劉志宏，周玉榮，張安英，龐小峰

(1. 成都信息工程學(xué)院電子工程學(xué)院 成都 610225; 2. 電子科技大學(xué)生命科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 成都 610054;3. 攀枝花學(xué)院電氣信息工程學(xué)院 四川 攀枝花 617000)

最近的幾十年里，噪聲環(huán)境下神經(jīng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象和相干共振現(xiàn)象得到了廣泛的研究[1-3]。在沒有特定外部信號(hào)的環(huán)境中的噪聲作用下的可激發(fā)系統(tǒng)，當(dāng)噪聲超過一定的閾值時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生脈沖放電現(xiàn)象，稱為相干共振現(xiàn)象[3-4]。相干共振現(xiàn)象表現(xiàn)為生命的節(jié)律或者包含著某種特殊的信息，因此對(duì)生命體系具有重要的意義，研究神經(jīng)系統(tǒng)的相干共振對(duì)認(rèn)識(shí)人腦的學(xué)習(xí)和記憶功能有一定的參考價(jià)值。在神經(jīng)動(dòng)力學(xué)中，相干共振可用神經(jīng)元點(diǎn)火峰峰間隔的變差系數(shù)和信噪比描述[5]。

近年來，對(duì)隨機(jī)共振和相干共振的研究越來越多地集中于耦合非線性系統(tǒng)[6-10]，由于一般情況下非線性系統(tǒng)不是孤立的，系統(tǒng)之間存在耦合，通過噪聲與耦合系統(tǒng)作用，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生比單個(gè)系統(tǒng)的隨機(jī)共振和相干共振更強(qiáng)的效應(yīng)，即系統(tǒng)的隨機(jī)共振和相干共振可以通過耦合得到加強(qiáng)。以往的許多研究主要考慮白噪聲的作用[11-12]，而噪聲往往都具有一定的相關(guān)性，具有相關(guān)性的噪聲稱為色噪聲。本文通過有限耦合的FitzHugh-Nagumo (FHN)模型，在考慮色噪聲作用下，研究耦合神經(jīng)元個(gè)數(shù)、色噪聲相關(guān)率和色噪聲強(qiáng)度對(duì)耦合神經(jīng)元系統(tǒng)相干共振的影響。

1 模型和方法

色噪聲作用下的耦合FHN神經(jīng)元模型，其隨機(jī)微分方程為[11-13]：

式(1)所表達(dá)的生物學(xué)意義是，當(dāng)神經(jīng)元xj達(dá)到閾值xu后，神經(jīng)元立即放電，同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)放電脈沖，進(jìn)而對(duì)下一個(gè)神經(jīng)元xi產(chǎn)生影響。當(dāng)系統(tǒng)的分岔參數(shù)在只存在閾上振蕩響應(yīng)的區(qū)域內(nèi)且在分岔點(diǎn)的小鄰域內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)在微弱的內(nèi)噪聲下攝動(dòng)，分岔參數(shù)在分岔點(diǎn)的兩側(cè)隨機(jī)地變化，進(jìn)而使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在分岔發(fā)生前后的吸引子之間躍遷。當(dāng)系統(tǒng)在微弱的外噪聲下攝動(dòng)，由于分岔點(diǎn)的移動(dòng)使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在分岔發(fā)生前后的吸引子之間躍遷[14]。

2 結(jié)果與分析

本文通過運(yùn)用隨機(jī)龍格-庫(kù)塔法[18-19]求解非線性微分方程式(1)，可以得到不同條件下，耦合神經(jīng)元個(gè)數(shù)N、色噪聲相關(guān)率λ和色噪聲強(qiáng)度D與神經(jīng)元放電脈沖和變差系數(shù)之間的關(guān)系曲線，如圖1～圖6所示。參數(shù)選擇如下[16-19]：ε=0.01，a=1.05，G=0.08，計(jì)算積分步長(zhǎng)Δt=0.001 s，持續(xù)時(shí)間100 s。對(duì)于耦合神經(jīng)元體系，色噪聲相關(guān)率、色噪聲強(qiáng)度和耦合神經(jīng)元個(gè)數(shù)都可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)的相干共振產(chǎn)生影響，分別進(jìn)行討論。

