譚永基

（復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200443）

對數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗課程的幾點看法

譚永基

（復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200443）

綜述了國內(nèi)外數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗課程的歷史和現(xiàn)狀并對國內(nèi)這兩門課程存在的問題以及改進(jìn)的對策提出了自己的看法.

數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)實驗

我們承擔(dān)了高校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心關(guān)于進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗課程改革的課題，對國內(nèi)外這兩門課程發(fā)展的歷史和現(xiàn)狀和國內(nèi)這兩門課程當(dāng)前存在的問題作了一些調(diào)查研究，形成了一些不成熟的看法.現(xiàn)綜述如下.

1 數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗課程的起源和國外概況

第二次世界大戰(zhàn)以后進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)高速恢復(fù)發(fā)展的時期，從20世紀(jì)40年代起開始了以電子計算機(jī)技術(shù)、核能、空間技術(shù)和生產(chǎn)過程自動化等為標(biāo)志的第三次產(chǎn)業(yè)革命，出現(xiàn)了“高技術(shù)”，對數(shù)學(xué)的應(yīng)用提出了新的更高的要求.由于在第二次世界大戰(zhàn)中涌現(xiàn)和儲備了大量的優(yōu)秀應(yīng)用數(shù)學(xué)人才，而電子計算機(jī)的出現(xiàn)與發(fā)展又為數(shù)學(xué)更廣泛的應(yīng)用提供了可能.于是數(shù)學(xué)對工業(yè)技術(shù)發(fā)揮的作用越來越直接，數(shù)學(xué)的作用從幕后走向了臺前.1972年由美國總統(tǒng)顧問戴維起草的關(guān)于發(fā)展美國數(shù)學(xué)的報告中指出“我們進(jìn)入了數(shù)學(xué)工程的時代”.

用數(shù)學(xué)解決科學(xué)技術(shù)問題，建立問題的數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的，于是對數(shù)學(xué)模型的研究、對數(shù)學(xué)建模方法論的研究逐漸興起.到上個世紀(jì)六十年代，數(shù)學(xué)建模課程開始在美國高校中出現(xiàn)，并逐步在歐美各國高校中普及.

目前，歐美主要大學(xué)的數(shù)學(xué)系都開設(shè)數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)建模課程，很多大學(xué)的生物、經(jīng)濟(jì)、金融、管理等系科也開設(shè)專門的數(shù)學(xué)模型課程.1986年開始的美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽推動了數(shù)學(xué)建模課程的普及.數(shù)學(xué)建模課程越來越受到重視，現(xiàn)在每兩年召開一次數(shù)學(xué)建模教學(xué)國際會議，研究數(shù)學(xué)建模課程和數(shù)學(xué)建模教學(xué).西方各國出版了大量數(shù)學(xué)建模教科書和專著，單單美國某圖書經(jīng)銷公司的目錄中就列出了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)模型書目近2000種.

在美國近年用得最普遍的兩種教材分別是；Giordano等編的A First Course in Mathematical Modeling（已翻譯出版）和Douglas Mooney等編的acourse in Mathematical Modeling.后者是由美國數(shù)學(xué)協(xié)會（MAA）出版和推薦的.

據(jù)我們調(diào)查，國外單獨開設(shè)數(shù)學(xué)實驗課程的學(xué)校很少.與我們的數(shù)學(xué)實驗課相關(guān)的有實驗數(shù)學(xué)課以及穿插在其他課程中的數(shù)學(xué)實驗.

數(shù)學(xué)發(fā)展史上，有一批數(shù)學(xué)家認(rèn)為實驗也是數(shù)學(xué)研究的重要手段之一.例如高斯說過他達(dá)到數(shù)學(xué)真理的途徑是“通過系統(tǒng)的實驗”.波利亞指出：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看數(shù)學(xué)是一門體統(tǒng)的演繹科學(xué)，但從另一方面看，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來卻像一門試驗性的歸納科學(xué)”.上個世紀(jì)六十年代著名的四色問題的證明就是通過數(shù)學(xué)結(jié)合計算機(jī)實驗獲得的的重大數(shù)學(xué)成果.這一成果雄辯地證明了實驗對數(shù)學(xué)的重要性，推動了實驗數(shù)學(xué)學(xué)派和實驗數(shù)學(xué)分支的出現(xiàn)和試驗數(shù)學(xué)期刊的出版.實驗數(shù)學(xué)學(xué)派的主要觀點是：實驗是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法，實驗可以啟發(fā)新的猜測或?qū)ΜF(xiàn)有猜測提供支持和依據(jù)，可以指出新的研究領(lǐng)域，實驗可幫助證明新定理.在這一觀點的影響下用實驗來學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的實驗數(shù)學(xué)課程開始出現(xiàn).例如1989年在美國Mount Holyke College開設(shè)了這類課程，為此編寫的教材“數(shù)學(xué)實驗室”后來產(chǎn)生了較大影響.

