孫曉丹，歐進萍，2

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，哈爾濱150090，sunxiaodan0428@yeah.net; 2.大連理工大學(xué)土木水利工程學(xué)院，遼寧大連116024)

傳感器優(yōu)化布置包括傳感器數(shù)目的優(yōu)化和位置的優(yōu)化，是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中一個關(guān)鍵問題.關(guān)于傳感器位置的優(yōu)化提出了很多方法和準則，但對傳感器數(shù)目優(yōu)化的研究還非常少.傳感器優(yōu)化是一種多目標優(yōu)化，以模態(tài)識別為目標的傳感器優(yōu)化比較多，但是損傷識別是結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估的關(guān)鍵，以損傷識別為目標的傳感器優(yōu)化亟待解決.

近年來，以結(jié)構(gòu)損傷識別為目標的傳感器優(yōu)化研究主要有:Cobb等［1］提出了一種對結(jié)構(gòu)進行損傷監(jiān)測的傳感器布置方法.Shi等［2］通過僅考慮結(jié)構(gòu)剛度變化的結(jié)構(gòu)特征靈敏度分析，以結(jié)構(gòu)各單元的損傷信息為條件，應(yīng)用有效獨立法進行了傳感器優(yōu)化布置.劉暉等［3］提出基于有限測點的結(jié)構(gòu)損傷識別的柔度法，通過對結(jié)構(gòu)柔度的靈敏度分析，以結(jié)構(gòu)損傷信息為條件計算結(jié)構(gòu)的Fisher信息陣，選擇對結(jié)構(gòu)柔度變化敏感的自由度為測點.

以上方法開啟了以損傷識別為目標的傳感器位置研究，但對其數(shù)目的研究非常少.本文以判斷結(jié)構(gòu)是否存在一定水平損傷為目標，以靈敏度技術(shù)為基礎(chǔ)，以遺傳算法為工具，針對各種損傷指標得出所需傳感器的最小數(shù)目及其配置位置.

1 結(jié)構(gòu)損傷參量的靈敏度分析

損傷參量對結(jié)構(gòu)損傷的靈敏度是選取損傷參量的最主要依據(jù).國內(nèi)外研究者在應(yīng)用靈敏度方法對結(jié)構(gòu)進行損傷識別方面已經(jīng)做了很多工作［4－5］，目前針對結(jié)構(gòu)損傷識別的靈敏度計算方法主要有直接求導(dǎo)法、攝動法和伴隨向量法.直接求導(dǎo)法由于其物理意義明晰、過程簡明等特點而很早得到關(guān)注，Zhao等［4］通過直接求導(dǎo)靈敏度方法分析比較了頻率、位移模態(tài)和柔度法的敏感性，在此研究基礎(chǔ)上，本文對靈敏度推導(dǎo)方法進行改進:由于對剛度矩陣元素求導(dǎo)并沒有直觀的物理意義，所以本文將其改進為對各個單元剛度進行求導(dǎo)，這樣得到的靈敏度將更直接地顯示損傷隨某個單元變化的趨勢.以下將具體推導(dǎo)頻率、位移模態(tài)、模態(tài)曲率、柔度矩陣、應(yīng)變模態(tài)和模態(tài)應(yīng)變能等損傷參量對單元剛度變化的靈敏度.

1.1 頻率對單元剛度的靈敏度

一般說來，結(jié)構(gòu)的損傷將引起結(jié)構(gòu)剛度的降低而不引起質(zhì)量的改變.因此，結(jié)構(gòu)的特征靈敏度分析主要是模態(tài)參數(shù)對結(jié)構(gòu)剛度的靈敏度分析.對于任意具有n個自由度的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其振動特征方程可歸結(jié)為

式中:r=1，2，…，n，M和K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度矩陣;ωr為結(jié)構(gòu)的第r階固有圓頻率，{φ}r為質(zhì)量歸一化的第r階振型({φ}M{φ}r=1)，在本文的推導(dǎo)和計算中均以質(zhì)量歸一化的振型為標準.

將結(jié)構(gòu)的振動特征方程對第i個單元剛度ki求導(dǎo)，可得

M與ki不相關(guān)，所以方程(2)兩邊同乘，由于振型的正交性成立，則可得頻率對單元剛度ki的靈敏度:

1.2 位移模態(tài)對單元剛度的靈敏度

由式(2)，得

根據(jù)文獻［6］，該式的解為

1.3 模態(tài)曲率對單元剛度的靈敏度

曲率是結(jié)構(gòu)中性面的變形模態(tài)，與構(gòu)件的截面彎曲剛度有關(guān).如果構(gòu)件發(fā)生損傷，損傷處的局部剛度會下降，則曲率會增大，因此根據(jù)振型曲率的變化可以定位損傷.曲率不能直接測量，一般通過測量位移模態(tài)利用中心差分方法求解得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型曲率，其計算表達式為

式中Δh=x(s+1)－x(s－1)為(s+1)測點和(s－1)測點的坐標之差.