2.1 噪聲相關(guān)率的影響

固定色噪聲強(qiáng)度和耦合神經(jīng)元個(gè)數(shù)、不同色噪聲相關(guān)率下，膜電位隨時(shí)間的變化曲線如圖1所示，取D=0.03，N=10。從圖中可以看出，在不同的色噪聲相關(guān)率下，膜電位變化的規(guī)整性不一致，當(dāng)色噪聲相關(guān)率為λ=0.6時(shí)，膜電位更規(guī)整，該特性定性表明色噪聲相關(guān)率對(duì)神經(jīng)元放電產(chǎn)生的影響是非單調(diào)的，存在一個(gè)最優(yōu)的噪聲相關(guān)率水平，能使神經(jīng)元放電更規(guī)則。

不同色噪聲強(qiáng)度下，變差系數(shù)CV隨色噪聲相關(guān)率λ的變化曲線如圖2所示，取N=10。從圖中可以看出，當(dāng)色噪聲強(qiáng)度取不同值時(shí)，變差系數(shù)是色噪聲相關(guān)率λ的非單調(diào)函數(shù)。當(dāng)色噪聲相關(guān)率λ增大時(shí)，變差系數(shù)逐漸減?。贿_(dá)到一個(gè)最小值后，變差系數(shù)又逐漸增大，說明固定色噪聲強(qiáng)度時(shí)，存在一個(gè)最優(yōu)的色噪聲相關(guān)率，使系統(tǒng)出現(xiàn)相干共振現(xiàn)象。綜合圖1和圖2可知，當(dāng)色噪聲相關(guān)率λ和色噪聲強(qiáng)度D相匹配時(shí)，能使神經(jīng)元放電的有序性達(dá)到最大。

圖1 不同色噪聲相關(guān)率下FHN模型隨時(shí)間的變化曲線

圖2 D取不同值時(shí)變差系數(shù)隨色噪聲相關(guān)率λ的變化曲線

2.2 噪聲強(qiáng)度的影響

固定耦合神經(jīng)元個(gè)數(shù)、色噪聲相關(guān)率和耦合強(qiáng)度，不同色噪聲強(qiáng)度下，膜電位隨時(shí)間的變化曲線如圖3所示，取λ=0.5，N=10。從圖中可以看出，在不同的噪聲強(qiáng)度下，膜電位變化的規(guī)整性不一致，當(dāng)色噪聲強(qiáng)度D=0.08時(shí)，膜電位更規(guī)整，說明不同的色噪聲強(qiáng)度對(duì)FN模型放電產(chǎn)生的影響不一樣，存在一個(gè)最優(yōu)的色噪聲強(qiáng)度水平，能使神經(jīng)元出現(xiàn)規(guī)則，即出現(xiàn)相干共振現(xiàn)象。

色噪聲相關(guān)率λ取不同值時(shí)，變差系數(shù)CV隨噪聲強(qiáng)度D變化的關(guān)系曲線如圖4所示，取N=10。從圖中可以看出，當(dāng)色噪聲相關(guān)率取不同值時(shí)，變差系數(shù)CV是色噪聲強(qiáng)度D的非單調(diào)函數(shù)。當(dāng)色噪聲強(qiáng)度增大時(shí)，變差系數(shù)逐漸減??；到達(dá)一個(gè)最小值后，變差系數(shù)又逐漸增大。該特性表明在色噪聲強(qiáng)度較小時(shí)，由于沒有外加激勵(lì)，故色噪聲讓神經(jīng)元隨機(jī)放電；當(dāng)色噪聲強(qiáng)度到達(dá)某一個(gè)最優(yōu)值時(shí)，變差系數(shù)達(dá)到一個(gè)極小值。表明神經(jīng)元放電的峰序列有序度達(dá)到一個(gè)最佳狀態(tài)，不同的色噪聲強(qiáng)度能影響神經(jīng)元放電的規(guī)則性，色噪聲強(qiáng)度太大或太小都會(huì)使神經(jīng)元放電的規(guī)則性減弱，存在一個(gè)最優(yōu)的色噪聲強(qiáng)度水平，使得神經(jīng)元放電峰序列的規(guī)則性最強(qiáng)，即出現(xiàn)相干共振現(xiàn)象。

