李建剛，周 磊，趙 巍，李澤湘，2

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)深圳研究生院，518055深圳，hit.li.jg@gmail.com;2.香港科技大學(xué)電子及計(jì)算機(jī)工程學(xué)系，香港)

非圓齒輪因其能夠按照一定的變傳動比運(yùn)動，在工業(yè)上應(yīng)用得越來越多，其加工精度的要求也越來越高.非圓齒輪的磨齒問題是一個未能解決的突出難點(diǎn)，嚴(yán)重影響了非圓齒輪在重載和高精度方面的應(yīng)用［1－7］.

成形砂輪展成磨削法是一種全新的非圓齒輪磨削方法［1］.該方法把成形砂輪看作插齒刀的一個刀齒，利用非圓齒輪插齒加工過程中齒廓成形原理，推導(dǎo)出了非圓齒輪齒廓的成形砂輪展成磨削方法.

本文在上述方法基礎(chǔ)上對非圓齒輪和砂輪的空間位置關(guān)系進(jìn)行分析研究.提出了在三軸非圓齒輪插齒機(jī)上增加磨頭裝置來實(shí)現(xiàn)非圓齒輪的磨齒，給出了非圓齒輪磨削無Z方向運(yùn)動進(jìn)行分度的原理和計(jì)算方法，以及由四軸磨削運(yùn)動到三軸磨削的運(yùn)動轉(zhuǎn)換方法.

1 非圓齒輪齒廓的成形砂輪展成磨削原理［1］

非圓齒輪插齒加工是將插齒刀看作一個圓齒輪，根據(jù)非圓齒輪和圓柱齒輪嚙合原理，計(jì)算得到在插齒過程中非圓齒輪和插齒刀的相對運(yùn)動關(guān)系，表示為非圓齒輪轉(zhuǎn)角φi及其中心O的XY坐標(biāo)xi，yi和插齒刀的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動ψi，如圖1所示.即可以通過N組四軸點(diǎn)位坐標(biāo)來控制四軸數(shù)控插齒機(jī)床來實(shí)現(xiàn)插制非圓齒輪，一組點(diǎn)位坐標(biāo)可以表示為Pi(ψi，φi，xi，yi)，其中i=0，1，2，…，N.

這里所說的成形砂輪，就是把盤狀砂輪的廓形修成齒數(shù)為Z0的漸開線圓柱齒輪的一個牙齒的形狀(見圖1).它磨削非圓齒輪一個齒槽的過程就相當(dāng)于齒數(shù)Z0的齒輪和非圓齒輪一個齒槽的嚙合過程.圖2表示瞬時(shí)成形砂輪磨削非圓齒輪第3個齒槽時(shí)的砂輪和非圓齒輪的位置關(guān)系.文獻(xiàn)［1］給出了磨削非圓齒輪第k個齒槽時(shí)，插齒刀和非圓齒輪相對四軸運(yùn)動點(diǎn)序列Pi從i= TSk到i=TEk之間，相對應(yīng)的成形砂輪和非圓齒輪的四軸運(yùn)動數(shù)據(jù)(εk，i，φk，i，xk，i，yk，i)可以計(jì)算得到，這里不再贅述.

圖1 插齒刀刀齒包絡(luò)非圓齒輪齒槽圖［1］

圖2 磨削非圓齒輪第3個齒槽時(shí)砂輪和非圓齒輪之間的位置關(guān)系圖［1］

磨削完一個齒槽后，工件和砂輪作分度運(yùn)動，接著按照齒輪Z0的下一個牙齒與非圓齒輪的下一個齒槽作嚙合運(yùn)動磨削，采用的是一種間隙的展成磨法.

