■馮勝 邵承民

對“雞兔同籠”問題教學的認識和實踐

■馮勝 邵承民

如何準確理解和把握課改新增加內容，從而進行有效的教學，讓學生在學習的過程中更好的理解數(shù)學本質，建立數(shù)學模型，感悟數(shù)學文化，已成為小學數(shù)學教學研究的課題?！半u兔同籠”問題就是伴隨著數(shù)學課程改革出現(xiàn)在小學數(shù)學教科書中“數(shù)學廣角”學習板塊的“新”內容。其實，“雞兔同籠”問題是我國民間流傳下來的一類數(shù)學妙題，是前人探究出來的知識成果，它集題型的趣味性、解法的多樣性、應用的廣泛性于一體，堪稱歷史經典，以往僅出現(xiàn)在“奧數(shù)”作為對學生進行思維訓練的素材。作為小學數(shù)學教材中的這一新增內容，其教育功能與價值并不完全是要求學生解決“雞兔同籠”這個數(shù)學問題，更重要的是讓學生在解決問題的過程中建立解決這類數(shù)學問題的數(shù)學模型，在數(shù)學思考中逐步感悟數(shù)學思想。筆者曾參與“雞兔同籠”一課的教學研究，在此與大家分享對這節(jié)課的教學認識和實踐。

1.充分尊重學生的已有知識經驗，在自主探討中，體驗數(shù)學樂趣

建構主義教學論認為：知識是不能被傳遞的，而是基于主體經驗的主動建構，應針對學習者已有的經驗和興趣，發(fā)揮學習者的主動作用。因此，在教學中必須充分尊重學生的已有基礎，發(fā)揮他們的主動性，賦予他們有話說、有事做的權力，參與數(shù)學教學活動。

雞兔同籠這一數(shù)學問題對于學生來說并不陌生，有的學生在數(shù)學讀物上看過，有的學生在數(shù)學興趣小組中學習過，甚至有的學生能還能運用多種方法解答。但是，還有許多學生不會解決或會解決卻不知其所以然。所以，在教學中既要讓學生運用各種途徑大膽地嘗試解決，體驗在解決問題中帶來的成功與樂趣，又要讓學生明確本節(jié)課的目的。為此，我們進行了如下設計：

播放關于古代數(shù)學專著《九章算術》和《孫子算經》的短片，引出雞兔同籠問題。讓學生對問題解釋后，將問題“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？”簡化成例1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”。在學生理解題目的基礎上，運用自己的方法嘗試解決。

在這個教學過程中，學生在觀看短片的過程中感受到我國古代數(shù)學文化的博大精深，同時也在將原問題簡化成例1的過程中，體會到“化繁為簡”這一重要的數(shù)學思想方法。對于例1來說，學生現(xiàn)階段的知識水平，是完全有能力解決的。

【課堂再現(xiàn)】

生1：我是先猜雞有4只，兔也有4只，但是4×4＋4×2=24只腳，不滿足條件，我接著猜雞有3只，兔有5只，3×2＋5×4剛好等于26只腳，說明我猜的是正確的。

生2：我是把雞和兔只數(shù)的每種情況列舉出來，就找到滿足條件的情況。

雞/只8 7 6 5 4 3 2 1 0兔/只0 1 2 3 4 5 6 7 8腳/只16 18 20 22 24 26 28 30 32

生3：我是運用假設法解決的?！?/p>

可以看出，學生對問題的解決方法是多樣的，思維水平也是不同層次的，學生1的方法是運用假設檢驗法，學生2的方法是列舉法，學生3的方法是假設法。

2.有效把握課堂合理的生成資源，在啟發(fā)引導下，建立數(shù)學模型

雖然“假設檢驗法”和“列表法”非常直觀、易懂，學生容易接受，但是兩種方法的缺點也很明顯，如果題目的數(shù)據較大，則不宜采用。因此，我們將這節(jié)課的教學重點確定為理解“假設法”這一數(shù)學思想方法。如何利用現(xiàn)有的課堂生成資源，幫助學生建立“假設法”解決這類問題的數(shù)學模型，并讓學生在解決問題的過程中，獲得數(shù)學思維的提升呢？

首先，我們利用學生呈現(xiàn)的運用列表法解決例1的表格，請學生思考：觀察表格，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？學生觀察交流后，幫助學生歸納出：在雞與兔總只數(shù)不變的情況下，雞每減少一只，兔就增加一只，總腳數(shù)增加兩只，反之，雞每增加一只，兔就減少一只，總腳數(shù)減少兩只。

還要讓學生自己發(fā)現(xiàn)假設檢驗法和列表法的局限性，通過讓學生思考后明白，采用這種假設檢驗的方法或者列舉的方法是可以找到答案的。然后，教師再提問：你能用這兩種方法解決前面的“雞兔同籠”問題嗎？顯然，學生在比較中對幾種解答方法進行了適當?shù)脑u價。

要通過教師的有效教學幫助學生理解假設法并能正確運用，就必須回答假設法是什么。我們認為是運用極端假設進行的消元。正因為兩個事物能夠轉化成一個，所以才“全假設成雞”或“全假設成兔”。我們進一步思考：如果不“全假設成雞”或“全假設成兔”，而是“任意假設雞兔”，可以嗎？答案也是肯定的。

