王 健，李郝林

WANG Jian, LI Hao-lin

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200090）

漸開線磨削中的非等分直線段逼近算法

Non-attainment straight linear impending algorithm on involute grinding

王 健，李郝林

WANG Jian, LI Hao-lin

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200090）

為了保證齒輪漸開線磨削的質(zhì)量，本文研究了漸開線磨削中的非等分直線段逼近算法。文末通過齒輪成型磨削的例子，證明了所提出方法的有效性。

數(shù)控加工；非等分線段；漸開線磨削

0 引言

齒輪成型磨削是齒輪精密加工的一種常用方法，這種加工方法要求將砂輪修整為齒輪的齒廓形狀，通過砂輪的往復(fù)運(yùn)動(dòng)完成齒輪的磨削加工[1]。由于一般數(shù)控系統(tǒng)只具有直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)功能，因此在齒形漸開線線磨削時(shí)，一般需用直線插補(bǔ)或圓弧插補(bǔ)算法，在保證一定的加工精度前提下，對于漸開線線進(jìn)行逼近計(jì)算，常用的算法有等插補(bǔ)段法、等插補(bǔ)誤差法、三點(diǎn)圓法等[2]。對于漸開線磨削，首先需要解決漸開線的光順處理問題，非等分直線段逼近算法總體上一階光滑，易于局部處理，可直接利用數(shù)控系統(tǒng)的直線插補(bǔ)功能等，本文根據(jù)漸開線磨削的特點(diǎn)，重點(diǎn)研究了非等分直線段逼近算法，并將這一算法應(yīng)用于齒輪的成型磨削之中。

1 漸開線的非等分直線段逼近算法

以齒輪壓力角a為變量，齒輪齒形的漸開線方程為

如圖1所示，假設(shè)齒輪漸開線壓力角為0～20o，OXY為坐標(biāo)系，曲線OP為齒輪的漸開線軌跡。連接O、P兩點(diǎn)，則計(jì)算曲線OP與直線OP之間的最大距離Dmax，設(shè)其為D1。由于實(shí)驗(yàn)中所采用的是Hiwin直線電機(jī)，精度可以達(dá)到1μm，考慮到溫度等因素的影響，最大距離要低于1μm。當(dāng)然，若希望直線段逼近漸開線更加精確光滑，最大距離越小越好，但同樣會(huì)增加計(jì)算量。很明顯，計(jì)算得到的D1要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1μm。

圖1 漸開線OP軌跡與直線OP間的距離

此時(shí)，重新連接O與漸開線中點(diǎn)P1，得到直線段OP1，計(jì)算漸開線部分曲線OP1與直線段OP1之間的最大距離，一個(gè)新的Dmax，設(shè)其為D2。如圖2所示。

D2若大于1μm，則重復(fù)上述過程，取部分漸開線OP1的中點(diǎn)P2，連接O與P2，找最大距離D3，周而復(fù)始，直到Dn小于1μm。這時(shí)確定了第一直線段OPn+1。然后連接Pn+1與P兩點(diǎn)，計(jì)算最大距離并與1μm比較，如圖3所示。

圖2 部分漸開線OP1軌跡與直線OP1間的距離

圖3 部分漸開線Pn+1P軌跡與直線Pn+1P間的距離

圖4 漸開線所有分段

2 算例

實(shí)驗(yàn)采用臺(tái)灣Hiwin直線馬達(dá)，直線度可達(dá)3-10um，X軸最大6m、Y軸0.5m行程，以線性滑軌架構(gòu)之定位平臺(tái)，Z向震動(dòng)可達(dá)奈米等級以下，最大速度可達(dá)5m/s ，標(biāo)準(zhǔn)重現(xiàn)精度1um或以下，位置回饋系統(tǒng)解析度最低可達(dá)50nm。實(shí)驗(yàn)儀器如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)儀器

本文應(yīng)用所提出的方法在上海機(jī)床廠有限公司齒輪成型磨削中得到了驗(yàn)證。所磨削的齒輪參數(shù)為模數(shù)m=5，齒數(shù)z=13, 分度圓壓力角α=20 o，對于該齒輪的漸開線磨削，在逼近誤差為1μm時(shí)，需要40段直線段進(jìn)行逼近。而應(yīng)用上述的非等分直線段逼近算法，則只需要17段直線段即可滿足逼近誤差。 Dn值如表1所示。

表1 17段直線段的Dn值

3 結(jié)論

本文結(jié)合磨削加工的要求以及數(shù)控系統(tǒng)只能進(jìn)行直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)的情況，研究了非等分直線段逼近算法。所提出的方法通過齒輪成型磨削中漸開線的磨削，證明了其有效性。同時(shí)，本方法還適合具有方程的任意自由曲線，

[1] 李郝林,陳颯,華儉.齒輪成型磨削齒形誤差在線測量技術(shù)[J].計(jì)量學(xué)報(bào),2005,4:125-127.

[2] 李郝林,方鍵.機(jī)床數(shù)控技術(shù)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2001.

TP273

A

1009-0134(2010)11(上)-0055-02

10.3969/j.issn.1009-0134.2010.11(上).18

2010-03-27

上?？茖W(xué)技術(shù)委員會(huì)資助項(xiàng)目（08110511600）

王?。?985 -），男，河北石家莊人，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)榫軠y試與控制。