美國國家自然科學(xué)基金會資助的微積分教學(xué)改革，將實驗引入微積分教學(xué)，通過學(xué)生自己動手，用計算機(jī)等實驗手段學(xué)習(xí)和驗證微積分中的一些重要數(shù)學(xué)結(jié)論.在作為微積分改革的重要產(chǎn)物哈佛的微積分和托馬斯的微積分這兩本教科書中都有體現(xiàn).

在微積分改革后美國國家自然科學(xué)基金會資助強(qiáng)度最大的教改項目是MATC（Mathematical sciences and its applications through curricular）和Links（Mathematics and its application for engineering and science）［1，2］.它們的目的是設(shè)計課程和教學(xué)課件，提供模擬用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實問題全過程的實驗，通過學(xué)生自己動手實驗，讓各專業(yè)學(xué)生提高用數(shù)學(xué)解決本專業(yè)問題和數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決各種科學(xué)技術(shù)問題的能力.

2 國內(nèi)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗課程發(fā)展和現(xiàn)狀

1.發(fā)展過程.

國內(nèi)數(shù)學(xué)建模課程的發(fā)展可分三階段.第一階段20世紀(jì)80年代：建模課程80年代初開始進(jìn)入少數(shù)幾所大學(xué)數(shù)學(xué)系的課堂，到80年代末有幾十所學(xué)校開設(shè)建模課程（主要在數(shù)學(xué)系），1989年開始少數(shù)學(xué)校學(xué)生參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，出版了幾本教材.第二階段為20世紀(jì)90年代：建模課程由數(shù)學(xué)系推廣到理工、經(jīng)管等學(xué)生，到90年代末有幾百所學(xué)校開設(shè)，1992年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽開始舉辦，到2000年有517所學(xué)校3210隊參加，出版約50本教材和讀物.第三階段為21世紀(jì)的10年：開設(shè)建模各種類型課程的學(xué)校達(dá)千所，2009年有1137所學(xué)校15042隊參加全國競賽，出版近200本教材和讀物.近年來在李大潛院士的倡導(dǎo)下，許多院校正在研究和實踐將數(shù)學(xué)建模的思想融合到主干數(shù)學(xué)課程中.

受國外實驗數(shù)學(xué)的影響（“數(shù)學(xué)實驗室”由白峰杉等翻譯出版，“數(shù)學(xué)譯叢”系統(tǒng)介紹國外實驗數(shù)學(xué)的情形）國內(nèi)出現(xiàn)了數(shù)學(xué)實驗課.另外在數(shù)學(xué)建模教學(xué)實踐中許多教師發(fā)現(xiàn)單純的數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)不能滿足培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實問題能力和創(chuàng)新能力的需要.應(yīng)在課內(nèi)增加讓學(xué)生自己動手進(jìn)行實驗，體會解決問題全過程的環(huán)節(jié).于是出現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模實驗或數(shù)學(xué)建模實踐的新課程.1995年制定的工科數(shù)學(xué)教學(xué)體系改革方案中，數(shù)學(xué)實驗被列為主要課程之一.

為調(diào)查數(shù)學(xué)實驗課程的情況我們進(jìn)行了問卷調(diào)查.發(fā)出的200份問卷調(diào)查收回了66份，其中開設(shè)該課程的學(xué)校占2／3.各校該課程的課時數(shù)不同，從18到72學(xué)時；內(nèi)容、要求、考核方式呈“百花齊放”的局面.課程教學(xué)對計算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用明顯，多媒體課件和數(shù)學(xué)軟件使用廣泛，以案例形式展開教學(xué)是普遍采用方式.

當(dāng)前各院校開設(shè)的數(shù)學(xué)實驗課大致可分四類：第一類，將建模與計算優(yōu)化統(tǒng)計結(jié)合；第二類，通過實驗學(xué)數(shù)學(xué)，不太注重數(shù)學(xué)建模，較適合數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生；第三類，數(shù)學(xué)建模實驗通過案例實踐從建?！獢?shù)值求解—驗證—應(yīng)用的用數(shù)學(xué)解決實際問題全過程；第四類，穿插在高等數(shù)學(xué)等課程中的數(shù)學(xué)實驗.

2.數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)試驗課程特點和優(yōu)點.

這兩門課程有以下特點和優(yōu)點：以培養(yǎng)學(xué)生的解決實際問題的能力、提高他們的綜合素質(zhì)為主；課程以問題驅(qū)動，有利激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的積極性；充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主體作用，學(xué)生能動學(xué)習(xí)，有利培養(yǎng)創(chuàng)新精神；師生互動，有利于小課題研究、團(tuán)隊學(xué)習(xí)、課堂討論、成果報告等有效教學(xué)方法的實施.

