黃德武,張 健

(沈陽理工大學(xué)裝備工程學(xué)院,遼寧 沈陽110016)

1 引 言

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)以介質(zhì)材料的連續(xù)假設(shè)為基礎(chǔ),包括流體力學(xué)﹑氣體動力學(xué)﹑彈塑性力學(xué)﹑爆炸力學(xué)等。盡管各種物質(zhì)都是由大量不連續(xù)的分子組成,但連續(xù)介質(zhì)力學(xué)卻不對物質(zhì)的真實(shí)微觀結(jié)構(gòu)作深入探討。這種假設(shè)給以牛頓微積分為基礎(chǔ)的、要求變量處處連續(xù)可微的數(shù)學(xué)體系提供了應(yīng)用可能。因?yàn)橛蛇@種假設(shè)推導(dǎo)出的結(jié)論一般都能滿足工程需要,因此連續(xù)介質(zhì)力學(xué)得到了廣泛的應(yīng)用,是最重要的力學(xué)方法。但近年來隨著材料微、細(xì)觀結(jié)構(gòu)研究的最新進(jìn)展,再用這種方法描述爆炸和高速穿甲時(shí)材料損傷﹑斷裂和飛散的微觀過程,有時(shí)會產(chǎn)生較大出入,不盡人意。

移動元胞自動機(jī)法是С.Д.Псахье等[1]在元胞自動機(jī)法[2]基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,它的主要特征是元胞不是固定在網(wǎng)格上變化,而是可以移動。MCA 假設(shè)材料由許多獨(dú)立的元胞構(gòu)成,元胞之間用“鍵”連接,“鍵”受沖擊可斷開,受強(qiáng)擠壓時(shí)已斷開的“鍵”還能重新連接,元胞間可以相對運(yùn)動。元胞間的碰撞、擠壓和摩擦可產(chǎn)生熱量使元胞溫度瞬間升高。用粒子力學(xué)方法對每個(gè)元胞對建立運(yùn)動微分方程,在某個(gè)時(shí)間步長對所有元胞對的方程聯(lián)立求解就得到一個(gè)“態(tài)”,下個(gè)步長又得到一個(gè)新“態(tài)”,將這些“態(tài)”連接起來,就完整描述了一個(gè)動態(tài)過程,這和生物細(xì)胞的復(fù)制、分裂及生物生長過程有些類似,因此稱為元胞自動機(jī)法。不難看出,MCA 方法需要高速運(yùn)算和超大規(guī)模存貯計(jì)算機(jī)。只有隨著計(jì)算機(jī)硬﹑軟件的發(fā)展及相關(guān)粒子力學(xué)理論的不斷完善這種方法才能實(shí)現(xiàn)。MCA 方法對爆炸、穿甲、復(fù)合材料損傷、相變過程等問題的數(shù)值模擬是符合實(shí)際和有效的。本文中,對MCA 法作進(jìn)一步的改進(jìn),增加了高速侵徹溫度場的計(jì)算。

2 MCA 方法基本模型

2.1 元胞運(yùn)動微分方程的建立

MCA 方法把被模擬的物體離散成一系列的微小單元,這些單元的位置不固定在某個(gè)網(wǎng)格上而是可以移動的,稱為移動元胞,二維元胞可以是單層單元,物體內(nèi)部任意相鄰的兩個(gè)元胞為一個(gè)元胞對。引入描述元胞對之間位置參數(shù)hij,并有如圖1,hij為元胞對位移參數(shù),rij為元胞i 的中心到元胞j 的中心的實(shí)際距離,rij,0為元胞未發(fā)生變形時(shí)、即兩元胞相切時(shí)元胞i 到元胞j 的中心距離,di為元胞i 的直徑。若兩個(gè)元胞被拉開,則hij=rij-rij,0為正值,若互相擠壓,則hij為負(fù)值,若定義hij為絕對值,即,則沒有正負(fù)的符號問題。

