楊 帆,羅奇峰

（同濟(jì)大學(xué)a.結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所;b.上海防災(zāi)救災(zāi)研究所,上海 200092）

目前,在加速度峰值衰減關(guān)系研究中主要存在2種思路：1）從原因出發(fā),通過研究震源機(jī)制和地震動傳播過程與加速度峰值衰減的理論關(guān)系,得到由更多細(xì)化參數(shù)控制的衰減關(guān)系式。這類方法從研究地震過程本質(zhì)出發(fā),對提高地震傳播及衰減理論具有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。但是,由于地震過程本身的復(fù)雜性導(dǎo)致各參數(shù)間的相關(guān)影響,該方法必需依托龐于大量、精細(xì)的地震數(shù)據(jù)。如美國的NGA項(xiàng)目[2]下的3個(gè)工作團(tuán)隊(duì)得出衰減關(guān)系式[3-7]所用到的地震波描述參數(shù)則多達(dá)130個(gè),這在世界大部分地區(qū)是無法實(shí)現(xiàn)的,不便于地震動衰減關(guān)系的工程應(yīng)用。2）以實(shí)際得到的加速度等震線出發(fā),研究衰減關(guān)系。為簡化計(jì)算,該類方法以控制等震線的大體形狀來抓住影響衰減關(guān)系的主因。目前基本上都使用圓模型,它將等震線近似的看作同心圓,以震中距或震源距為加速度等震線在測點(diǎn)位置方面的唯一控制參數(shù),然而對于長斷裂的大震而言,圓模型的加速度等震線和實(shí)際等震線偏差很大,例如圖1[8]中汶川8級地震的烈度等震線形狀就和圓模型明顯相悖。需要特別指出,圖1給出的是烈度等震線,它與加速度等震線還有一定區(qū)別,但可以認(rèn)為兩者存在近似的線性關(guān)系,同時(shí)也必須認(rèn)識到這種關(guān)系比較模糊。該文利用烈度等震線代替加速度等震線的基本依據(jù)已經(jīng)在文獻(xiàn)[1]中詳細(xì)闡述。鑒于圓模型的嚴(yán)重不足,在4區(qū)域橢圓模型的基礎(chǔ)上提出了6區(qū)域模型,以便更加細(xì)致的刻畫衰減關(guān)系的區(qū)域性特點(diǎn)。

圖1 汶川地震烈度等值線圖

1 4區(qū)域橢圓衰減模型的不足

4區(qū)域的橢圓模型以斷層所在位置為長軸,以過斷層中點(diǎn)并垂直于斷層的方向?yàn)槎梯S,長短軸將整個(gè)觀測區(qū)域分為4個(gè)部分。4個(gè)區(qū)域物理意義分別為：沿破裂方向前端的上下盤和沿破裂反方向末端的上下盤。其加速度的等值線示意圖見圖2,該方法忽略了斷層長度垂直范圍的2個(gè)區(qū)域,其等震線形狀在斷層范圍內(nèi)沒有沿著斷裂方向“發(fā)散開”的趨勢,這導(dǎo)致前區(qū)橢圓看起來更加扁平,這與圖1不符。由于破裂前端區(qū)域和末端區(qū)域共用短軸,短軸都是過斷層中心,不能通過比較得到過斷層不同位置處的短軸衰減關(guān)系來反映破裂方向?qū)Χ梯S衰減的影響。

圖2 4區(qū)域橢圓模型加速度峰值等值線示意圖

2 6區(qū)域衰減模型

由于4區(qū)域模型在等震線形狀刻畫和地震區(qū)域劃分上的不足,該文采用下述劃分方法：

以斷層所在位置為長軸,以過斷層2端點(diǎn),且垂直與長軸的2條直線為短軸可以將等震線圖分為6個(gè)基本區(qū)域。從圖1可以看出：兩端的4個(gè)區(qū)域曲線近似于橢圓,其形狀由各自的長短軸控制。中間的2個(gè)區(qū)域曲線近似于直線。其形狀由直線與斷層2端點(diǎn)的斷層距控制。

