(huán)LDPC碼：或非規(guī)則碼。為了實現(xiàn)快速編碼，對上述校驗矩陣施加一些約束。

定理 3 如果

從式(5)中Hp部分的定義可以看出，在母矩陣中存在一個長為2m的環(huán)。對比式(3)和式(6)，該環(huán)在H中提供L個長為2m的環(huán)，通常m比較大，這些環(huán)不會影響迭代譯碼性能；對比式(4)和式(7)，這些環(huán)不提供低重量碼字。

2.2 編碼算法

2.3 編碼電路和復雜度分析

根據(jù)上述算法，本文以一個實例說明編碼是如何進行的。定義一個GF(16)上的(30,15)LDPC碼，其校驗矩陣：

上述編碼過程可以通過移位寄存器電路實現(xiàn)，如圖2所示。

表1 編碼器的實現(xiàn)復雜度

3 仿真結(jié)果

使用本文提出的碼結(jié)構(gòu)，構(gòu)造4個非二元準循環(huán)LDPC碼，分別定義在GF(4)、GF(16)、GF(32)、GF(64)上，構(gòu)造方法如下。

(1) 選取列重分布。使用經(jīng)驗結(jié)合仿真微調(diào)的方式選取列重分布。先根據(jù)經(jīng)驗選取兩個初始分布，域的階數(shù)越大，則重量為2 的列的比例越大，然后依該分布利用PEG方法[12]分別構(gòu)造隨機碼，并通過仿真驗證它們與高階調(diào)制相結(jié)合時的性能。以性能好的分布為基準，通過微調(diào)得到兩個新的分布，并重復上述方法驗證性能，最后采用性能最好的分布。對于GF(64)上的碼，直接采用列重為2的規(guī)則分布。

圖3 性能曲線：受限容量限和Shannon限從左到右分別對應于1 bit/channel use、2 bit/channel use，3 bit/channel use和4 bit/channel use

4 結(jié) 束 語

本文提出了一類可有效編碼的非二元準循環(huán)LDPC碼。針對其校驗矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，給出了一種遞歸編碼算法，可以通過移位寄存器電路實現(xiàn)。分析表明該算法的計算復雜度隨碼長增加呈線性增長。根據(jù)所提出的碼結(jié)構(gòu)，構(gòu)造了4個非二元準循環(huán)LDPC碼，與高階調(diào)制相結(jié)合，它們展現(xiàn)出接近Shannon限的性能。

[1] GALLAGER R G. Low density parity check codes[J]. IEEE Trans Inform Theory, 1962, 8(1): 21-28.

[2] MACKAY D J C, Neal R M. Near shannon limit performance of low density parity check codes[J]. IEE Electron Lett, 1996, 32(18): 1645-1646.

[3] LIVA G, SONG Shu-mei, LAN Lan, et al. Design of LDPC codes: a survey and new results[J]. Journal of Communication Software and Systems, 2006, 2(3): 191-211.

[4] 史治平, 朱 南, 李少謙. 一類廣義RA碼的優(yōu)化設計方法[J]. 電子科技大學學報, 2008, 37(4): 481-484.SHI Zhi-ping, ZHU Nan, LI Shao-qian. Optimization design of a class of generalized RA codes[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2008, 37(4):481-484.

[5] DAVEY M C, MACKAY D. Low-density parity check codes over GF(q)[J]. IEEE Commun Lett, 1998, 2(6):165-167.

[6] DAVEY M C. Error-correction using low-density parity-check codes[D]. Cambridge: University of Cambridge,1999.

[7] SONG Shu-mei, ZHOU Bo, LIN Shu, et al. A unified approach to the construction of binary and nonbinary quasi-cyclic LDPC codes based on finite fields[J]. IEEE Trans Commun, 2009, 57(1): 84-93.

[8] ZHOU Bo, KANG Jing-yu, LIN Shu, et al. High performance non-binary quasi-cyclic LDPC codes on euclidean geometries[J]. IEEE Trans Commun, 2009, 57(5):1298-1311.

[9] POULLIAT C, FOSSORIER M, DECLERCQ D. Design of regular (2,dc)-LDPC codes over GF(q) using their binary images[J]. IEEE Trans Commun, 2008, 56(10): 1626-1635.

[10] HU Xiao-yu, ELEFTHERIOU E. Binary representation of cycle Tanner-graph GF(2b) codes[C]//Proc IEEE Intern Conf on Commun. Paris: [s.n.], 2004: 528-532.

[11] PENG Rong-hui, CHEN Rong-rong. Design of nonbinary quasi-cyclic LDPC cycle codes[C]//Proc Inform Theory Workshop. Salt Lake City: University of Utah, 2007:13-18.

[12] HU Xiao-yu, ELEFTHERIOU E, ARNOLD D M. Regular and irregular progressive edge-growth tanner graphs[J].IEEE Trans Inform Theory, 2005, 51(1): 386-398.

[13] MYUNG S, YOUNG K, KIM J. Quasi-cyclic LDPC codes for fast encoding[J]. IEEE Trans Inform Theory, 2005,51(8): 2894-2901.