許 飛， 曹貽鵬， 張改平

（裝甲兵工程學院基礎(chǔ)部，北京 100072）

0 引 言

20世紀90年代末以后，經(jīng)陳省身院士的大力倡導(dǎo)，F(xiàn)insler幾何的研究在國際和國內(nèi)有了很大發(fā)展，特別是大量新的Finsler度量的發(fā)現(xiàn)和Finsler空間的整體性質(zhì)的建立，使越來越多的學者更加關(guān)注Finsler幾何的研究，同時，作為Finsler幾何一個重要的研究方向，子流形也越來越受到重視。目前，很多工作都圍繞流形和其子流形的曲率關(guān)系展開，例如 S曲率、旗曲率、Weyle曲率，并在此基礎(chǔ)上得出很多好的結(jié)果，文中正是在上述背景下計算了流形及其子流形的Landsberg曲率關(guān)系。

1 Finsler幾何

定義1[1-3]光滑流形M上的Finsler度量就是TM上的一個函數(shù)F:TM→[0，+∞），滿足:

1）正則性:F在TM{0}上光滑;

2）一階正齊次性:F（x，λ y）=λ F（x，y），?λ＞0;

則稱F是流形M上的Finsler度量，賦予Finsler度量F的光滑流形M稱為Finsler流形。

若{ei}是拉回切叢π*T M的局部標架，定義π*TM上的線性聯(lián)絡(luò)▽

其中X=X′（x，y）ei∈C∞（π*TM），顯然▽是π*TM上的線性聯(lián)絡(luò)。

又定義ρ:T（TM0）→π*TM是向量叢映射，且

則

顯然，▽是π*TM上的無撓聯(lián)絡(luò)，此時稱▽是Chern聯(lián)絡(luò)。

Finsler幾何子流形理論主要是通過將Riemann幾何中子流形的理論推廣到Finsler幾何中，根本不同的一點是將切叢取代流形來作為底流形考慮的，在性質(zhì)上此理論的缺憾在于:

1）計算麻煩，主要是形式比較復(fù)雜。

2）選用Chern聯(lián)絡(luò)時，其誘導(dǎo)的聯(lián)絡(luò)和子流形本身的Chern聯(lián)絡(luò)并不一致，后面將進一步給出兩者的關(guān)系[4-5]。

命題1[6]設(shè) HT M0=（）是Fm+n的非線性聯(lián)絡(luò)，則誘導(dǎo)的Fm非線性聯(lián)絡(luò)與Fm+n的非線性聯(lián)絡(luò)有如下關(guān)系:

在TM0上存在著誘導(dǎo)非線性聯(lián)絡(luò)H TM0=），同時，本身TM0上有內(nèi)蘊的非線性聯(lián)絡(luò)HTM*0=（F*βα），非常遺憾，這兩者并不重合，它們有如下關(guān)系。

命題2[6]設(shè)Fm是Fm+n的子流形，則Fm誘導(dǎo)的和本質(zhì)非線性聯(lián)絡(luò)有如下關(guān)系:

介紹齊性函數(shù)和基本張量，以簡化后續(xù)的計算。

引理1 設(shè)V是一個向量空間，H:=V→R具有r階正奇性，即對一切λ＞0，有

則

具體證明過程詳見文獻[5]。

下面計算Landsberg曲率關(guān)系。

2 Landsberg曲率關(guān)系的計算

定理1 設(shè)M是Finsler M的子流形，Lα βγ為子流形的 Landsberg曲率，Lijk為大流形的Landsberg曲率，它們的關(guān)系如下:

證明 設(shè)Fm是Fm+n的子流形，且Fm誘導(dǎo)的非線性聯(lián)絡(luò)為和本質(zhì)非線性聯(lián)絡(luò)為，由命題1和命題2有:

下面計算流形Fm+n和子流形Fm的Cartan形式的關(guān)系:

將上兩式相乘并輪換指標得:

同理

設(shè) Gα是Fm的Spray系數(shù)，Gα是Fm+n的Spray系數(shù)，則它們的關(guān)系如下:

對上式的Cartan形式進行求導(dǎo):

將上兩式相乘并輪換指標得:

下面將上式各量依次代入子流形的Landsberg曲率公式。

即

[1] Souza M，Spruck J，Tenenblat K A.Bemstein type theorem on a Randers space[J].Math.Ann.，2004，329（2）:291-305.

[2] Souza M，Tenenblat K.Minimal surfaces of retation in Finsler space with a randersmetric[J]. Math.Ann.，2003，325（5）:625-642.

[3] Mo X.An introduction to finsler geometry[M]. [S.l.]:World Scientific，2006.

[4] 莫小歡.黎曼-芬斯勒幾何基礎(chǔ)[M].北京:北京大學出版社，2007.

[5] 聶智，楊國俊.關(guān)于Finsler空間的子流形[J].重慶師范學院學報:自然科學版，1998，15（4）:16-20.

[6] Bejancu A，F(xiàn)arran H R.Geometry of pseudo-Finsler submanifolds[M].Wellington:Kluwer Academic Publisher，2000.