李世雄，張友安，尹遜青

（1.海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺(tái) 264001；2.海裝武漢局駐洛陽軍事代表室，河南 洛陽 471000）

由于具有靜不穩(wěn)定性的導(dǎo)彈或飛行器，其機(jī)動(dòng)能力和航程要好于靜穩(wěn)定導(dǎo)彈或飛行器，所以有著廣泛的應(yīng)用背景[1]。

近些年由于導(dǎo)彈等空中武器飛速發(fā)展，靜不穩(wěn)定設(shè)計(jì)逐漸成為主流，相應(yīng)的靜不穩(wěn)定控制技術(shù)也逐漸成為研究熱點(diǎn)。因此，設(shè)計(jì)出能滿足靜不穩(wěn)定導(dǎo)彈穩(wěn)定飛行的控制系統(tǒng)在提高導(dǎo)彈的可靠性、飛行特性與操作品質(zhì)上，有著重大的理論意義與實(shí)際價(jià)值[2]。在設(shè)計(jì)出靜不穩(wěn)定導(dǎo)彈的控制系統(tǒng)后，控制系統(tǒng)的參數(shù)不一定是最優(yōu)的，也就是說不能使導(dǎo)彈達(dá)到最佳的控制效果。為解決這個(gè)問題本文提出了基于simulink參數(shù)尋優(yōu)的方法對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

1 導(dǎo)彈縱向運(yùn)動(dòng)模型

我們選取導(dǎo)彈的縱向運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)方程來作為研究對(duì)象，縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)線性化方程表示如下[3]：

為了將縱向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程組用矩陣形式表示：

我們可以用以 α?、zω?為狀態(tài)變量的二階運(yùn)動(dòng)方程來近似描述導(dǎo)彈縱向小擾動(dòng)短周期運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)化后的二階小擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程如下

式中：

代入動(dòng)力學(xué)系數(shù)得：

式中：A、B 同式(3)；

2 基于最優(yōu)控制理論的縱向通道三回路過載控制

靜不穩(wěn)定導(dǎo)彈，自身彈體沒有穩(wěn)定效應(yīng)，故需要人工設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制系統(tǒng)來穩(wěn)定導(dǎo)彈的飛行。通常的導(dǎo)彈是靜穩(wěn)定的，只要有控制回路一般就能控制導(dǎo)彈飛行，但對(duì)于靜不穩(wěn)定導(dǎo)彈，需要在控制系統(tǒng)中加入穩(wěn)定回路，即通常所說的姿態(tài)控制回路。三回路過載控制系統(tǒng)就是內(nèi)回路為姿態(tài)控制穩(wěn)定回路，外回路為過載控制回路的靜不穩(wěn)定導(dǎo)彈控制系統(tǒng)[4-6]。下面從理論上來設(shè)計(jì)這種控制系統(tǒng)。

因?yàn)榭刂频哪繕?biāo)是盡可能的跟蹤加速度指令，以及控制使用的舵偏能量最少。所以用加速度誤差平方的積分和舵機(jī)偏轉(zhuǎn)速率平方的積分之和作為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制目標(biāo)，應(yīng)用最優(yōu)控制原理建立的控制系統(tǒng)模型如下

這里如果不引入一個(gè)狀態(tài)估計(jì)器的話，需要增加一個(gè)測(cè)量量，為此我們假設(shè)控制偏轉(zhuǎn)是確實(shí)可測(cè)的，則系統(tǒng)變成

如果我們稍微改變一下轉(zhuǎn)換關(guān)系，則可以不需要濾波器。

令

運(yùn)用轉(zhuǎn)換關(guān)系 x2=C1x1，則系統(tǒng)方程變?yōu)?/p>

建立目標(biāo)函數(shù)如下

所以 H1=C1(1,:)，L1=[0]。

和前面一樣，LQR 最優(yōu)解可以通過以下得到

則控制律為

式中：AC=A2+B2Kopt；

按目前的機(jī)構(gòu)，俯仰角加速度是不可測(cè)的，注意到最優(yōu)控制 u2實(shí)際上是zδ˙，所以兩邊同時(shí)積分：

根據(jù)上面的控制律我們可以得到控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 三回路過載控制框圖

