張 松，呂西林

(1.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海200092，zhangsongyy@163.com; 2.中國中元國際工程公司，北京100089)

結構設計的本質就是使結構的能力大于結構的需求，滿足提出的各種功能要求，彈塑性動力時程分析方法被認為在理論上是最為完善和精確的計算地震需求的方法，但其計算量大、復雜，限制了其應用，而非線性靜力計算方法作為一種結構非線性響應的簡化計算方法，得到了廣泛的應用［1-2］.傳統(tǒng)的靜力彈塑性分析方法采用不變的加載模式進行推覆分析，這種方法雖然簡單但有不可忽視的缺點［3］.Gupta和Kunnath指出:盡管大多數(shù)結構的第一層層高較大，但最大層間位移并未發(fā)生在第一層;在不同時刻慣性力的分布有很大的不同，且高振型的貢獻明顯;對于大多數(shù)的框架結構，在最大層間位移時刻的慣性力分布類似或接近于第二振型的形狀［4］.Goel和Chopra指出雖然高階模態(tài)的能力曲線在實際工程中很少出現(xiàn)翻轉的異常情況，但確實存在，通過考察不同參數(shù)的人工地震波作用下一實際結構塑性鉸的發(fā)展機制，發(fā)現(xiàn)破壞形式有可能由第二或第三振型控制［5］.Hernandez-montes等提出基于能量的方法解決高階振型能力曲線異常的問題，易偉建等也采用這一方法改進了pushover分析方法［6-7］.一些學者提出了改進的靜力計算方法，通過采用彈性振型組合的方式考慮高階振型的影響［2，8-11］.一些學者考慮了結構振動特性的變化，即自適應靜力彈塑性分析方法［4，12-13］.文獻［14-15］都指出了傳統(tǒng)的靜力彈塑性分析方法不能正確評估結構在近場地震作用下的抗震性能.本文提出了考慮地面運動建立等效單自由度的多模態(tài)靜力彈塑性分析方法，克服了多模態(tài)靜力彈塑性分析方法(MPA)在計算等效單自由度時不能考慮地面運動及加載制度僅由結構特性決定的缺點.

1 改進的多模態(tài)靜力彈塑性分析方法的提出

多模態(tài)靜力彈塑性分析方法(MPA)的物理意義明確，其基本假設為:1)忽略結構屈服后各模態(tài)坐標之間的耦合;2)結構的地震需求值通過各模態(tài)SRSS方法得到.對于非線性體系兩點假設都不是嚴格成立的，本文即針對假設的第一點進行研究，在建立等效單自由度時考慮地面運動的影響，提出一種新的等效單自由度的計算方法.最后通過對12層鋼筋混凝土標準框架振動臺模型為算例進行了對比計算［16］.

1.1 改進的建立等效單自由度模式的提出

靜力彈塑性分析方法的核心即為采用逐步加載的靜力方式給出結構等效單自由度的能力曲線，而影響能力曲線的主要因素則是結構塑性鉸的發(fā)展機制.傳統(tǒng)的多模態(tài)靜力彈塑性分析方法就是根據(jù)多自由度結構的彈性剛度求解結構的前n階動力參數(shù)，用彈性階段的模態(tài)定義加載制度，進行pushover分析，則此時結構非線性行為的發(fā)展和地面運動沒有關系，完全決定于結構特性，因此也不可能捕捉到結構在地面運動作用下的真實屈服機制.為了在多模態(tài)靜力彈塑性分析方法中，盡可能捕捉結構真實的非線性行為，首先用彈性階段的多模態(tài)靜力彈塑性分析方法計算結構的地震響應，然后再利用計算結果的結構特性定義加載制度，進行pushover分析.以結構非線性行為發(fā)展后的結構特性計算，可減少模態(tài)坐標之間的耦合程度，從而減少誤差.這樣在計算等效單自由度時既能考慮地面運動的影響，克服了傳統(tǒng)多模態(tài)靜力彈塑性分析方法的缺點，又避免了自適應多模態(tài)靜力彈塑性分析方法每步進行振型組合的缺點，且概念簡單，理論意義明確.