3.數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)試驗課程實踐和改革產(chǎn)生了明顯的效果.

首先，這兩門課稱的開設(shè)及其有關(guān)的活動改善了數(shù)學(xué)在公眾中的形象，使公眾認(rèn)識到數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、科技發(fā)展和社會進(jìn)步以及提高人們綜合素質(zhì)中的作用.同時通過這兩門課的學(xué)習(xí)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

其次，這兩門課的教學(xué)和改革實踐有力地推動了數(shù)學(xué)教改，出現(xiàn)生動活潑新局面，誕生許多教改新成果.與這兩門課程有關(guān)的國家級及省級教學(xué)成果獎與國家級及省級精品課程均達(dá)到數(shù)十項之多；許多教師因在教學(xué)和改革中的突出表現(xiàn)被評為國家級或省級教學(xué)名師.

最后，這兩門課的教學(xué)顯著地提高了學(xué)生解決問題能力和創(chuàng)新精神，對培養(yǎng)優(yōu)秀人才的作用初步顯現(xiàn).學(xué)生在各類用數(shù)學(xué)解決問題的實踐活動取得豐碩成果（如挑戰(zhàn)者杯和美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等）.學(xué)生通過這兩門課的學(xué)習(xí)，提高科研能力，發(fā)表許多用數(shù)學(xué)解決各類問題的研究論文.如大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模實踐班學(xué)生自2000年來已署名發(fā)表的科技論文三十余篇，其中主要是英文論文且大部分被SCI檢索.暨南大學(xué)珠海分校數(shù)學(xué)建模實驗室本科生僅2008-2009年，就發(fā)表學(xué)術(shù)論文18篇（第一作者均為學(xué)生）.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課和參加數(shù)學(xué)建模競賽獲獎學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)研究表現(xiàn)突出，多人次獲國家級優(yōu)秀博士論文獎（國防科技大學(xué)等）；其中還有許多人已成長為國內(nèi)外大學(xué)或科研機(jī)構(gòu)的教學(xué)科研骨干.

3 當(dāng)前數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗課程存在的問題和改進(jìn)措施

雖然數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗課程教學(xué)總體而言很有成績，發(fā)展健康，但是在某些學(xué)校的某些方面還是存在一些問題的.

據(jù)我們的調(diào)查，數(shù)學(xué)建模課的主要問題是：有些教師培養(yǎng)能力與創(chuàng)新的意識不強(qiáng)，將數(shù)學(xué)建模課淪為簡單的知識傳授課；數(shù)學(xué)建模課十分適合我們采用師生互動、課堂討論、小課題研究實踐等先進(jìn)的教學(xué)方法，但有些教師將教學(xué)方法倒退為簡單的課堂灌輸.雖然新編寫的數(shù)學(xué)建模教材很多，但部分教材選材陳舊、缺乏特點.有些學(xué)校將數(shù)學(xué)建模課程降格為數(shù)學(xué)建模競賽的培訓(xùn)手段.

而數(shù)學(xué)實驗課程存在的問題是：某些學(xué)校缺乏課程結(jié)合本校實際的正確定位；部分院校無教學(xué)大綱，其它教學(xué)文件缺乏，上課內(nèi)容有隨意性；有些院校課程內(nèi)容安排學(xué)習(xí)軟件和解決問題實踐課時比例失衡，將數(shù)學(xué)實驗課降格為軟件學(xué)習(xí)課程.很多院校都存在數(shù)學(xué)實驗課程的師資隊伍的培養(yǎng)和教學(xué)內(nèi)容更新問題

針對這些問題我們認(rèn)為應(yīng)采取以下改進(jìn)措施：

1.發(fā)揮優(yōu)秀教學(xué)成果和精品課程示范作用；

2.多舉辦各類課程交流研討會和師資培訓(xùn)班；

3.加強(qiáng)對國外教材和經(jīng)驗調(diào)研，介紹國外優(yōu)秀教材、教學(xué)課件；

4.制訂適合各類院校、各種不同要求的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)試驗課程的教學(xué)規(guī)范；

5.推薦相應(yīng)優(yōu)秀教材和現(xiàn)有優(yōu)秀教學(xué)資源和教學(xué)課件；

6.組織研制新的教學(xué)課件翻譯國外優(yōu)秀教學(xué)課件.

我們相信在教學(xué)行政管理部門的支持下，通過這兩門課的任課教師的努力，這兩門新興的數(shù)學(xué)課程一定會更加健康地發(fā)展并在數(shù)學(xué)教改中發(fā)揮更大的推動作用.

［1］ http：∥www.links.math.rpi.edu

［2］ http：∥www.math.dartmouth.edu／～matc／index.html

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1672-1454（2010）增刊1-0019-03