3 基于最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)理論的控制參數(shù)優(yōu)化

1）最優(yōu)控制的概念

所謂“最優(yōu)控制”，就是在一定的具體條件下，要完成某個(gè)控制任務(wù)，使得選定指標(biāo)最小或最大的控制，常用的目標(biāo)函數(shù)[7]有

式中：n=0稱為ISE指標(biāo)，n=1 和n=2分別稱為ISTE 和IST2E指標(biāo)，另外還有常用的IAE 和ITAE指標(biāo)，其定義分別為

上面都是一些誤差積分指標(biāo)，還有些指標(biāo)是時(shí)間最短，能量最小等指標(biāo)，此處不列舉。為使得最優(yōu)控制問題解析可解，通常需要引入兩個(gè)其他矩陣Q、R，這樣雖然能得到數(shù)學(xué)上較好的狀態(tài)反饋規(guī)律，但這兩個(gè)加權(quán)矩陣卻至今沒有被廣泛認(rèn)可的選擇方法，這使得系統(tǒng)的最優(yōu)準(zhǔn)則帶有一定的人為因素，沒有足夠的客觀性。

隨著像MATLAB 這樣強(qiáng)有力的計(jì)算語言與工具普及后，很多最優(yōu)控制問題可以變換成一般的最優(yōu)化問題，用數(shù)值最優(yōu)化方法就可以簡(jiǎn)單地求解。

2）最優(yōu)控制數(shù)值優(yōu)化的解算原理

最優(yōu)控制數(shù)值優(yōu)化方法，目的也是為了求得滿足約束要求的最優(yōu)反饋增益矩陣Kopt，但是它是基于數(shù)值尋優(yōu)的解算方法，也就是說對(duì)于選定的目標(biāo)函數(shù)或性能指標(biāo)，在一定范圍內(nèi)我們按照某種尋優(yōu)算法嘗試不同的狀態(tài)反饋增益矩陣K，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)大小J，然后從中找出使目標(biāo)函數(shù)或性能指標(biāo)最小的K 就是最優(yōu)反饋增益矩陣Kopt。

3）基于simulink的最優(yōu)反饋參數(shù)尋優(yōu)

上面介紹了最優(yōu)控制的概念和它的解算過程，下面就基于simulink 來實(shí)現(xiàn)這種最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)以及參數(shù)尋優(yōu)。為便于理解，我們結(jié)合本文所設(shè)計(jì)的控制回路來詳細(xì)的說明整個(gè)設(shè)計(jì)和尋優(yōu)過程。圖2是本文所采用的三回路過載控制simulink 結(jié)構(gòu)圖。

圖2 三回路過載控制simulink 結(jié)構(gòu)圖

下面我們選擇性能指標(biāo)函數(shù)，一般采用誤差信號(hào)ITAE 準(zhǔn)則作為性能指標(biāo)

這里的e(t)是輸入過載指令A(yù)yc與輸出過載yA的差。

把式(13)編寫成simulink模塊加入到三回路過載控制結(jié)構(gòu)圖中，結(jié)果見圖3。

圖3 基于ITAE 準(zhǔn)則控制參數(shù)尋優(yōu)三回路過載控制simulink 結(jié)構(gòu)圖

將圖3中的simulink模型保存到OCD 最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)工具箱中，在MATLAB 命令窗口中輸入OCD 命令，選定需要優(yōu)化的模型，輸入要優(yōu)化的狀態(tài)反饋參Kss、KAy、?K、K?˙，輸入反饋參數(shù)的初始值。需要說明的是，初始值設(shè)定對(duì)于參數(shù)尋優(yōu)效果非常重要，尤其回路結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，如果初始參數(shù)偏離太大可能尋找不到最優(yōu)反饋參數(shù)，或者計(jì)算機(jī)找到的最優(yōu)反饋參數(shù)不準(zhǔn)確。確定初始反饋參數(shù)的方法有傳統(tǒng)的根軌跡設(shè)計(jì)法和LQR 最優(yōu)控制方法。