圖1 相鄰元胞組成的元胞對Fig.1 A pair of the neighbor cells

在有限元法中,單元通過節(jié)點(diǎn)相連,節(jié)點(diǎn)在物理意義上是“絞鏈”。而在MCA 法中,元胞對位移參數(shù)hij,max類似可變形的“彈簧”,元胞之間的作用力與“彈簧”拉伸程度有關(guān),一旦“彈簧”超過強(qiáng)度極限,元胞“鍵”就斷開。顯然,MCA 法比有限元法更接近實(shí)際。當(dāng)hij＜hij,max時(shí)為連接狀態(tài),當(dāng)hij＞hij,max時(shí)為斷開狀態(tài)。其中hij,max是元胞對位移參數(shù)的臨界值,hij,max=rij,0εb,εb為材料斷裂時(shí)的應(yīng)變值,即材料的延伸率。這種方法的重要步驟是以任一個(gè)元胞對(i,j)為研究對象,建立兩個(gè)元胞相互運(yùn)動的平動和轉(zhuǎn)動方程

式中:qij為從元胞i 的中心到該元胞與元胞j 接觸后公共弦的距離;C(ij,ik)為與hij參數(shù)有關(guān)的系數(shù);Ψ(αij,ik)為與ij、ik 等元胞對的相互排列角度參數(shù)αij,ik和泊松系數(shù)μ有關(guān)的變形系數(shù);θij為元胞i、j 間的相對旋轉(zhuǎn)角;τij為i、j 間的切向力;S(i j,ik)為與元胞對ij 和元胞對ik 的旋轉(zhuǎn)角θ有關(guān)的系數(shù);J i 為元胞i 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。元胞對的變形見圖2,位移參數(shù)見圖3。

平動方程(1)中,左端第一項(xiàng)是元胞i、j 間的相對直線加速度,右端第一項(xiàng)是元胞i、j 間作用力pij引起的相對直線加速度,第二項(xiàng)是作用在i 元胞上、除了j 元胞外的其他鄰近元胞作用力引起的加速度在i、j 方向上的投影,第三項(xiàng)是除了i 元胞外、作用在j 元胞上的其他鄰近元胞的作用力引起的加速度在i、j 方向上的投影。轉(zhuǎn)動方程(2)有類似意義,只是有關(guān)角加速度的。

方程(1)、(2)構(gòu)成了兩個(gè)元胞間相互作用的運(yùn)動微分方程,當(dāng)C(ij,ik)=1 或C(i j,j l)=1 且S(ij,ik)=1 或S(ij,j l)=1 時(shí),可以轉(zhuǎn)化為牛頓-歐拉運(yùn)動方程

圖2 元胞對間的變形Fig.2 Relative deformation of a pair

式中:Fij=pij+τij,Kij=qijnijτij,Ri、Rj是元胞i 和j 沿ij連線的位矢,模大小不等,nij是單位法向矢量,nij=(Rj-Ri)/(qij+qji)。

圖3 元胞對位移參數(shù)Fig.3 Displacement parameters for the pairs

2.2 本構(gòu)關(guān)系的構(gòu)成

在MCA 方法中,整個(gè)試樣本構(gòu)關(guān)系由兩部分構(gòu)成,第一部分取決于每個(gè)元胞內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,第二部分取決于元胞間的相互位置和元胞的運(yùn)動狀態(tài)。MCA 方法認(rèn)定每個(gè)元胞內(nèi)部應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系仍然遵循連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的彈塑性小變形理論。一個(gè)試樣內(nèi)部元胞的數(shù)量是固定的,在沖擊載荷作用下,受載荷直接作用的元胞間距離一般都縮短(試樣被壓實(shí)),同時(shí)各個(gè)鄰近元胞受壓縮后被激活和開始運(yùn)動起來,具有一定的速度和加速度,開始時(shí)所有相鄰元胞間都有“鍵”連接,受載后有些元胞間的“鍵”被拉斷或被壓斷。既使不斷,相互的連接力也隨元胞運(yùn)動的不同發(fā)生變化,這就決定了試樣的承載能力和本構(gòu)關(guān)系的不斷改變。為了分析這兩部分對試樣本構(gòu)的影響,先來研究單個(gè)元胞內(nèi)的彈塑性變化。取一個(gè)元胞,周圍元胞對它的作用可視為力和位移的邊界條件,關(guān)系式為[3]

式中:如只考慮平面應(yīng)力狀態(tài),則(α,β)=(x,y),σα和εα是應(yīng)力和應(yīng)變張量的對角分量;σav為平均應(yīng)力,ταβ為剪切分量,K 為體積彈性模量,在各向同性彈性范圍內(nèi),。φ為與元胞材料性質(zhì)有關(guān)的乘子,φ=(2/3)dσint(εint)/dεint。其中