2 非圓齒輪磨削機(jī)床的分析

如果要設(shè)計(jì)一臺符合該原理的非圓齒輪磨齒機(jī)床，需要上述四軸聯(lián)動來實(shí)現(xiàn)展成磨削運(yùn)動.同時(shí)，需要設(shè)計(jì)磨頭使砂輪沿自身軸線高速旋轉(zhuǎn)，形成磨削速度.為了磨到非圓齒輪全齒寬，磨齒過程中砂輪需要沿z方向上下移動，類似于插齒過程中的插齒刀沿自身軸線z往復(fù)切削齒廓的運(yùn)動.

但是，目前沒有滿足上述要求的齒輪磨床，如果要單獨(dú)開發(fā)一臺樣機(jī)，不僅周期長，而且非常昂貴.考慮到該磨削原理是從非圓齒輪插齒加工原理演化而來，最直接的驗(yàn)證方法就是在非圓齒輪插齒機(jī)床中，將插齒刀替換成高速旋轉(zhuǎn)的砂輪來進(jìn)行加工實(shí)驗(yàn).下面就著重討論在插齒機(jī)上通過增加磨頭來實(shí)現(xiàn)磨齒的運(yùn)動計(jì)算問題.

從非圓齒輪成形砂輪展成磨削原理可知，如果假定砂輪中心不動，它們之間的位置關(guān)系可以用砂輪的轉(zhuǎn)動，非圓齒輪中心在平面兩個方向的移動和繞自身中心的轉(zhuǎn)動這4個運(yùn)動來實(shí)現(xiàn).根據(jù)微分幾何原理，兩個物體在平面內(nèi)的相對位置關(guān)系最多只有3個自由度，即只需要用前面這4個運(yùn)動中的3個運(yùn)動就可以表示出它們在平面內(nèi)的相對位置關(guān)系.同時(shí)，在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，已經(jīng)有一批三軸聯(lián)動的非圓齒輪插齒機(jī)床在實(shí)際中應(yīng)用，其運(yùn)動(見圖3)基本滿足非圓磨齒的運(yùn)動需要，只需在插齒刀刀桿上安裝成形砂輪磨頭，就能實(shí)現(xiàn)非圓齒輪磨齒的需要，如圖4所示.下面就給出在三軸插齒機(jī)床中實(shí)現(xiàn)非圓齒輪磨齒分度和每一個齒的加工展成運(yùn)動的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

圖3 三軸插齒機(jī)的運(yùn)動簡圖

圖4 增加了磨頭的三軸插齒機(jī)的運(yùn)動簡圖

3 無干涉無抬刀磨削分度四軸運(yùn)動的實(shí)現(xiàn)

在分度過程中，如果要保證砂輪和非圓齒輪不發(fā)生干涉，最簡單的方法就是將砂輪沿齒輪軸向上移到一個安全平面后再進(jìn)行分度，但是這樣就需要增加一個分度Z軸.而大部分非圓齒輪插齒機(jī)沒有這個運(yùn)動.這樣，在利用數(shù)控非圓齒輪插齒機(jī)來實(shí)現(xiàn)非圓齒輪磨齒時(shí)，加工完一個齒后必須給出合適的分度運(yùn)動來避免砂輪和齒輪的干涉.

為了解決上述問題，根據(jù)非圓齒輪嚙合原理［3－4］，在插齒加工過程中，插齒刀如果沿著圖1所示的T方向(插齒刀節(jié)圓和非圓齒輪節(jié)曲線的切線方向)移動H距離，到圖1所示的虛線位置(插齒加工的切入初始位置)，則按照原來的插齒數(shù)據(jù)運(yùn)動，非圓齒輪和插齒刀不會相接觸，其中H可以由下式確定:

其中:Ha0為插齒刀的齒頂高，Ha為非圓齒輪齒頂高，C為一個大于零的數(shù)，其值由齒輪節(jié)曲線的最小曲率半徑和插齒刀的半徑?jīng)Q定.