比如例1中，我么們假設有4只雞，4只兔，此時腳數(shù)為4×2＋4×4=24（只），比實際26只腳多了26-24=2（只），說明兔假設少了，而雞假設多了。兔少了多少呢？（26-24）÷（4-2）=1（只），所以，雞有4-1=3（只），而兔有4＋1=5（只）。

我們不是讓學生直接的從我們這里獲得假設法解題的模式和步驟，而是讓學生經歷假設法的產生過程，只有這樣學生才不拘泥于“模型”，為學生的思維發(fā)展留下足夠的空間。

【課堂再現(xiàn)】

師：我們來大膽猜測一下這道題的結果吧。誰愿意來猜一猜？

（相機板書，如：雞16只，兔19只；雞30只，兔5只）

師：第一個同學猜對了嗎？怎樣來驗證？（列式：16×2＋19×4=108）算出來是108只腳，腳多了說明了什么？

如果要你們在這個基礎上接著猜，你們會怎樣猜呢？（指2～3名學生回答）為什么你們都減少兔增加雞呢？

學生回答后，教師小結：因為一只兔比一只雞多兩只腳，所以腳多了的時候應該減少兔增加雞。教師引導學生朝著這個方向再猜，（如：雞20只，兔15只。列式：20×2＋15×4=100）腳還是多了，還要減少兔增加雞。

師：看來，只要找對了方向，像這樣繼續(xù)猜下去，我們也可以找到答案。接下來請大家像剛才這樣驗證第二組猜測，如果不對，請試著進行調整并找到答案，數(shù)一數(shù)，你做了幾次調整。

（學生活動，教師巡視，參與討論并及時給予輔導。指名學生展示自己的猜測過程，教師引導其他學生及時作出評議）

師：剛才老師發(fā)現(xiàn)有的同學調整了5次找到了答案，有的同學只調整了2次就找出答案了。想一想，能一次就調整出答案嗎？

（學生回答，教師引導學生進一步明確增加a只兔，就減少a只雞，相應的就增加2a只腳；反之，增加a只雞，就減少a只兔，相應的就減少2a只腳）

師：多么有智慧的調整?。∵@個調整的過程怎樣用算式表示呢？

學生思考后，指名板演：

雞30只，兔5只

30×2＋5×4=80（只）

94-80=14（只）

14÷（4-2）=7（只）

30-7=23（只）……雞

5＋7=12（只）……兔

學生列式后，引導其他學生評議并提出問題，明確“4-2”表示什么，求出的“7”又表示什么？教師再將前面的“雞30只，兔5只”改為“假設雞有30只，兔有5只”。

師：其實，我們也可以首先假設雞是0只，兔是35只，也就是假設籠子里全是兔；或者首先假設雞35只，兔是0只，也就是假設籠子里全是雞。請你選擇一種，列出算式，解決問題。

指名板書計算過程：假設籠子里全是雞。

35×2＋0×4=70（只）

94-70=24（只）

24÷（4-2）=12（只）

0＋12=12（只）……雞

35-12=23（只）……兔

師：像這樣首先假設一種情況，再根據題目中的條件進行分析調整，直到找出答案的方法就是假設法。比較這兩種假設方法，你認為哪種更簡便？（學生自由評議）所以在解答類似的問題時，我們一般都采用后面的這種假設情況。

贈人以金，何如授人點金之術？授人以漁，可以漁盡天下之魚！

3.及時豐富多樣的教學素材，在應用拓展中，感悟數(shù)學魅力

由于“雞兔同籠”問題解題方法的特殊性（假設法），許多應用問題都可以化為“雞兔同籠”問題。因此，我們以問題解決和生活應用強化、拓展新知，把“假設法”運用到具體的生活問題中，將學生的思維向縱深發(fā)展，感悟數(shù)學魅力。

于是在學生學習假設法之后，呈現(xiàn)了下面的兩個問題：

（1）有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條。龜和鶴各有幾只？

（2）全班一共有58人，共租了12條船。每條大船坐6人，每條小船坐4人，恰好全都坐滿。大小船各租了幾條？

讓學生思考，這兩個問題與“雞兔同籠”問題有聯(lián)系嗎？有怎樣的聯(lián)系？讓學生思考后發(fā)現(xiàn)：“雞兔同籠”問題不僅僅是單純是指雞和兔的問題，還有許多數(shù)學問題可以化歸成這類問題，運用假設法去解答。最后，讓學生獨立地解答這兩個問題。

由此可見，掌握“雞兔同籠”問題的基本解法，經過適當?shù)霓D化和遷移，可以解決更加廣泛的數(shù)學問題。與此同時，通過日本民間流傳的“龜鶴算”與身邊的現(xiàn)實問題，使學生領悟數(shù)學建模。這樣一個首尾呼應的課堂結構，使學生更深刻地感受數(shù)學課堂的完整性，同時又讓學生浸染在古今中外數(shù)學文化交融的氛圍中，使數(shù)學課堂也沐浴著深厚的人文氣息。

（作者單位：馮勝華中科技大學附屬小學邵承民武漢市硚口區(qū)武藥小學）

責任編輯 廖林