■江思容

一道高一數(shù)學習題批改引發(fā)的思考

■江思容

練習：已知集合A={1，2，}，B= {1,3}，且B≤A，求a的取值范圍。

解：因為B≤A，所以a2-3a-1=3，配方得，即，所以有：，解得a=4或 -1。

這是高一學生學習集合后遇到的一個簡單而典型的習題，翻看學生的作業(yè)，發(fā)現(xiàn)很多學生都是這樣解答的，教師也給了一個勾，批改錯了嗎？沒有；解答合理嗎？顯然不合理；學生知道一元二次方程求根公式嗎？他們基本上都能正確寫出來。面對這種正確而不合理、知而不用的情形，教師該做些什么呢？

反思探究一：提高解題起點，調整認知結構

解題起點是指問題解決過程中思維的出發(fā)點，解題起點往往影響學生解題速度及解題長度，而解題起點的選擇與個體認知結構密切相關。在解題教學中，關注學生解題過程，從解題起點入手，將知識結構內(nèi)化為學生的認知結構，有利于解題能力的提高。

從初中對一元二次方程的教學要求（浙教版）來看，學生要掌握一元二次方程的兩種解法：配方法和公式法。公式法是在配方法的基礎上推導出來的，是比配方法更高的概括和抽象，舍棄公式法選用配方法折射出學生沒有把公式法內(nèi)化為自己的知識，也就是還沒有把配方、開方、移項、求解等推導一元二次方程求根公式的過程壓縮成一個操作單元——求根公式，整合到自己的知識結構中去，形成整體性的結構化認知，導致學生解一元二次方程的起點還是從配方開始。

用公式法解一元二次方程是一種技能，面對這種正確而不合理的解答，教師若置之不理，學生的解題技能是不會自動獲取的。認知心理學認為熟練基本技能的獲得需要經(jīng)歷三個階段：①認知階段，對這一技能包含的需要執(zhí)行的行為形成最初的陳述性編碼；②聯(lián)系階段，將陳述性知識轉化為程序性知識，構成該程序各部分的產(chǎn)生式的連接，即條件與行為的一系列配對得以增強；③自動化階段，整個程序得到進一步的完善，使有關條件圖式與一連串的適當反應趨向自動化。從學生的表現(xiàn)來看，還沒有對一元二次方程（圖式）產(chǎn)生自動化的反應（用求根公式），自動化反應的獲取需要一定的訓練，類似的問題在教學中經(jīng)常出現(xiàn)，例如對數(shù)的運算法則，學生記得很熟，用起來就錯。

教學建議：針對學生“知而不用”或“一用就錯”的現(xiàn)象，教師要抓住契機引導學生應用所學知識解決問題，形成技能，并加強與相關知識的聯(lián)系，促進知識、方法間的立體融合，將知識結構內(nèi)化為學生的認知結構，促進解題能力的提高。

反思探究二：理清解題起點，完善認知結構

荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾說過：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力?！碑斀窀呖碱}型日趨模式化，以致很多教師在指導學生解答客觀題時過分強調答題技巧，追求答案的正確性，缺少對問題刨根問底的深究，這樣一來答案雖然正確，學生卻只知其“然”而不知其“所以然”。答案如同漂浮在水中的浮萍，找不到思維的支撐點，從而造成學生對問題的認知不穩(wěn)定、不明晰、雜亂無章，不利于后續(xù)學習。反之，教師如果引導學生深究根源，找到思維的支撐點，就能有利于學生形成明晰、穩(wěn)定、有組織的認知結構，促進學生學習的遷移，提升學生的解題能力。

例如2007年高考數(shù)學廣東卷：如圖（圖略）是某汽車維修公司的維修站點環(huán)形分布圖，公司在年初分配給A、B、C、D四個維修點某種配件各50個。在使用前發(fā)現(xiàn)須將A、B、C、D四個維修點的這批配件分別調整為40、45、54、61件，但調整只能在相鄰兩站點間進行，那么要完成上述調整，最少的調動件次(n個配件從一個維修點調動到相鄰維修點的件次記為n)為()

A．15 B．16 C．17 D．18

通過觀察比較可得，A調10件到D，B調5件到C，C調1件到D，共調16件，選擇答案B．這樣雖然得到了正確的答案，卻缺少邏輯上的支撐，還存在明顯的漏洞：如何否定答案A？除了給出的調動方案外，還有沒有其它的方案呢？這些問題若不能解決，學生對這個問題猶如霧里看花．要從根本上解決問題，教師不妨引導學生尋找問題的一般解法：

設A向B調配x1件，B向C調配x2件，C向D調配x3件，D向A調配x4件(xi＞0表示逆時針方向；xi＜0表示順時針方向；xi=0表示沒有調配)可得方程組如下：

現(xiàn)在問題就轉化為求M=|x1|+|x2| +|x3|+|x4|=|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1-10|下面對x1進行分類討論，化為分段函數(shù)求最小值。

由分段函數(shù)的最小值可知，正確答案為B，有兩種調配方式，即分別取x1=0或-1所對應的兩種調配方式。除分段函數(shù)求最小值外，還可以引導學生用絕對值不等式|a|+|b|≥|a±b|解決問題，然后總結規(guī)律。

教學建議：針對某些客觀題答案易得根據(jù)難尋的現(xiàn)象，教師可引導學生進行“小題大做”，對“形異質同”的問題歸類，挖掘問題的本質，尋找思維的起點，完善學生的認知結構。

反思探究三：尋求合理解題方法，優(yōu)化認知結構

建構主義學習論認為：個體的學習不是在一片空白或完全相同的背景下進行的，學習者已有的知識經(jīng)驗、信念、個性、情感等都不同程度的參與其中。由于個體經(jīng)驗的不同，學生對同一問題便會形成理解上的差異，表現(xiàn)在解題中就是對信息的表征、轉化不同，選擇的解題思路不同，自然就出現(xiàn)了同一問題，不同的解法。諸多解法中有繁有簡，有通法有特法，盡管每種解法對解題者而言是“合適”的，然而過于繁雜的解法背后反應的是解題者認知結構的不合理。數(shù)學學習過程是數(shù)學認知結構的發(fā)展變化過程，數(shù)學教學不僅要促進學生認知結構的發(fā)展，還要幫助學生優(yōu)化其認知結構，學生解法的差異性正是教師可以利用的豐富資源。例如：

設函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0)，y=f(x)圖像的一條對稱軸是直線x=。

(1)求φ的值；

(2)求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間；

(3)畫出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［0，π］上的圖像。

學生在解答第一問時常用的方法有兩種：

解法1是基于對三角函數(shù)圖像軸對稱的考慮作出的解答，解法2是基于對一般函數(shù)圖像軸對稱作出的解答，還用到了特殊化的思想方法，解法2的包攝程度更高，具有更一般的意義及推廣價值，教師可以通過對兩種方法的比較分析，引導學生感悟兩種方法的區(qū)別與聯(lián)系，從而完善個體的認知結構。

教學建議：在解題中表現(xiàn)出來的個體差異是一筆寶貴的財富，教師可以選擇典型問題、典型解法進行分析，促進學生之間思想方法的交流，優(yōu)化學生的認知結構。

作業(yè)批改是教學的重要環(huán)節(jié)，教師不僅要當好裁判員，還要當好教練員，通過作業(yè)批改，洞察學生學習中存在的問題，采取相應措施，幫助學生優(yōu)化知識、方法的組合方式，完善認知結構，促進學生數(shù)學認知的發(fā)展。

（作者單位：武漢市洪山區(qū)教育科學研究培訓中心）

責任編輯 王愛民