在磨削過程中，磨削完非圓齒輪第k個齒槽對應(yīng)的插齒刀和非圓齒輪相對四軸運(yùn)動點(diǎn)序列Pi為i=TEk，非圓齒輪第k+1個齒槽開始磨削時(shí)對應(yīng)的插齒刀和非圓齒輪相對四軸運(yùn)動點(diǎn)序列Pi為i=TSk+1.首先，利用文獻(xiàn)［1］給出的公式，通過修正插齒刀和非圓齒輪相對四軸運(yùn)動點(diǎn)序列Pi從i=TEk到i=TSk+1之間的數(shù)據(jù)Pi(ψi，φi，xi，yi)成為P'i(ψi，φi，xi，yi±H)(正號對應(yīng)外齒輪，負(fù)號對應(yīng)內(nèi)齒輪);其次，計(jì)算出砂輪和非圓齒輪的相對運(yùn)動數(shù)據(jù)(ε'i，k，φ'i，k，x'i，k，y'i，k);最后，讓砂輪和非圓齒進(jìn)行聯(lián)動來實(shí)現(xiàn)分度.砂輪和非圓齒輪在沒有干涉的情況下完成了分度.

以上分析表明:非圓齒輪磨齒不需要磨頭上移分度，即可在原有磨齒原理計(jì)算數(shù)據(jù)中完成分度.

因此，可以很容易得到磨削非圓齒輪由第k個齒槽包絡(luò)過程為(εk，i，φk，i，xk，i，yk，i)，i=TSk，TSk+1，…，TEk和第k+1個齒槽分度過程(ε'i，k，φ'i，k，x'i，k，y'i，k)，i=TEk，TEk+1，…，TSk+1兩部分組成.

4 非圓齒輪磨齒在三軸插齒機(jī)上的運(yùn)動等效轉(zhuǎn)化

從相對運(yùn)動關(guān)系來說，為了實(shí)現(xiàn)插齒刀節(jié)圓和非圓齒輪節(jié)曲線任意瞬時(shí)相切純滾動，在不考慮切點(diǎn)位置情況下，插齒刀和非圓齒輪的相對位置關(guān)系可以用插齒刀的回轉(zhuǎn)、非圓齒輪的回轉(zhuǎn)以及插齒刀和工件中心距的變化3個參數(shù)來實(shí)現(xiàn)［8－11］.如果在該機(jī)床上實(shí)現(xiàn)非圓齒輪磨齒，需要將第一節(jié)計(jì)算的四軸插齒數(shù)據(jù)(εk，i，φk，i，xk，i，yk，i)和第三節(jié)計(jì)算的分度數(shù)據(jù)(ε'i，k，φ'i，k，x'i，k，y'i，k)進(jìn)行等效運(yùn)動轉(zhuǎn)化.

因?yàn)槿S和四軸相比，缺少X方向的運(yùn)動，如圖5所示，建立新的坐標(biāo)系，在運(yùn)動過程中砂輪中心Og和非圓齒輪中心O都在ˉy軸上［12］.根據(jù)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)化關(guān)系，從坐標(biāo)系Og－x，y到坐標(biāo)系中，(εk，i，φk，i，xk，i，yk，i)可以轉(zhuǎn)化成為，具體公式為

其中:λi=arctan(yk，i/xk，i).

圖5 四軸磨齒到三軸磨齒的運(yùn)動轉(zhuǎn)化圖

5 結(jié)論

1)提出了在國內(nèi)已有的非圓齒輪三軸插齒機(jī)床上增加磨頭的形式來實(shí)現(xiàn)非圓齒輪磨齒.

2)考慮到插齒機(jī)沒有Z軸控制運(yùn)動的實(shí)際情況，解決了在不用抬刀、不產(chǎn)生干涉情況下的磨削分度問題，并給出了由四軸磨削運(yùn)動到三軸磨削運(yùn)動的轉(zhuǎn)化公式.

3)對非圓齒輪磨齒加工原理在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用進(jìn)行了理論研究，使非圓齒輪磨齒加工成為可能，有利于非圓齒輪在精度要求高的場合中應(yīng)用.

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