對上式兩端求對ki的一階偏導(dǎo)數(shù)，可得位移模態(tài)曲率對ki的靈敏度:

1.4 柔度矩陣對單元剛度的靈敏度

結(jié)構(gòu)的柔度矩陣F可以近似地表示為

柔度矩陣中第r列、第s行元素可以表示為

則柔度矩陣中第r列、第s行元素對第i單元剛度的靈敏度為

一般柔度法用柔度矩陣的對角線元素來識別損傷位置，所以當s=r時式(12)即為柔度參量對第i單元剛度變化的靈敏度.

1.5 應(yīng)變模態(tài)對單元剛度的靈敏度

應(yīng)變模態(tài)反應(yīng)了結(jié)構(gòu)的固有特征，也是表征結(jié)構(gòu)是否損傷的參量之一.由材料力學(xué)關(guān)系，對于直梁截面可以得到

式中:ε為梁截面任一點的應(yīng)變;z表示ε對應(yīng)點處與梁中性層之間的距離.

由式(13)可以看出，應(yīng)變模態(tài)與位移模態(tài)曲率只相差一個系數(shù).利用中心差分方法求解得到結(jié)構(gòu)的位移模態(tài)曲率，繼而得到應(yīng)變模態(tài)為

式(14)兩端對i單元剛度求一階偏導(dǎo)數(shù)，可得應(yīng)變模態(tài)對單元剛度的靈敏度:

1.6 模態(tài)應(yīng)變能對單元剛度的靈敏度

模態(tài)應(yīng)變能是Kim和Stubbs在1993年提出的損傷參量，根據(jù)Stubbs，長度為l的歐拉梁的模態(tài)應(yīng)變能U為

式中EI為梁段的截面彎曲剛度.對于均勻劃分單元(長度為Δl)的有限元模型，梁區(qū)段模態(tài)應(yīng)變能為

對方程(17)兩端的單元剛度求偏導(dǎo)，可得模態(tài)應(yīng)變能對單元剛度的靈敏度:

2 基于靈敏度分析的傳感器數(shù)目與位置優(yōu)化

結(jié)構(gòu)損傷對各種損傷參量的影響范圍是不同的，根據(jù)其影響范圍可以進行測點數(shù)目的優(yōu)化、并同時得到測點位置.基于損傷參量對結(jié)構(gòu)損傷的靈敏度分析并應(yīng)用遺傳算法，以識別結(jié)構(gòu)損傷位置為目標的傳感器數(shù)目及其位置可按以下方法優(yōu)化確定:

1)通過靈敏度分析和設(shè)定能識別出的損傷程度，確定損傷比較線:

式中:DLi為第i單元的損傷比較線為損傷參量(damage parameters)對ki的靈敏度，αi為設(shè)定的第i單元的損傷程度.

2)通過噪聲程度確定能識別的精度，當損傷小于該水平時，損傷引起的變化將淹沒于噪聲之中.

仿真分析中，噪聲數(shù)據(jù)用輸出加入一定水平的白噪聲方式產(chǎn)生，即

式中:x(t)為輸出的加速度時程，r1為均值為0、方差為1的隨機數(shù);p代表噪聲水平(%).通過N個x'(t)通過ERA和NExT聯(lián)合算法［6］進行參數(shù)識別，可得相應(yīng)的結(jié)構(gòu)振型和頻率，進而可以得到結(jié)構(gòu)的損傷參量，對N個樣本可以分別得到損傷參量(包括位移模態(tài)、柔度矩陣、模態(tài)曲率和模態(tài)應(yīng)變能)的均值和方差σID.

因此，噪聲比較線確定為

式中:NLi(s，r)為第i單元的噪聲比較線，通過3σ準則確定臨界值，臨界值的數(shù)值為損傷參量方差的3倍.

3)通過遺傳算法搜索最小的傳感器數(shù)目及其配置方案.約束條件為

適應(yīng)度函數(shù)為

式中:k為傳感器位置，m為傳感器數(shù)目.式(22)含義為對于第ro階模態(tài)、傳感器位置k能夠保證對于任意的i(i=1，…，n)單元的損傷比較線大于第ro階模態(tài)、k位置的噪聲線.