體積彈性模量K 是一個(gè)變量,因?yàn)樵跊_擊引起的彈塑性變化中E 是隨應(yīng)變ε變化的。在原MCA 方法中,單個(gè)元胞內(nèi)部應(yīng)力和應(yīng)變采用雙線性強(qiáng)化彈塑性本構(gòu)關(guān)系,E 的變化比較簡單,只適應(yīng)低速沖擊,改進(jìn)后的MCA 方法采用指數(shù)強(qiáng)化規(guī)律或二次強(qiáng)化規(guī)律

式中:ε是應(yīng)變;E0是材料的彈性模量;E 是變形后材料的彈性模量;α是材料參數(shù),由實(shí)驗(yàn)確定。

對于元胞對之間的正應(yīng)力及切向剪應(yīng)力,有

一個(gè)試樣由很多元胞組成,每個(gè)元胞對的運(yùn)動微分方程都可用式(1)～(2)描述,這樣編制程序很方便,就象在有限元法中計(jì)算單元剛度矩陣一樣,一個(gè)統(tǒng)一式適用于所有單元。然后再把所有元胞對運(yùn)動方程聯(lián)立起來,這又和有限元法中組集總體剛度矩陣類似,即在整體上表示了這個(gè)試樣外載荷和形變之間的關(guān)系,也就是試樣的本構(gòu)關(guān)系。比較每個(gè)元胞內(nèi)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和元胞間位置及運(yùn)動的變化對整個(gè)試樣本構(gòu)關(guān)系的貢獻(xiàn),可以發(fā)現(xiàn)后者是主要的,即前述的第二部分對試樣本構(gòu)關(guān)系貢獻(xiàn)大。

2.3 元胞“鍵”的破壞規(guī)則

MCA 方法中,元胞之間是連接還是斷開由元胞對位移參數(shù)hij決定,同時(shí)MCA 方法還采用等效應(yīng)力作為判別元胞之間由連接到斷開的判據(jù)

式中:σi,b為i 元胞的極限強(qiáng)度,K ij 為粘滯系數(shù)。滿足式(7)或(8)時(shí)為斷開狀態(tài)。這就是說一個(gè)元胞對之間的“鍵”可以有兩個(gè)破壞規(guī)則,變形過大被拉斷或壓斷,相互擠壓過重元胞“健”也被破壞。兩個(gè)元胞間的“鍵”破壞以后,相互不再傳遞力的作用。如果一個(gè)元胞或一個(gè)元胞團(tuán)(材料碎塊)和周圍元胞連接的“鍵”全部斷了,這個(gè)元胞或元胞團(tuán)(材料碎塊)就脫離試樣,游離或飛散出去。

當(dāng)元胞i、j 為同一材料時(shí),Kij=1;當(dāng)元胞i、j 為不同材料時(shí),K ij ≠1;K ij 表示兩種材料界面的連接程度,可處理表面涂層、復(fù)合材料、不均勻介質(zhì)等界面問題。如果任一材料元胞的等效應(yīng)力滿足破壞條件(7)或(8),不管另一種材料的元胞是否破壞,則元胞對之間的連接“鍵”斷開,即界面開裂或脫離。如果界面的接合工藝不好,即界面連接強(qiáng)度低于基體內(nèi)連接強(qiáng)度,則粘滯系數(shù)K ij 較小(K ij ＜1),即在較小的沖擊載荷作用下,即可達(dá)到開裂條件。

2.4 元胞溫度計(jì)算

實(shí)驗(yàn)表明,高速穿甲侵徹過程的時(shí)間很短,一般以微秒計(jì)。彈體撞擊靶板瞬間,靶板和彈體頭部的溫度驟然升高,可能引起靶板材料局部熔化,高速穿甲溫度效應(yīng)不能忽略,但可視為絕熱過程。在M CA 方法中,元胞i、j 之間作用力可分解為法向力和切向力

在沖擊載荷下,沖擊外力作彈性功轉(zhuǎn)換成材料內(nèi)勢能,可以恢復(fù),稱有勢力,沖擊外力作塑性功不能恢復(fù),轉(zhuǎn)變成熱量耗散,這部分稱耗散力。因此

