張 霞 路長厚

（山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250061）

機(jī)床主軸是高速機(jī)床的核心部件，其性能好壞在很大程度上決定了整臺(tái)機(jī)床的加工精度和生產(chǎn)效率［1］。主軸組件中，滾動(dòng)軸承內(nèi)圈與主軸通常以過盈配合聯(lián)接，過盈量的大小會(huì)影響軸承工作游隙，繼而影響主軸的剛度、旋轉(zhuǎn)精度以及主軸和軸承的使用壽命。過盈量過大會(huì)使軸承裝配困難，甚至破壞配合表面；過盈量過小則會(huì)造成配合面打滑，加劇主軸、軸承的磨損和溫升。因此，機(jī)床主軸與軸承內(nèi)圈間的過盈配合特性是影響主軸性能的重要因素之一。

高速機(jī)床主軸的工作轉(zhuǎn)速較高，其DN 值甚至超過了1.0 ×106mm·r/min。軸承內(nèi)圈和主軸在很大的離心力作用下，會(huì)在徑向產(chǎn)生不同程度的膨脹，使內(nèi)圈與主軸之間的配合過盈量發(fā)生變化。傳統(tǒng)的過盈配合設(shè)計(jì)是以拉美（Lame）方程為基礎(chǔ)，并在俄羅斯學(xué)者加道林院士提出的組合圓筒理論基礎(chǔ)上進(jìn)行的［2］?；诶婪匠毯秃癖谕苍淼膫鹘y(tǒng)方法存在著一定局限性，只停留在滿足靜態(tài)扭矩傳遞需求上，而沒有考慮主軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)離心力對(duì)聯(lián)結(jié)狀態(tài)的影響，因此只適用于較低轉(zhuǎn)速下。近年來國內(nèi)外一些學(xué)者基于非線性有限元方法對(duì)高速主軸與轉(zhuǎn)子之間的過盈配合特性作了研究，將兩者均簡化為厚壁圓筒［3-4］。由于軸承與轉(zhuǎn)子存在外形尺寸及結(jié)構(gòu)的較大差異，所以不能將這兩種情況完全等效。因此有必要采用適合軸承內(nèi)圈的更加合理的假設(shè)，在離心力成為主要載荷的情況下，分析過盈量與轉(zhuǎn)速、接觸應(yīng)力與轉(zhuǎn)速間的關(guān)系，為高速主軸與軸承間過盈配合的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

高速離心力對(duì)軸承的內(nèi)環(huán)與軸、外環(huán)與孔及滾動(dòng)體與內(nèi)外環(huán)的配合特性均有重要影響。本文僅就離心力對(duì)內(nèi)環(huán)與軸的配合特性的影響進(jìn)行研究。

1 初始過盈量的確定

高速主軸與軸承內(nèi)環(huán)間常采用過盈配合，因此正確地確定過盈量，并從工作的可靠性和經(jīng)濟(jì)性的原則出發(fā)，合理地運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)，選擇相應(yīng)的配合，是高速主軸過盈配合設(shè)計(jì)的基本工作［2］。工作于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下主軸與軸承內(nèi)圈的配合，其接觸面上的變形和接觸應(yīng)力由于離心力的作用而變化，這種變化在通常使用的轉(zhuǎn)速下一般忽略不計(jì)。但在研究轉(zhuǎn)速較高的聯(lián)結(jié)時(shí)，必須分析變形、接觸應(yīng)力與轉(zhuǎn)速間的關(guān)系，為主軸/軸承聯(lián)結(jié)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供理論依據(jù)［5］。

假設(shè)高速主軸與軸承的結(jié)構(gòu)如圖1 呈軸對(duì)稱，以等角速度ω 繞其軸線旋轉(zhuǎn)，離心力為ρω2r，應(yīng)力沿厚度方向沒有變化。將離心力作為徑向單位體積力作用于主軸和軸承內(nèi)圈上，軸承內(nèi)圈寬度和壁厚遠(yuǎn)小于其直徑，將其簡化為薄壁圓環(huán)，按平面應(yīng)力問題求解；而空心主軸簡化為厚壁圓筒，按平面應(yīng)變問題求解。在分析中，不考慮由于轉(zhuǎn)動(dòng)所引起的切向剛性位移分量，僅考慮其相對(duì)變形部分。所作的分析是以遠(yuǎn)離封閉端的中間截面為對(duì)象，且相同半徑處的所有點(diǎn)將產(chǎn)生同樣大小的位移。