根據(jù)損傷參量對結(jié)構(gòu)損傷的靈敏度特點(以下算例也將清楚看到)，可以把損傷參量分為兩類，第一類參量的靈敏度不隨測點變化而變化，如位移模態(tài)和柔度矩陣，這類問題可以通過遺傳算法找到測出損傷所需最小的傳感器數(shù)目及其布設(shè)位置;另一類參量的靈敏度隨測點不同而變化，如模態(tài)曲率和模態(tài)應(yīng)變能，這類參量是由位移模態(tài)經(jīng)過中心差分法構(gòu)造的，測點數(shù)目減少到一定程度時會使反應(yīng)的損傷位置失真，所以另一個約束條件為

式中i0為所選測點位置中離i最近的位置.該約束條件保證了從結(jié)果可以看出損傷的位置.

3 仿真算例

本文采用20單元的簡支梁有限元模型(見圖1)進行數(shù)值模擬，分別得出每個損傷參量相對于單元剛度的靈敏度.該結(jié)構(gòu)有60個自由度，本文僅關(guān)心豎向振型，因此對節(jié)點2到節(jié)點20豎向的19個自由度進行研究.其中，kn(n=1～20)為每個單元的豎向剛度.

3.1 結(jié)構(gòu)損傷參量的靈敏度分析

本文采用目前結(jié)構(gòu)分析比較成熟的商業(yè)通用軟件ANSYS建立該結(jié)構(gòu)的有限元模型，對模型進行基本的模態(tài)分析，所得靈敏度如圖2所示.

圖1 簡支梁有限元模型及其截面

圖2 損傷參量的靈敏度

觀察位移模態(tài)、模態(tài)曲率、柔度矩陣和模態(tài)應(yīng)變能等損傷參量前3階模態(tài)靈敏度的特點，可以看出每種損傷參量的影響范圍大不相同，位移模態(tài)與柔度矩陣整體性較強，而模態(tài)曲率和模態(tài)應(yīng)變能局部性非常強.由于模態(tài)曲率和模態(tài)應(yīng)變能采用差分法計算，邊界處的損傷很難識別，這也是這兩種方法的局限性.

根據(jù)對圖2的觀察，在單損傷的情況下，以上損傷參量均是靠近損傷位置的數(shù)值比較大.因此，在此情況下可確定損傷位置區(qū)間.位移模態(tài)的靈敏度特征具有很強的整體性，但是很難達到損傷局部定位的效果;柔度矩陣的靈敏度有如下特點:具有很強的整體性，但是損傷位置出現(xiàn)很明顯的峰值，且兩側(cè)基本為單調(diào)函數(shù)，因此判別損傷位置比較容易;與位移模態(tài)和柔度矩陣不同，模態(tài)曲率和模態(tài)應(yīng)變能的靈敏度隨測點不同而變化.

3.2 傳感器數(shù)目和位置優(yōu)化

每個單元設(shè)定的可識別損傷程度均為αi= 10%，噪聲水平分別設(shè)定0.5%，1%，1.5%，1.6%，1.8%，2%，3%，5%，6%，7%，8%，10%，15%，20%.應(yīng)用以上方法計算得到相應(yīng)于各種工況的傳感器最小數(shù)目和位置如表1所示，各種損傷參量隨噪聲水平變化的傳感器最小數(shù)目見圖3.

根據(jù)表1和圖3結(jié)果可知噪聲水平越高所需傳感器數(shù)目越多.損傷參量比較可知對于該算例位移模態(tài)和柔度矩陣所需傳感器數(shù)目較少，而相應(yīng)模態(tài)曲率和模態(tài)應(yīng)變能配置的傳感器數(shù)目較多.

表1 傳感器最小數(shù)目及其位置

續(xù)表1

4 結(jié)論

1)該傳感器優(yōu)化方法可以確定以識別一定程度的損傷為目標傳感器的最小數(shù)目及其位置.并且對單損傷情況下結(jié)構(gòu)的損傷位置有大致的判斷，對多損傷情況時最大程度損傷的位置有預(yù)估.

2)提出的以上方法確定的傳感器配置方案與結(jié)構(gòu)單元的劃分、每個單元待識別的損傷程度、選擇的損傷參量以及環(huán)境噪聲水平有關(guān).需要識別的程度越小就需要更多的傳感器.噪聲水平越高，所需傳感器越多.此外，選擇的模態(tài)階數(shù)對優(yōu)化結(jié)果也有重要影響.

3)采用不同的損傷參量進行損傷識別，就會有不同的傳感器布置方案，在本文研究的幾種損傷指標中，對于該算例，柔度法所需傳感器數(shù)目較少，但是損傷位置比較難確定，而對于模態(tài)曲率和模態(tài)應(yīng)變能所需傳感器比較多.

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