上述劃分不僅在等震線圖形上更加符合實(shí)際,而且所劃分出的6個(gè)區(qū)域也具有明確的物理意義：斷層垂直區(qū)域外,沿破裂方向前端的上下盤、斷層垂直區(qū)域外,沿破裂反方向末端的上下盤以及斷層垂直范圍內(nèi)的上下盤。

基于前文提到的烈度與加速度的線性關(guān)系,假設(shè)某幾個(gè)值的加速度等震線（基準(zhǔn)線）與烈度等震線形狀相似,具體的控制指標(biāo)是2種等值線在區(qū)域分割線方向上的截距相等,利用烈度等震線圖量出這些截距,并由此作出加速度峰值的基準(zhǔn)線。（圖3）基準(zhǔn)線間的其他等值線通過某種差值規(guī)律假設(shè)轉(zhuǎn)化為求解方程的方法求得,其具體步驟如下：

圖3 6區(qū)域模型加速度峰值等值線示意圖

1）以斷層（圖3中間實(shí)線）所在直線為長軸,以過斷層端點(diǎn)且垂直長軸的2條直線為短軸。分割線與等震線的截距標(biāo)識為rij,i為基準(zhǔn)線標(biāo)號,j表示截取方向,取j=1,2,3,4,5,6。截距包含了兩端4條橢圓線和中間段2條直線所需全部參數(shù),可以由此得到基準(zhǔn)線。

2）對于2基準(zhǔn)線i和i-1間任意觀測點(diǎn)的加速度等值線可由2條基準(zhǔn)線差值算得。在理想狀態(tài)下,2條基準(zhǔn)線間應(yīng)由無窮條不相交的等值線覆蓋,在任意測點(diǎn)位置都有唯一一條加速度峰值等值線經(jīng)過。同時(shí)等值線的形狀應(yīng)漸變過渡直至與基準(zhǔn)線重合。滿足下列2個(gè)條件的等值線符合這些要求：①它們都由4段不同的橢圓曲線和2段直線組成;②等震線在坐標(biāo)軸正負(fù)方向上的截距為：

式中,k為自變量,0＜k＜1。這樣可以保證當(dāng)k從0到1時(shí),加速度等值線的6個(gè)截距相對均勻增長,并保證當(dāng)k=0,1時(shí)加速度等值線過渡為基準(zhǔn)線形狀。

如圖3,以基準(zhǔn)線i和i-1間的任意點(diǎn)h（x,y）的等值線作法為例。判斷其所在象限,h（x,y）在第1區(qū)時(shí),以l′1（k）為長軸、l′2（k）為短軸在一區(qū)范圍內(nèi)作橢圓;h（x,y）在第3區(qū)時(shí),以l′4（k）為長軸、l′3（k）為短軸在3區(qū)范圍內(nèi)作橢圓;h（x,y）在第4區(qū)時(shí) ,以l′4（k）為長軸 、l′5（k）為短軸在 4區(qū)范圍內(nèi)作橢圓;h（x,y）在第6區(qū)時(shí),以l′1（k）為長軸、l′6（k）為短軸在 6區(qū)范圍內(nèi)作橢圓;將長短軸和h（x,y）點(diǎn)坐標(biāo)帶入到橢圓方程中,通分化簡可以得到關(guān)于k的一元4次方程：

式中,j1取2個(gè)長軸即（j1=1,4）;j2取4個(gè)長軸即（j2=2,3,5,6）;其取值由h（x,y）所在象限決定。

h（x,y）在第2區(qū)或第5區(qū)時(shí),K值直接由下式給出：

式中,j1取2個(gè)長軸即（j1=2,6）;j2取4個(gè)長軸即（j2=3,4）,其取值由h（x,y）所在象限決定。rn為斷層半長。

通過求解式2和式3,得到任意位置點(diǎn)在（0,1）的范圍內(nèi)的唯一k值。將k代回到（1）式中即可求得等值線的6個(gè)截距。它是描述加速度等值線的完整參數(shù),由其代替圓模型中的單一的震中距作為統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行擬合運(yùn)算得到6個(gè)地震動加速度衰減關(guān)系。它們反映了6個(gè)區(qū)域中地震加速度衰減的基本特性。注意在求解方程式（2）時(shí),應(yīng)用一元4次方程的系數(shù)解[9]可以大大簡化計(jì)算,提高計(jì)算速度和精度。