1.2 改進的多模態(tài)靜力彈塑性分析方法的步驟

1)基本步驟.a)計算結構彈性狀態(tài)的結構動力特性(模態(tài)、自振周期);b)對第n階模態(tài)計算加載向量;c)對第n階模態(tài)進行推覆計算，并采用位移控制法，建立基底剪力-頂點位移的能力曲線;d)根據(jù)n階模態(tài)能力曲線建立n階等效單自由度;e)用時程分析法計算等效單自由度體系的地震響應，得到各個等效單自由度的峰值響應，再對計算的模態(tài)峰值響應(如前三階模態(tài))進行振型組合(可采用SRSS方法進行組合)得到結構的地震峰值響應;f)根據(jù)第e步的結果，重新計算結構的動力特性(模態(tài)、周期)，此時如果e步計算的峰值響應在結構的彈性范圍內，則無需進行計算，e步結果即為最后結果，如結構進入非線性，產生損傷，則計算結構產生損傷后的動力特性; g)重復b～e步，最后得到結構的地震響應.

2)等效單自由度反應量的求解.目前等效單自由度的求解方法有很多，例如周定松，呂西林提出的延性需求譜法［1］;Erol Kalkan等提出的等延性能力譜法［13］;徐福江，錢稼茹提出用到的常延性系數(shù)彈塑性位移譜法［17］等.由于現(xiàn)在的非線性反應譜法還不成熟，能力譜法又缺乏嚴格的理論基礎，為了避免在求解等效單自由度動力反應時產生的誤差，在本文中對等效單自由度的地震響應均采用MATLAB語言編程，直接用動力時程法求解，便于分析誤差產生的原因.由文獻［17］和文獻［18］可知滯回模型的剛度和強度退化特性對結構的位移影響較小，為了方便起見，采用雙折線模型進行結構的分析，圖1為標準框架振動臺模型在kobe波作用下通過本文方法得出的等效單自由度雙折線模型.

2 分析方法的驗證與對比分析

對12層標準鋼筋混凝土框架模型建立數(shù)值模型(采用CANNY程序)，由此確定結構X向前三階頻率分別為4.17，12.42，20.42，與試驗中白噪聲初次掃描得到的前三階頻率3.74，14.82，28.03基本一致.表1為標準框架振動臺試驗的動力相似關系，表2為原型結構和模型結構的對比，圖2為試驗中得到的一個工況頂層X向位移時程圖.

表1 試驗模型的動力相似關系

表2 原型和模型對比

圖1 等效單自由度的雙折線模型(Kobe波)

2.1 模態(tài)坐標耦合程度的影響因素

多模態(tài)靜力彈塑性分析方法，采用結構初始模態(tài)坐標進行結構地震響應計算過程中的解耦，并忽略非線性行為發(fā)生后各個振型坐標之間的耦合.振型坐標之間的耦合程度和結構以及地面運動相關，結構非線性行為發(fā)展越嚴重，地面運動對高階振型的激勵越明顯，則耦合程度越大.

圖3和表3為標準框架模型分別在加速度峰值為353.2，775.2 cm/s2和1317.8 cm/s2的Kobe波作用下結構相對地面位移和層間位移的彈塑性動力時程計算方法和多模態(tài)靜力彈塑性計算方法的計算結果對比，由圖3和表3可看出多模態(tài)靜力彈塑性計算方法的計算結果相對于彈塑性動力時程計算結果的誤差并沒有隨著地震動峰值的增加而增加，分析其原因為結構模型是一個規(guī)則的模型，自振特性以第一振型為主，且地震動對高階振型不敏感，第一階振型的反應為地震響應量的主要成分.表4為前三階等效單自由度的頂點位移，由表中可看出第二、三階振型的響應量較小，因此振型耦合程度弱，計算誤差并沒有隨著地震動峰值的增加而增加.這也說明了多模態(tài)靜力彈塑性分析方法對于規(guī)則結構和以長周期為主的地面運動具有較好的精度，能滿足工程需要.

圖2 頂層X向位移的時程圖

文獻［14］指出傳統(tǒng)的靜力彈塑性分析方法不能正確地評估結構在近場地震作用下的抗震性能，可見地面運動對靜力彈塑性分析方法的影響是不能忽略的.地面運動對高階振型的敏感程度很大程度上決定著模態(tài)坐標之間的相對耦合程度和靜力彈塑性分析方法的適用性.為了驗證地面運動對高階振型敏感程度對計算結果的影響，用同一條實際地震波，通過改變地震波數(shù)據(jù)點的間隔時間，來改變地震動的頻譜特性，從而增加對高階振型的敏感程度.表5為Kobe地震波加速度數(shù)據(jù)點間隔時間的不同壓縮比例對各個等效單自由度相對響應大小的影響程度和相對于彈塑性時程分析方法計算誤差的關系，由表中數(shù)據(jù)可明顯地看到隨著地面運動頻譜特性的改變，第二、三階振型的相對響應量逐漸增加，引起的計算誤差也逐步增大.