1.1 軸承內(nèi)徑徑向位移

由于軸承內(nèi)環(huán)是軸對(duì)稱的，因此在極坐標(biāo)系中，應(yīng)力與位移是軸對(duì)稱的，配合件的切向位移和剪應(yīng)力為零。根據(jù)彈性力學(xué)原理，應(yīng)力函數(shù)只是徑向尺寸r 的函數(shù)，與極角無關(guān)。由幾何方程可得應(yīng)變分量為

平面應(yīng)力下的物理方程為

式中：εr、εθ分別代表徑向和環(huán)向應(yīng)變分量；σr，σθ分別代表徑向和環(huán)向應(yīng)力；u 為徑向位移；E 為軸承內(nèi)圈材料的彈性模量；μ 為軸承內(nèi)圈材料的泊松比。

高速旋轉(zhuǎn)的軸承內(nèi)圈因離心力引起徑向位移，其在極坐標(biāo)系的平衡微分方程簡化為［6］

式中：ρ 為軸承內(nèi)圈材料密度；ω 為旋轉(zhuǎn)角速度；r 為徑向半徑。

聯(lián)立式（1）、（2）、（3）得

其一般解為

并代入式（1）、（2）有

如圖2 所示，對(duì)于高速旋轉(zhuǎn)的軸承內(nèi)圈，假設(shè)其溝道和內(nèi)圈外徑表面不受力，內(nèi)徑表面過盈安裝于主軸上，且承受均勻壓力p。內(nèi)圈尺寸為2b，用內(nèi)溝尺寸2c近似模型中的外環(huán)尺寸，將該內(nèi)圈的邊界條件r=b，σr=-p；r=c，σr=0，代入式（6）可得C1和C2，再將C1和C2代入式（5），令r=b，可得到內(nèi)圈內(nèi)徑的徑向位移為

1.2 主軸外徑徑向位移

將空心主軸簡化為厚壁圓筒，按平面應(yīng)變問題求解，可得平面應(yīng)變下的物理方程為

聯(lián)立以上式（1）、（3）、（8）可得：

其一般解為

代入式（1）、（8）有

如圖2，空心主軸外徑受配合壓力p，內(nèi)徑表面自由，由邊界條件r=b，σr=-p；r=a，σr=0 代入式（10）可以求得C1、C2，再將C1和C2代入式（9），并令r=b，可以得到主軸外徑的徑向位移為

1.3 考慮離心力時(shí)所需要的過盈量

機(jī)床主軸與軸承內(nèi)圈過盈配合，當(dāng)主軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，一方面由于離心力的作用，會(huì)引起軸承內(nèi)圈內(nèi)徑擴(kuò)張，主軸外徑膨脹，從而引起過盈量變化；另一方面，軸承內(nèi)圈內(nèi)徑尺寸因受配合壓力的作用而增大，主軸外徑尺寸因配合壓力的作用而減小。此時(shí)，內(nèi)圈與主軸配合所需的過盈量可按下式計(jì)算：

其中，式（12）前一項(xiàng)Is與轉(zhuǎn)速無關(guān)，它與配合面間的壓力成正比，后一項(xiàng)Ii是內(nèi)圈和主軸由于離心力的作用而需要的過盈量，在主軸軸承結(jié)構(gòu)尺寸一定的情況下與主軸轉(zhuǎn)速的平方成正比。另外，所確定的過盈量應(yīng)滿足主軸及軸承內(nèi)圈的強(qiáng)度。

2 高速旋轉(zhuǎn)主軸過盈配合的仿真模擬

近年來，隨著計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)和非線性有限元技術(shù)的發(fā)展，人們開始借助于非線性有限元法來分析、仿真模擬過盈配合面間的應(yīng)力、位移變化規(guī)律。高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，主軸與軸承內(nèi)圈均受到過盈配合引起的應(yīng)力和離心力產(chǎn)生的應(yīng)力作用。從力學(xué)角度看，過盈配合是接觸問題的一種，屬于邊界條件高度非線性的復(fù)雜問題，配合面間呈現(xiàn)出很復(fù)雜的接觸狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)［7］。用有限元法求解接觸問題時(shí)以往常采用的物理模型是節(jié)點(diǎn)接觸對(duì)模型，即將兩接觸物體的接觸面劃分成相同的網(wǎng)格，組成一一對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)對(duì)，并假定兩接觸體間的力是通過節(jié)點(diǎn)對(duì)傳遞的。這種模型必須預(yù)先知道接觸發(fā)生的明確部位，以便建立接觸節(jié)點(diǎn)對(duì)和施加單位虛擬載荷，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜問題和考慮摩擦的動(dòng)態(tài)接觸問題，節(jié)點(diǎn)對(duì)模型將給結(jié)構(gòu)離散和方程求解帶來極大困難，從而難以解決［8］。本文中采用了面面接觸模型，把兩接觸面分為目標(biāo)面和接觸面，這種模型能有效地處理復(fù)雜接觸表面和動(dòng)態(tài)接觸問題［9］。

