蔣先剛，許倫倫，趙 瑩

(華東交通大學(xué)1.信息工程學(xué)院;2.基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，江西南昌330013)

三維重構(gòu)技術(shù)是由物體的一組二維切片重構(gòu)出該物體的三維形體的過程。由于切片在采集的過程中不可避免地要受到噪聲的影響，所以在三維重構(gòu)之前對切片集進(jìn)行平滑等預(yù)理就顯得非常必要。各向異性擴(kuò)散做為一種圖像預(yù)處理技術(shù)，不僅能有效的去除噪聲，還能保護(hù)邊緣信息，所以得到了廣泛的應(yīng)用。但現(xiàn)有的各向異性擴(kuò)散技術(shù)都是在二維平面進(jìn)行的，這樣處理后的三維重構(gòu)物體在水平方向往往具有良好的平滑效果，而在垂直方向的平滑效果則較差，器官組織在垂直方向的斷離現(xiàn)象比較明顯，因此需將通常的該方法拓展到三維空間去進(jìn)行分析[1，2]。

本文驗(yàn)證和實(shí)現(xiàn)了三維各向異性擴(kuò)散的平滑方法，進(jìn)而獲得了比較滿意的三維重構(gòu)效果。程序運(yùn)行環(huán)境為Windows Vista操作系統(tǒng)、Delphi 7軟件開發(fā)平臺，主機(jī)為1.73GHz，內(nèi)存為2.0G，重構(gòu)方法采用Marching Cubes和基于三維紋理的直接體繪制，重構(gòu)的切片維數(shù)為256×256×136。

1 各向異性擴(kuò)散模型機(jī)理

在圖像的平滑處理過程中，保持圖像特征與去除噪聲往往存在著矛盾?；谄⒎址匠痰膱D像平滑技術(shù)，特別是Perona和Malik[2]在1990年提出的各向異性擴(kuò)散方程，能較好地解決這一問題。各向異性擴(kuò)散方程是從物理學(xué)中的擴(kuò)散現(xiàn)象引申過來的，利用熱傳導(dǎo)系數(shù)來調(diào)控空間各點(diǎn)的擴(kuò)散量，使擴(kuò)散主要發(fā)生在圖像非邊緣區(qū)域，如此，隨著擴(kuò)散的進(jìn)行，低對比度的區(qū)域變得越來越平滑而高對比度的區(qū)域(如邊緣)則得到保持，從而實(shí)現(xiàn)了在平滑噪聲的同時能夠保留甚至增強(qiáng)圖像的邊緣特征。

各向異性擴(kuò)散的方程如下[3]:

對于一幅灰度圖像而言，在梯度值較小的內(nèi)部區(qū)域，灰度值變化比較緩慢，▽u較小，擴(kuò)散系數(shù)c(|▽u|)較大，擴(kuò)散強(qiáng)度較強(qiáng);在梯度值較大的邊界處，▽u較小，使得擴(kuò)散較少。經(jīng)過多次迭代后，圖像內(nèi)部區(qū)域非常光滑，而邊緣仍然得到保持，不會產(chǎn)生模糊效果。

2 二維空間圖像各向異性擴(kuò)散平滑算法設(shè)計

考慮上下左右4個方向的梯度的二維擴(kuò)散算法步驟如下[3-5]。

第一步:計算第n次迭代時，上下左右四個點(diǎn)的梯度，由于是二維各向異性擴(kuò)散，所以只考慮單幅圖像，這里假設(shè)目標(biāo)點(diǎn)是第z張切片ViewPicture[z]上的點(diǎn)fn(x，y)，其中，點(diǎn)fn(x，y)的梯度計算公式為

第二步:計算第n次迭代時，上下左右四個點(diǎn)的擴(kuò)散系數(shù)，其中，點(diǎn)fn(x，y)的擴(kuò)散系數(shù)為

第三步:計算第n次迭代擴(kuò)散后，目標(biāo)點(diǎn)fn+1(x，y)的灰度值。

其中:Δt是迭代步長，un(x，y)是第n步迭代時，點(diǎn)fn(x，y)的灰度值。

第四步:判斷是否迭代完畢，如果是則退出;否則繼續(xù)轉(zhuǎn)向第一步。

隨著迭代次數(shù)的增加，各向異性擴(kuò)散在同質(zhì)區(qū)域內(nèi)的平滑效果將更好。考慮到運(yùn)算效率問題并結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，這里迭代次數(shù)取25，k取0.08，Δt取0.16。

3 三維空間圖像各向異性擴(kuò)散平滑算法設(shè)計

考慮上下左右前后六個方向的梯度的三維擴(kuò)散算法步驟如下。

第一步:計算第n次迭代時上下左右前后六個點(diǎn)的梯度。設(shè)目標(biāo)點(diǎn)為第z張切片ViewPicture[z]上的點(diǎn)記為fn(x，y，z)，由于是三維各向異性擴(kuò)散，所以要同時考慮第z-1張切片ViewPicture[z-1]上的點(diǎn)fn(x，y，z-1)和第z+1張切片ViewPicture[z+1]上的點(diǎn)。