圖3 多模態(tài)靜力計算方法和彈塑性時程分析的計算結果對比

表3 多模態(tài)靜力計算方法在不同地震動峰值下的計算誤差

表4 前三階等效單自由度的頂點位移

表5 地面運動頻譜特性對多模態(tài)靜力彈塑性分析方法精度的影響

圖4為Kobe波加速度數(shù)據(jù)點間隔時間壓縮為0.5倍時，各層平均層間位移誤差隨地震動加速度峰值的變化規(guī)律.由圖中可看出當?shù)孛孢\動對高階模態(tài)激勵明顯時，造成的誤差隨著地震動峰值的增加而增加，即各模態(tài)坐標之間的耦合程度隨著結構非線性行為的發(fā)展而越來越嚴重.

圖4 地面運動強度對多模態(tài)靜力彈塑性分析層間位移計算精度的影響

由以上分析可看出影響模態(tài)坐標耦合程度的主要影響因素為地面運動對高階振型的相對激勵程度，對高階振型越敏感，在結構非線性行為發(fā)展過程中耦合程度越大.如地面運動對高階振型的相對激勵程度很小，即使結構的非線性行為發(fā)展得很嚴重，其振型耦合程度也不大，因此造成的計算誤差較小.在地面運動對高階振型的相對激勵較大時，其耦合程度隨著地面運動強度的增加而增加.

2.2 不同計算方法的對比分析

多模態(tài)靜力彈塑性分析方法的主要缺點是沒有考慮結構非線性行為發(fā)生后結構動力特性的改變，采用初始模態(tài)坐標解耦，造成各個模態(tài)等效單自由度之間的耦合，產生誤差.因此改善多模態(tài)靜力彈塑性分析方法應著眼于如何確定模態(tài)坐標，盡可能地減輕結構在非線性行為發(fā)生后各個等效單自由度之間的耦合程度.本文采用迭代的思路提出如第2節(jié)所示的改進的多模態(tài)靜力彈塑性方法，對其在地面運動對高階振型敏感程度不同的情況分別進行了計算分析.

圖5 不同計算方法在Kobe波不同峰值作用下計算結果的對比

圖5為在Kobe波不同加速度峰值作用下分別采用彈塑性時程分析、多模態(tài)靜力彈塑性分析方法和本文的改進多模態(tài)靜力彈塑性分析方法進行計算結果的對比.由圖5可看出對于一般對高階振型不敏感的地面運動作用的情況，本文方法和多模態(tài)靜力計算方法的計算精度(相對于彈塑性時程計算方法)相當.

圖6為Kobe波加速度時間間隔壓縮為0.5倍，不同加速度峰值時，本文方法和多模態(tài)靜力彈塑性分析方法計算的層間位移相對于彈塑性時程計算方法的誤差對比.因為靜力彈塑性分析方法計算的層間位移較相對地面位移誤差要大，因此圖中數(shù)據(jù)僅給出層間位移的對比結果.表6為地震動加速度峰值為1 500 cm/s2時，各層的相對地面位移和層間位移多模態(tài)計算方法和本文方法的計算誤差對比結果.由圖6和表6中對比結果可以看出在地面運動壓縮比例為0.5時，兩種方法計算的誤差都很大，這是因為對加速度時間間隔壓縮為0.5倍以后，地面運動對高階振型的相對激勵程度就很大，因此振型耦合程度也很大，也說明了地面運動特性對靜力彈塑性分析方法的影響很大，但是本文方法在所列四種情況下的計算精度都比多模態(tài)靜力計算方法改善很多，驗證了本文方法的適用性要優(yōu)于傳統(tǒng)的多模態(tài)靜力計算方法.

圖6 不同計算方法在Kobe波不同峰值作用下計算結果對比

表6 本文方法和MPA方法計算誤差對比結果(地震動加速度峰值1 500 cm/s2)

圖7為Kobe波加速度時間間隔壓縮為0.5倍，加速度峰值為1 317.8 cm/s2時，采用多模態(tài)靜力彈塑性分析方法不同組合振型數(shù)和動力時程分析方法層間位移計算結果的對比圖.由圖中可看出當高階振型的相對激勵較大時，三階振型的計算精度要差于兩階振型的計算結果.