為適應(yīng)高速主軸高速、較高剛度運(yùn)轉(zhuǎn)的需求，高速主軸軸承模型采用了如圖1 的支撐結(jié)構(gòu)形式。所選用高速主軸前軸承處配合面的基本尺寸為：外徑2b=70 mm，內(nèi)孔直徑為2a=25 mm；后軸承處配合面的基本尺寸為：外徑2b′=60 mm，內(nèi)孔直徑為2a′=25 mm。主軸和軸承內(nèi)圈都為鋼質(zhì)材料，材料的彈性模量E=2.1 ×1011N/m2，泊松比ν=0.3，主軸與軸承內(nèi)圈配合面間的摩擦系數(shù)μ=0.09，主軸材料的許用應(yīng)力σ 為567 N/mm2，軸承材料的許用應(yīng)力［σ］為628 N/mm2。軸承選用接觸角為15°的特輕系列角接觸混合陶瓷球軸承，輕預(yù)緊，代號(hào)為7000CD/HCP4DBA，其技術(shù)參數(shù)見表1。

表1 混合陶瓷球軸承的主要參數(shù)

由于軸對(duì)稱，進(jìn)行有限元分析時(shí)，為減小運(yùn)算規(guī)模提高運(yùn)算速度，采用1/4 實(shí)體建模。實(shí)體單元采用帶中間節(jié)點(diǎn)的SOLID186 單元，利用掃略法劃分網(wǎng)格，三維有限元模型見圖3。該有限元模型包含4276 個(gè)單元，19375 個(gè)節(jié)點(diǎn)，把軸承內(nèi)圈的內(nèi)表面定義為目標(biāo)面，把主軸的外圓柱面定義為接觸面，把接觸表面過盈量以及旋轉(zhuǎn)速度產(chǎn)生的慣性力視為作用在主軸與軸承內(nèi)圈上的載荷。

2.1 旋轉(zhuǎn)速度對(duì)配合過盈量的影響

當(dāng)主軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，在離心力的作用下，主軸外徑與軸承內(nèi)圈內(nèi)徑表面發(fā)生不同程度的膨脹，影響兩者之間的過盈配合特性。當(dāng)速度低于松脫轉(zhuǎn)速時(shí)兩者之間仍然處于非線性接觸狀態(tài)，離心力的影響僅僅是減小了過盈量，當(dāng)速度高于松脫轉(zhuǎn)速時(shí)，兩者將處于分離狀態(tài)。

圖4 顯示了旋轉(zhuǎn)速度分別為2500 r/min、5000 r/min、10000 r/min、15000 r/min、20000 r/min、30000 r/min、40000 r/min、50000 r/min 時(shí)主軸外圓柱面徑向位移、軸承內(nèi)圈內(nèi)圓柱面徑向位移以及過盈減小量的變化情況（半徑方向）。

對(duì)于旋轉(zhuǎn)速度較低的機(jī)床主軸而言，由于離心力對(duì)過盈配合量影響較小，因此分析時(shí)一般忽略不計(jì)，僅把傳遞最大扭矩作為計(jì)算有效過盈量的依據(jù)即可滿足設(shè)計(jì)需要。但對(duì)于高速旋轉(zhuǎn)的主軸而言，則必須考慮離心力對(duì)過盈量的減小效應(yīng)，并將這種影響給予補(bǔ)償；否則，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過一定極限值時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)松脫現(xiàn)象，造成配合面打滑，加劇主軸、軸承的磨損和溫升，縮短軸承的使用壽命。因此，必須研究轉(zhuǎn)速對(duì)過盈配合的影響。如圖4a 所示，當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度為2500 r/min 時(shí)，半徑方向過盈減小量僅為0.11 μm，可以忽略不計(jì)；當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度為30000 r/min 時(shí)，半徑方向的過盈減小量上升為16.14 μm ；當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度為50000 r/min 時(shí)，半徑方向過盈減小量高達(dá)44.85 μm，就需要增加初始過盈量，以補(bǔ)償離心力對(duì)過盈量的影響。該補(bǔ)償值極有可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于靜態(tài)過盈量，從而成為影響過盈配合設(shè)計(jì)的主要因素。圖4a 為前軸承處接觸面徑向位移，圖4b 為后軸承處接觸面徑向位移，由圖4 可得，主軸與軸承內(nèi)圈之間的過盈量會(huì)隨速度的增大而減小，并與轉(zhuǎn)速的平方成正比；由4a、b 兩圖可得，當(dāng)配合面的基本尺寸增大時(shí)，這種影響更加明顯。