3 汶川8.0級地震的加速度峰值衰減關(guān)系曲線

以汶川8.0級地震,四川、陜西、甘肅、青海、寧夏、云南、山西7省公布[10]的261個(gè)土層加速度峰值記錄為對象,擬合衰減關(guān)系曲線。

4區(qū)域橢圓模型的計(jì)算方法和過程文中不再給出,直接引用文獻(xiàn)[1]中的相關(guān)結(jié)論于表2,以便用于結(jié)論分析及對比。

對于圓模型采用衰減關(guān)系式為[11-12]：

式中y為地震加速度峰值,R為震中距,R0為距離飽和因子,有：R0=k1 exp（k2?M）,k1、k2直接按文獻(xiàn)[13]結(jié)論取值,分別等于0.39、0.623,算得R0=57,a、b為回歸系數(shù)。

相應(yīng)6區(qū)域橢圓模型各方向半軸的衰減關(guān)系式為：

為保證震源體內(nèi)加速度相等,采用聯(lián)合橢圓模型[14-15]類似的方法計(jì)算,給出聯(lián)合的衰減關(guān)系曲線式（6）。式中R1、R2、R3、R4、R5、R6為 6 個(gè)方向上的距離飽和因子,作為回歸參數(shù),通過式（5）采用最小二乘法,循環(huán)回歸取方差為最小時(shí)對應(yīng)的值。l1、l2、l3、l4、l5、l6為 6 個(gè)方向的半軸長,其值由式（1）、（2）、（3）求得,當(dāng)其中任意一個(gè)按式（1）、（2）、（3）取值時(shí),其它5個(gè)取為0,（1）、（2）、（3）式中ri,j在圖 1中量出 。a、b1、b2、b3、b4、b5、b6 為回歸系數(shù) 。

通過（6）式,采用最小二乘法,求得回歸系數(shù)后各個(gè)方向的衰減關(guān)系由式（7）確定。

通過觀測點(diǎn)坐標(biāo)和震中坐標(biāo)計(jì)算出測點(diǎn)震中距R,代入關(guān)系式（4）,利用最小二乘法得到圓模型的汶川地震水平向和豎向衰減曲線圖4、5。擬合系數(shù)、飽和距離及擬合方差見表1。

圖4 圓模型水平向加速度峰值衰減關(guān)系

圖5 圓模型豎向加速度峰值衰減關(guān)系

通過式（1）、（2）、（3）得到觀測點(diǎn) 4個(gè)方向的半軸長l1、l2、l3、l4、l5、l6 代入（5）式 ,通過循環(huán)回歸得到飽和因子與方差關(guān)系圖6、7,并取方差最小值為距離飽和因子。求得飽和因子后利用式（6）進(jìn)行最小二乘擬合,求得回歸系數(shù),并帶入式（7）求得4個(gè)半軸向的最終的衰減關(guān)系圖8。

表1 6區(qū)域模型的擬合系數(shù)

表2 4區(qū)域橢圓模型的擬合系數(shù)

4 模型的對比及結(jié)論

觀察圖形可知,利用圓模型按震中距統(tǒng)計(jì)的觀測點(diǎn)（圖4、5）離散性較大,在近場時(shí),該現(xiàn)象尤其明顯;利用模型按6個(gè)方向的半軸長統(tǒng)計(jì)得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)（圖8、9）離散性小。從擬合方差上看,表1、2中圓模型的水平向和豎向擬合關(guān)系式方差分別為0.930、0.750;4區(qū)域橢圓模型方差為：0.490、0.340;該文模型的擬合關(guān)系式方差為0.475、0.338。后2者方差都比圓模型減小了1倍左右。而6區(qū)域模型比4區(qū)域模型方差略小,這說明結(jié)果更加符合實(shí)際。