3 結論

1)影響靜力彈塑性分析方法精度和適用性的主要影響因素是地面運動的頻譜特性，即地面運動對結構高階振型相對激勵的大小程度，如地面運動對高階振型的激勵較大時，即使結構為規(guī)則結構誤差也很大.

2)如地面運動對高階振型的相對激勵較小，即使結構的非線性行為發(fā)展的程度很大，模態(tài)坐標之間的耦合程度也較小，即結構非線性行為的發(fā)展并不能明顯改變多模態(tài)靜力彈塑性計算方法的計算精度.

圖7 不同振型組合數(shù)和動力時程計算結果的對比

3)當?shù)孛孢\動對高階振型的相對激勵較大時，計算精度可能隨著組合振型數(shù)的增加而降低.

4)本文提出的考慮地面運動建立等效單自由度的多模態(tài)靜力彈塑性分析方法，可改善靜力彈塑性分析方法在地面運動對高階振型相對激勵較大時的計算精度，可增加靜力彈塑性分析方法的使用范圍.

5)隨著地面運動對高階振型相對激勵程度的增加，兩種靜力彈塑性分析方法的計算結果將嚴重失真，所以靜力彈塑性分析方法不能應用于地面運動對高階振型相對激勵程度很大的情況.

［1］ 周定松，呂西林.延性需求譜在基于性能的抗震設計中的應用［J］.地震工程與工程振動，2004，24 (1):30-38.

［2］ CHOPRA A K，RAKESH K G.A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2002，31(3):561-582.

［3］ GOEL R K，CHOPRA A K.Evaluation of modal and FEMA pushover analyses:SAC buildings［J］.Earthquake Spectra，2004，20(1):225-254.

［4］ GUPTA B，KUNNATH S K.Adaptive spectra-based pushover procedure for seismic evaluation of structures［J］.Earthquake Spectra，2000，16(2):367-391.

［5］ GOEL R K，CHOPRA A K.Role of higher-mode pushover analyses in seismic analysis of buildings［J］. Earthquake Spectra，2005:21(4)，1027-1041.

［6］ HERNANDEZ-MONTES E，KWON O S，ASCHHEIM M A.An energy-based formulation for first and multiple mode nonlinear static(pushover)analyses［J］.Journal of Earthquake Engineering，2004，8(1):69-88.

［7］ 易偉建，蔣蝶.一種基于滯回耗能的改進pushover分析方法［J］.自然災害學報，2007，16(3):104-108.

［8］ CHOPRA A K，GOEL R K，CHINTANAPAKDEE C. Evaluation of a modified MPA procedure assuming higher modes as elastic to estimate seismic demands［J］.Earthquake Spectra，2004，20(3):757-778.

［9］ JAN T S，LIU M W，KAO Y C.An upper-bound pushover analysis procedure for estimating the seismic demands of high-rise buildins［J］.Engineering Structures，2004，26(1):117-128.

［10］ 盧文生，呂西林.框架剪力墻結構模態(tài)靜力非線性抗震分析方法研究［J］.地震工程與工程振動，2005，25(1):58-66.

［11］ 盧文生，呂西林.模態(tài)靜力非線性分析中模態(tài)選擇的研究［J］.地震工程與工程振動，2004，24(6): 32-38.

［12］ ANTONIOU S，PINHO R.Development and verification of a displacement-based adaptive pushover procedure［J］.Journal of Earthquake Engineering，2004，8(5):643-661.

［13］ KALKAN E，KUNNATH S K.Adaptive modal combination procedure for nonlinear static analysis of building structures［J］.Journal of Structural Engineering，ASCE，2006，132(11):1721-1731.

［14］ 易偉建，張冰.近場地震作用下框架結構的損傷機理［J］.自然災害學報，2007，16(2):112-117.

［15］ KALKAN E，KUNNATH S K.Assessment of current nonlinear static procedures for seismic evaluation of buildings［J］.Engineering Structures，2007，29 (3):305-316.

［16］ 呂西林，李培振，陳躍慶.12層鋼筋混凝土標準框架振動臺模型試驗的完整數(shù)據(jù)［R］.上海:同濟大學土木工程防災國家重點試驗室，2003.

［17］ 徐福江，錢稼茹.常延性系數(shù)彈塑性位移譜及其應用［J］.工程力學，2007，24(6)，15-20.

［18］ 呂西林，周定松.考慮場地類別與設計分組的延性需求譜和彈塑性位移反應譜［J］.地震工程與工程振動，2004，24(1):39-48.