第二步:計算第n次迭代時，上下左右前后六個點(diǎn)的擴(kuò)散系數(shù)，其中，點(diǎn)fn(x，y，z)的擴(kuò)散系數(shù)為

第三步:計算第n次迭代后，目標(biāo)點(diǎn)fn+1(x，y，z)的灰度值。

第四步:判斷n是否大于約定的最大迭代次數(shù)，如果是則退出;否則繼續(xù)轉(zhuǎn)向第一步進(jìn)行擴(kuò)散。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

本文的實(shí)驗(yàn)素材的是人體腦部的一組圖片，分別采用三維中值濾波、二維各向異性擴(kuò)散、三維各向異性擴(kuò)散對切片集進(jìn)行了平滑處理，并用Marching Cubes和基于三維紋理的直接體繪制方法對經(jīng)多種預(yù)處理方法處理后的切片進(jìn)行重構(gòu)效果比較。

圖1 原切片

圖2 經(jīng)三維中值濾波處理后的切片

圖3 經(jīng)二維各向異性擴(kuò)散處理后的切片

圖4 經(jīng)三維各向異性擴(kuò)散處理后的切片

圖5 未經(jīng)預(yù)處理的三維重構(gòu)圖(MC)

圖6 經(jīng)三維中值濾波處理后的三維重構(gòu)圖(MC)

圖7 經(jīng)二維各向異性擴(kuò)散處理后的三維重構(gòu)圖(MC)

圖8 經(jīng)三維各向異性擴(kuò)散處理后的三維重構(gòu)圖(MC)

圖9 經(jīng)三維中值濾波處理后的三維重構(gòu)圖(DV)

圖10 經(jīng)三維各向異性擴(kuò)散處理后的三維重構(gòu)圖(DV)

上圖中MC表示Marching Cubes重構(gòu)算法，DV表示直接體繪制重構(gòu)算法。通過實(shí)驗(yàn)的圖5到圖10可以看出，二維各向異性擴(kuò)散、三維各向異性擴(kuò)散以及三維中值濾波都有較好的平滑圖像、去除噪聲的功能，但從圖7和圖8的對比看出，三維各向異性擴(kuò)散由于考慮了像素的空間各向的相關(guān)性，平滑效果更好，空間各方向的連續(xù)性更強(qiáng)，比二維各向異性擴(kuò)散的重構(gòu)(圖7)在Z向的連續(xù)性更好;從圖8、圖10中可以看出，三維各向異性擴(kuò)散具有較強(qiáng)的保持圖像局部特征的特性，中值濾波雖然是一種應(yīng)用比較廣泛且容易實(shí)現(xiàn)的降噪方法，但它的低通濾波特性使它對圖像頻譜中的高頻部分不加區(qū)別的一律消減，從圖6、圖9中可以看出，中值濾波處理后的重構(gòu)出現(xiàn)較明顯的特征模糊現(xiàn)象，嚴(yán)重降低了物體間的層次性，很多包含重要信息的像素都丟失了。

表1 各種預(yù)處理方法及重構(gòu)效率對照表

由表1可以看出，三維各向異性擴(kuò)散的算法由于采用的是迭代算法，所以與三維中值濾波算法相比而言運(yùn)算效率要低些，但是它對圖像的各向平滑處理效果較好，而且具有保持甚至加強(qiáng)圖像特征的特點(diǎn)，這就是其自身的價值所在。而三維中值濾波雖然預(yù)處理效率要高些，但它使圖像局部特征丟失嚴(yán)重，重構(gòu)效果差強(qiáng)人意。

5 結(jié)束語

綜上分析，在進(jìn)行三維重構(gòu)時應(yīng)考慮體素在空間Z向的拓?fù)湫院蛶缀翁匦?，這樣重構(gòu)出的形體才具有更好的空間各向的層次性和連貫性。二維各向異性擴(kuò)散技術(shù)推廣到三維空間后使重構(gòu)出的物體平滑效果更佳并且更好地保持了邊界特征，體現(xiàn)出了比二維各向異性擴(kuò)散更好的分割效果。各向異性擴(kuò)散在不同方向上雖然采用不同的擴(kuò)散系數(shù)，但由于擴(kuò)散強(qiáng)度系數(shù)cn(x，y)=1/(1+k?|▽un(x，y)|2)恒不為0，這就是說局部特性仍會受到周圍像素的影響，進(jìn)而被加以平滑處理，隨著迭代次數(shù)的增加，邊緣被模糊的現(xiàn)象將更為明顯，為了更好地解決邊緣問題，可以考慮用設(shè)定閾值的方法，對于閾值范圍內(nèi)的像素不做平滑處理，也即令其擴(kuò)散系數(shù)為0，這樣才能更好地保護(hù)其邊緣。

[1] 章毓晉.圖像工程:上冊[M].北京:清華大學(xué)出版社，2006:101.

[2] PERONA P，MALIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].Transactions on Pattern Analysis andMachine Intelligence，IEEE，1990，12(7):629-639.

[3] 袁澤劍，鄭南寧，張?jiān)?，?一種非線性擴(kuò)散濾波器的設(shè)計方法及其應(yīng)用[J].計算機(jī)學(xué)報，2002，25(10):1 072-1 076.

[4] 張?jiān)?，?一種改進(jìn)的圖像自適應(yīng)非線性濾波方法[J].西安交通大學(xué)學(xué)報，2004，38(2):162-166.

[5] 姜東煥，等.基于非線性小波閾值的各向異性擴(kuò)散方程[J].電子學(xué)報，2006，34(1):169-172.