圖6 6區(qū)域模型水平向距離飽和因子

圖8 6區(qū)域模型水平向衰減關(guān)系

6區(qū)域模型可以得到6條衰減關(guān)系,每相鄰2條衰減關(guān)系代表了1個(gè)區(qū)域內(nèi)加速度峰值衰減關(guān)系的上下限值。它可以反映破裂方向效應(yīng)和上下盤效應(yīng)。由衰減關(guān)系式2邊對距離取導(dǎo)數(shù)可知,擬合系數(shù)b與震中飽和距離R之比是衡量近場衰減速度的關(guān)鍵。比值越小近場的衰減慢,反之亦然。該文稱其為近場衰減速率系數(shù)。

從表1可以看出圓模型的近場衰減速率系數(shù)大小介于該文模型6個(gè)方向上的系數(shù)之間,可以認(rèn)為圓模型是衰減速率在各方向的平均反應(yīng),對沿破裂方向的長軸l1衰減明顯高估,這種方法是危險(xiǎn)的。

就長軸而言,4區(qū)域橢圓模型與6區(qū)域得到的結(jié)論一致,l1和l4方向,v1和v3方向

的衰減關(guān)系各項(xiàng)擬合系數(shù)差別明顯,從近場衰減速率系數(shù)上看,沿?cái)鄬觽鞑シ较蛩p慢,同時(shí),它也是所有方向上衰減最慢的方向。

圖7 6區(qū)域模型豎向距離飽和因子

圖9 6區(qū)域線模型豎向衰減關(guān)系

就短軸而言,2種模型得到的結(jié)論有較大差別。從表2中可以看出,對4區(qū)域橢圓模型,v2和v4方向的衰減關(guān)系各項(xiàng)擬合系數(shù)以及近場衰減速率系數(shù)差別都很小,這1方面可能是由于汶川地震的傾滑成份較少引起的,同時(shí)還有另外1個(gè)原因：汶川地震的主斷層在其長度中心處有一定距離的間斷,由于間斷距離與斷層總長度相比很短,對間斷處垂直范圍以外的區(qū)域影響很小,才可以近似的將其看作一條連貫的斷層。但是4段線模型的短軸經(jīng)過了這個(gè)間斷區(qū)域,在這里并沒有實(shí)際上的斷層,所以在該處得到的短軸衰減關(guān)系上下盤效應(yīng)不明顯。另外,4區(qū)域橢圓模型并不能體現(xiàn)破裂方向?qū)Χ梯S衰減關(guān)系的影響。

對于6區(qū)域模型,l6方向是過斷層前端點(diǎn),沿下盤垂直于斷層方向的傳播方向,l5方向是是過斷層末端點(diǎn),沿下盤垂直于斷層方向的傳播方向,從表1中可以看出l6衰減更慢,另外由于l6和l5的衰減關(guān)系存在差別,說明在區(qū)域5內(nèi)的等值線與斷層并不平行,除去斷層距,觀測點(diǎn)與斷層的垂足在斷層上所處的位置對短軸方向的地震衰減也有影響。研究l2和l3可以在上盤得到同樣的結(jié)論。

l6和l2的垂足均為斷層前端,且也是垂直與斷層方向,唯一的不同是,l6沿下盤傳播而l2沿上盤傳播,對比兩者的近場衰減系數(shù)可知,在該斷層位置,汶川地震上盤的近場衰減更慢,對比l3和l5可以得到相同結(jié)論。

對比在任意方向上的豎向近場衰減系數(shù)都比同方向上的水平向衰減系數(shù)大,即豎向衰減快。

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（編輯胡 玲）