孟 倫，趙冠光，劉曉亮，張 彤

（第二炮兵工程學(xué)院，陜西 西安 710025，）

巡航導(dǎo)彈是現(xiàn)代戰(zhàn)爭的“殺手锏”武器，也是決定戰(zhàn)爭勝負(fù)的一個(gè)主要武器因素。但如何在戰(zhàn)前制定作戰(zhàn)方案，進(jìn)行火力分配，從而在選擇發(fā)射陣地階段避免出現(xiàn)彈道互擾現(xiàn)象的出現(xiàn)，變得越來越重要。

1 初段彈道交叉現(xiàn)象介紹

巡航導(dǎo)彈飛行初段，是指巡航導(dǎo)彈從發(fā)射陣地起飛，至導(dǎo)彈彈載計(jì)算機(jī)裝訂的航跡的第一導(dǎo)航點(diǎn)之間的飛行軌跡。巡航導(dǎo)彈飛行初段彈道交叉，是指在同一波次任務(wù)中，兩條巡航導(dǎo)彈飛行初段的飛行軌跡之間的空間最短距離小于3σ，則稱這兩條飛行軌跡之間產(chǎn)生彈道交叉。

在一波次火力打擊任務(wù)中，假設(shè)使用不同航跡和發(fā)射陣地來完成波次任務(wù)（如圖1所示）：發(fā)射陣地1、發(fā)射陣地4上的導(dǎo)彈，采用航跡1對(duì)目標(biāo)1進(jìn)行攻擊；發(fā)射陣地2、發(fā)射陣地3上的導(dǎo)彈，采用航跡2對(duì)目標(biāo)2進(jìn)行攻擊；由于航跡1的第一導(dǎo)航點(diǎn)1和航跡2的第一導(dǎo)航點(diǎn)2的位置影響，發(fā)射陣地1和發(fā)射陣地2上的導(dǎo)彈飛行初段，出現(xiàn)彈道交叉1；以及發(fā)射陣地3和發(fā)射陣地4上的導(dǎo)彈飛行初段，出現(xiàn)彈道交叉2。

如果有彈道交叉現(xiàn)象，則可能發(fā)生彈道互擾，應(yīng)避免這種現(xiàn)象的發(fā)生。

2 初段彈道交叉解析近似計(jì)算模型

2.1 巡航導(dǎo)彈飛行初段的簡化模型

巡航導(dǎo)彈飛行初段的飛行軌跡，由出筒、爬升、下滑、平飛共4段組成。從發(fā)射陣地到轉(zhuǎn)平飛點(diǎn)Azp階段，所經(jīng)歷的時(shí)間相當(dāng)短，導(dǎo)彈飛行的距離有限。經(jīng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析，這一階段發(fā)生彈道交叉的概率比較低，故我們只需考慮導(dǎo)彈從轉(zhuǎn)平飛點(diǎn)Azp到第一導(dǎo)航點(diǎn)Cdf之間導(dǎo)彈飛行初段的飛行軌跡即可。根據(jù)現(xiàn)有武器性能，巡航導(dǎo)彈由轉(zhuǎn)平飛點(diǎn)Azp到第一導(dǎo)航點(diǎn)Cdf之間的飛行狀態(tài)為平飛，中間至多有一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)Bzw，則其飛行軌跡可近似看成為三維空間內(nèi)的二條線段AzpBzw、BzwCdf，要確定三維空間內(nèi)的一條線段，只需知道其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)即可。Bzw和Cdf的坐標(biāo)，由航跡數(shù)據(jù)給出，Azp可由發(fā)射點(diǎn)坐標(biāo)經(jīng)過初段飛行航跡計(jì)算獲得。

設(shè)Azp點(diǎn)的坐標(biāo)為（xzp，yzp，zzp），Cdf點(diǎn)的坐標(biāo)為（xdf，ydf，zdf），Bzw點(diǎn)的坐標(biāo)為（xzw，yzw，zzw），則巡航導(dǎo)彈飛行初段的飛行軌跡為線段AzpBzw和BzwCdf，其解析表達(dá)式為

圖2 巡航導(dǎo)彈飛行初段飛行軌跡示意圖

2.2 計(jì)算彈道交叉的近似解析方法

兩個(gè)導(dǎo)彈飛行初段出現(xiàn)彈道交叉，是指兩個(gè)飛行初段的飛行軌跡之間的最短距離小于3σ，則求巡航導(dǎo)彈飛行初段彈道互擾問題，就轉(zhuǎn)化為求空間兩條線段最短距離的問題。

設(shè)空間中有兩條線段AB和CD，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1，z1），B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2，y2，z2），C 點(diǎn)坐標(biāo)為（x3，y3，z3），D 點(diǎn)坐標(biāo)為（x4，y4，z4）。

設(shè)P是直線AB上的一點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)（X，Y，Z）可以表示為：

當(dāng)參數(shù)0≤s≤1時(shí)，P是線段AB上的點(diǎn)；當(dāng)參數(shù)s＜0時(shí)，P是BA延長線上的點(diǎn)；當(dāng)參數(shù)s＞1時(shí)，P是延長線上的點(diǎn)。

設(shè) Q是直線 CD上的一點(diǎn)，Q點(diǎn)坐標(biāo)（U，V，W）可以表示為

當(dāng)參數(shù)0≤t≤1時(shí)，Q是線段CD上的點(diǎn)；當(dāng)參數(shù)t＜0時(shí)，Q是DC延長線上的點(diǎn)；當(dāng)參數(shù)t＞1時(shí)，Q是CD延長線上的點(diǎn)。

P、Q兩點(diǎn)之間的距離為

距離的平方為

要求直線AB、CD之間的最短距離，也就是要求f（s，t）的最小值。對(duì)f（s，t）分別求關(guān)于s、t的偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0。

展開整理后，得到下列方程組

如果從這個(gè)方程組求出的參數(shù)s、t的值滿足0≤s≤1、0≤t≤1，說明P點(diǎn)落在線段AB上，Q點(diǎn)落在線段CD上，這時(shí)PQ的長度

就是線段AB與CD的最短距離。

如果從方程組求出的參數(shù)s、t的值不滿足0≤s≤1、0≤t≤1，說明不可能在線段AB內(nèi)部找出一點(diǎn)P，在線段CD內(nèi)部找出一點(diǎn)Q，使得PQ的長度就是線段AB與CD的最短距離。

這時(shí)，可以分別求A點(diǎn)到線段CD的最短距離、B點(diǎn)到線段CD的最短距離、C點(diǎn)到線段AB的最短距離、D點(diǎn)到線段AB的最短距離。然后比較這4個(gè)距離的大小，其中最小的一個(gè)就是線段AB與CD的最短距離。

3 巡航導(dǎo)彈旅發(fā)射陣地彈道交叉計(jì)算流程

巡航導(dǎo)彈旅發(fā)射陣地彈道交叉計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 彈道交叉計(jì)算流程

4 結(jié)束語

本文針對(duì)巡航導(dǎo)彈飛行初段的特點(diǎn)，建立了巡航導(dǎo)彈飛行初段簡化模型，運(yùn)用近似解析計(jì)算的方法，求解巡航導(dǎo)彈飛行初段彈道交叉問題，方法簡單，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，為作戰(zhàn)中快速科學(xué)、合理地選擇發(fā)射陣地、制定火力計(jì)劃提供有效支持，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]李小波.巡航導(dǎo)彈發(fā)射陣地選擇的多目標(biāo)決策[D].第二炮兵工程學(xué)院，2003.