最后輸入我們搜索反饋參數(shù)的邊界條件，這個(gè)邊界一般比初始參數(shù)大一個(gè)數(shù)量級(jí)就可以了。

4 控制系統(tǒng)仿真

選取的特征點(diǎn)[8]處的系統(tǒng)矩陣為：

由A 中第二行第一列數(shù)據(jù)為正可以知道我們選取的控制對(duì)象是靜不穩(wěn)定彈體。將上面的系統(tǒng)矩陣寫成傳遞函數(shù)形式為

先用LQR 最優(yōu)控制來求解初始參數(shù)。由前文中確定的系統(tǒng)矩陣A、B可以計(jì)算出三回路過載控制對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)矩陣令Q=2，R=1，在MATLAB 中用LQR 命令解出來結(jié)果為：

K=[1.3709 ?1.0316 7.2087 1.0710]T。

由圖4可以看出，經(jīng)過由LQR 最優(yōu)控制計(jì)算出的參數(shù)經(jīng)過ITAE 準(zhǔn)則優(yōu)化后，對(duì)控制系統(tǒng)的控制效果有明顯改善，上升時(shí)間明顯縮短，也就是說系統(tǒng)能更快的跟蹤上控制指令信號(hào)，這一點(diǎn)對(duì)導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)性來說是相當(dāng)重要的。

當(dāng)然施加的控制能量會(huì)增大，也就是說舵機(jī)偏轉(zhuǎn)幅度會(huì)增大。這時(shí)的最大跟蹤輸入指令相比LQR最優(yōu)控制有所減小。但是，如果需要的最大輸入指令在LQR 最優(yōu)控制所能承受的最大指令范圍之內(nèi)，就能對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化時(shí)選取的輸入指令為設(shè)計(jì)需要的最大指令。優(yōu)化之后，控制系統(tǒng)不僅能跟蹤上最大輸入指令，并且控制效果要優(yōu)于LQR 最優(yōu)控制。

如圖4所示，當(dāng)Q=2，R=1時(shí)，LQR 最優(yōu)控制所對(duì)應(yīng)的最大輸入指令為2.5 g，假定需要的最大輸入指令為2 g，此時(shí)便可以對(duì)其進(jìn)行ITAE 控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化，優(yōu)化后的系統(tǒng)階躍輸入為2 g時(shí)的響應(yīng)曲線明顯要優(yōu)于直接的LQR 最優(yōu)控制，圖5為其對(duì)應(yīng)的舵偏輸出角度。可以看出，經(jīng)過ITAE 優(yōu)化后舵偏輸出有接近飽和的現(xiàn)象，但可以接受。?

圖4 經(jīng)過ITAE 準(zhǔn)則優(yōu)化后與LQR方法階躍響應(yīng)對(duì)比曲線

圖5 經(jīng)過ITAE 準(zhǔn)則優(yōu)化后與LQR方法舵偏輸出對(duì)比曲線

5 結(jié)論

本文針對(duì)靜不穩(wěn)定導(dǎo)彈，建立了導(dǎo)彈縱向運(yùn)動(dòng)線性化模型。對(duì)導(dǎo)彈的俯仰通道進(jìn)行了基于最優(yōu)控制的三回路過載控制器設(shè)計(jì)，并選取特征點(diǎn)進(jìn)行控制系統(tǒng)仿真，結(jié)果表明三回路過載控制方法能較好地控制靜不穩(wěn)定導(dǎo)彈。此外，采用基于最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)的控制參數(shù)尋優(yōu)方法對(duì)控制系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。從優(yōu)化結(jié)果可以看出，在滿足戰(zhàn)術(shù)需求的過載情況下，優(yōu)化后的控制系統(tǒng)能使導(dǎo)彈具有更快的跟蹤性能、更好的機(jī)動(dòng)能力，舵機(jī)僅接近飽和。

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