圖3 不同噪聲強(qiáng)度下FHN模型隨時(shí)間的變化曲線

圖4 不同噪聲相關(guān)率λ下，變差系數(shù)隨色噪聲強(qiáng)度D的變化曲線

2.3 耦合神經(jīng)元個(gè)數(shù)的影響

固定色噪聲相關(guān)率、噪聲強(qiáng)度和耦合系數(shù)，耦合神經(jīng)元個(gè)數(shù)N取不同值時(shí)，膜電位隨時(shí)間的變化曲線如圖5a～圖5c所示，取D=0.08，λ=0.6。圖5a為耦合數(shù)N=2時(shí)，F(xiàn)N模型輸出的放電脈沖序列。從圖中可以看出，放電脈沖的峰峰間隔很不規(guī)整。圖5b和圖5c分別為耦合數(shù)N=8和N=16時(shí)，F(xiàn)N模型輸出的放電脈沖序列。從圖中可以看出，隨著耦合數(shù)的增加，神經(jīng)元放電脈沖的峰峰間隔越來越規(guī)整，說明色噪聲在耦合可激發(fā)模型中隨耦合數(shù)的增加而使放電脈沖的相干性得到加強(qiáng)。由于擴(kuò)散耦合，局域的激發(fā)產(chǎn)生的脈沖將會(huì)擴(kuò)散到相鄰的區(qū)域，并將相鄰區(qū)域的單元也激發(fā)到閾值水平之上，相鄰的神經(jīng)元也被激活，無序的能量轉(zhuǎn)化為有序的動(dòng)力，從而促使系統(tǒng)新序的建立。這樣通過神經(jīng)元之間的耦合可使得不規(guī)則的放電脈沖經(jīng)過若干神經(jīng)元后，形成更規(guī)則的放電序列。

圖5 神經(jīng)元個(gè)數(shù)N取不同值時(shí)的放電脈沖序列

圖6 D取不同值時(shí)，變差系數(shù)隨神經(jīng)元個(gè)數(shù)N的變化曲線

色噪聲強(qiáng)度取不同值時(shí)，變差系數(shù)CV隨耦合神經(jīng)元個(gè)數(shù)N變化的關(guān)系曲線如圖6所示，取λ=0.6。從圖中可以看出，隨神經(jīng)元個(gè)數(shù)N增加，變差系數(shù)單調(diào)減小，神經(jīng)元個(gè)數(shù)越多，神經(jīng)元放電脈沖的規(guī)則性越強(qiáng)。該特性說明，適合的耦合可以使整個(gè)神經(jīng)元鏈上的相干性得到增強(qiáng)，不至于被色噪聲破壞，還可以合理利用噪聲能量使系統(tǒng)輸出序列的變差系數(shù)減小。在小的神經(jīng)元個(gè)數(shù)下，變差系數(shù)隨色噪聲強(qiáng)度的增大而單調(diào)減小，說明合適的噪聲強(qiáng)度能使耦合神經(jīng)系統(tǒng)的相干性得到增強(qiáng)，該結(jié)果與圖4相吻合。

3 結(jié) 論

本文研究了耦合FN模型中，不同耦合神經(jīng)元個(gè)數(shù)、色噪聲相關(guān)率和色噪聲強(qiáng)度情況下的相干共振現(xiàn)象。研究表明，在非線性系統(tǒng)的分岔點(diǎn)附近，通過非線性與隨機(jī)力的作用，無序的能量可能會(huì)轉(zhuǎn)化為有序的動(dòng)力，從而促進(jìn)建立系統(tǒng)新序，通過選擇合適的耦合強(qiáng)度、耦合神經(jīng)元個(gè)數(shù)和色噪聲相關(guān)率，可以增加峰電壓序列的有序度，使相干性達(dá)到最大，從而增強(qiáng)系統(tǒng)的相干共振。本文的研究結(jié)果可對(duì)色噪聲作用下耦合可激發(fā)動(dòng)力學(xué)的時(shí)空研究起到補(bǔ)充作用，并對(duì)研究色噪聲作用下神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)信號(hào)傳輸?shù)葐栴}具有一定的理論和指導(dǎo)意義。

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