對(duì)本文上述所采用的模型，取ω=4186.67 rad/s（40000 r/min），代入式（12）中，可得考慮離心力時(shí)的過盈量I=58.89 μm。當(dāng)初始過盈量為60 μm 時(shí)，考慮過盈配合產(chǎn)生的端部效應(yīng)，最大等效應(yīng)力為184 MPa，小于軸承內(nèi)圈及主軸材料的許用應(yīng)力，所以可以取初始過盈量為60 μm（直徑方向）。

圖5 是當(dāng)以上有限元模型主軸與前軸承內(nèi)圈之間存在60 μm 的過盈量時(shí)，旋轉(zhuǎn)速度分別為2500 r/min、5000 r/min、10000 r/min、15000 r/min、20000 r/min、30000 r/min、40000 r/min、50000 r/min 時(shí)前軸承處主軸外圓柱面徑向位移、軸承內(nèi)圈內(nèi)圓柱面徑向位移及過盈量減小值的變化關(guān)系（半徑方向）。比較圖4a 和圖5，可看出增加初始過盈量后，當(dāng)轉(zhuǎn)速小于40000 r/min 時(shí)，曲線斜率變化緩慢，即采用提高初始過盈量的方法能較好的補(bǔ)償離心力對(duì)過盈量的影響。

2.2 旋轉(zhuǎn)速度對(duì)接觸應(yīng)力的影響

在高速旋轉(zhuǎn)工作中，主軸與軸承內(nèi)圈均受到過盈配合引起的應(yīng)力和離心力產(chǎn)生的應(yīng)力作用。由力的疊加原理可知，接觸面間各點(diǎn)應(yīng)力均為上述兩方面應(yīng)力疊加而成。離心力所產(chǎn)生的拉應(yīng)力抵消部分過盈產(chǎn)生的壓應(yīng)力，從而減小了接觸應(yīng)力。圖6 為前軸承配合面處的接觸應(yīng)力與轉(zhuǎn)速的關(guān)系。從圖6 可以看出，接觸應(yīng)力隨著轉(zhuǎn)速的提高而逐漸減小。對(duì)本文上述所采用的模型，在過盈量為60 μm 的情況下，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速達(dá)到40000 r/ min 時(shí)，主軸與軸承內(nèi)環(huán)間的接觸應(yīng)力接近為零。

3 結(jié)語

研究表明，處于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的主軸與軸承內(nèi)環(huán)間的過盈聯(lián)接特性會(huì)受到旋轉(zhuǎn)速度的影響，尤其當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度很高時(shí)，這種影響較大，有可能成為影響過盈配合特性的主要因素。高速旋轉(zhuǎn)的軸承內(nèi)圈和空心主軸可簡化為薄壁圓環(huán)和厚壁圓筒，將徑向離心力作為徑向單位體積力作用于主軸和軸承內(nèi)圈上，建立高速主軸軸承內(nèi)圈與轉(zhuǎn)軸配合過盈量的計(jì)算公式。由該公式及模擬仿真均可得出主軸與軸承間的過盈量與接觸應(yīng)力隨著轉(zhuǎn)速的提高而逐漸減小，且按轉(zhuǎn)速的平方關(guān)系衰減。為補(bǔ)償離心力對(duì)聯(lián)接特性的影響，可以采用該公式確定初始過盈量。

［1］ZHAO Haitao，YANG Jiangguo，SHEN Jinhua.Simulation of thermal behavior of a CNC machine tool spindle［J］.International Journal of Machine Tool&Manufacture，2006（46）：128 -130.

［2］張新義.機(jī)械精度設(shè)計(jì)的理論概率法［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1995.

［3］馬平，張伯霖，李鍛能，等.高速機(jī)床主軸過盈配合量的計(jì)算［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，1999（7）：22 -27.

［4］張松，艾興，劉戰(zhàn)強(qiáng).基于有限元的高速旋轉(zhuǎn)主軸過盈配合研究［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2004，23（1）：15 -17.

［5］Jedrzejewski J，KOwal Z，Kwansny W，et al.High-speed precise machine tools spindle units improving［J］.Journal of Materials Processing Technology，2005（162/163）：615 -620.

［6］徐芝綸.彈性力學(xué)［M］.北京：人民教育出版社，1982.

［7］許小強(qiáng)，趙洪倫.過盈配合應(yīng)力的接觸非線性有限元分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2000（1）：33 -35.

［8］Zhang Y，McClain B，F(xiàn)ang X D.Design of interference fits via finite element method［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2000（42）：1835 -1850.

［9］小颯工作室.最新經(jīng)典ANSYS 及Workbench 教程［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2004.