3 穿甲侵徹計(jì)算

彈芯材料為鎢合金93W,材料參數(shù)分別為:密度ρ=17.5 t/m3,泊松比μ=0.33,彈性模量Ε=320 GPa,極限強(qiáng)度σb=2 GPa,斷裂應(yīng)變ε=0.04,比熱容c=140 J/(kg·K),導(dǎo)熱率λ=137 W/(m·K);靶板材料為27SiM nMo,材料參數(shù)分別為:ρ=7.8 t/m3,μ=0.28,E=206 GPa,σb=1.2 GPa,ε=0.08,c=450 J/(kg·K),λ=69.3 W/(m·K)。彈芯質(zhì)量0.19 kg,靶板厚度300 mm,著靶速度1 km/s,依據(jù)模型中靶板的厚度和穿甲過程中靶板的破壞程度,靶板可看作半無限靶。模型中彈、靶元胞的尺寸相同,元胞的直徑為1.7 mm。

穿甲彈芯長細(xì)比的設(shè)計(jì)對侵徹能力影響很大,選取長細(xì)比λ=L/D 分別為5、10、15、20、25 和30。彈芯質(zhì)量相同,大長細(xì)比彈芯的直徑必然小,彈芯具體尺寸見表1。

表1 桿式穿甲彈尺寸Table 1 The sizes of rod projectiles

圖4 是長細(xì)比為10 的計(jì)算模型。模型的元胞總數(shù)為31 332,彈元胞總數(shù)325,靶元胞總數(shù)為31 007。

侵徹半無限靶的最后,或者彈體速度衰減為零,殘余彈體嵌在靶板中,或者彈體質(zhì)量耗盡,侵徹中止。圖5 為長細(xì)比為10 的穿甲彈對靶板的侵徹過程。當(dāng)t=87.5 μs 時(shí),彈體長度消耗了2/3,速度下降為865 m/s,當(dāng)t=125 μs 時(shí),彈體長度消耗了9/10,速度下降為655 m/s,當(dāng)t=225 μs 時(shí),彈體質(zhì)量消耗殆盡,侵徹過程停止。

圖4 計(jì)算模型(λ=10)Fig.4 The model

圖5 穿甲彈對靶板侵徹的破壞圖(λ=10)Fig.5 The damage process of projectile to target

圖6 為長細(xì)比為15 的彈芯在t=103 μs 時(shí)彈、靶的溫度場。彈坑內(nèi)側(cè)溫度比較高,彈坑底部已有一些元胞超過1 800 ℃(鋼的熔點(diǎn)1 480 ℃),這和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。通常在靶板彈孔內(nèi)側(cè)能觀測到約10 μm 的白亮層,它是靶板材料被高速撞擊和摩擦熔化后又快速凝固后形成的,稱為熔化快凝層[4-5]。有人稱穿甲侵徹過程為“熔穿”,即指彈、靶接觸處由于高速沖擊和強(qiáng)烈摩擦,瞬時(shí)可視為絕熱過程,靶板彈坑底部溫度能達(dá)到熔點(diǎn)。

圖6 t=103 μs 時(shí)的溫度場(λ=15)Fig.6 Temperature field at t=103 μs

在模擬侵徹過程中,彈頭部和靶板相互受到的壓力可達(dá)30 ～70 GPa。如果穿甲彈頭部的表面元胞和彈體內(nèi)部鄰近元胞的連接“鍵”被全部壓斷,這些元胞就會飛散或移走。這樣彈和靶板次表面的元胞就成為表面元胞,隨著侵徹過程的進(jìn)行,彈芯在縮短,靶板上的彈坑在延伸。彈、靶間的擠壓應(yīng)力通過元胞逐次傳遞以應(yīng)力波的形式在彈體和靶板中向遠(yuǎn)處傳播,應(yīng)力波的傳播速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于穿甲彈芯侵徹靶板的速度,應(yīng)力波的作用造成了遠(yuǎn)方元胞間“鍵”的破壞,形成了損傷區(qū)。圖5 中彈、靶接觸部分附近的白色區(qū)域均為損傷區(qū),損傷區(qū)不規(guī)則是應(yīng)力波反射和疊加的結(jié)果。圖7 為t=87.5 μs 時(shí)彈體的放大網(wǎng)格圖,節(jié)點(diǎn)代表元胞,節(jié)點(diǎn)間連線代表“鍵”。圖中彈芯上部網(wǎng)格連接完好,每一個(gè)元胞與周圍的六個(gè)元胞相連,形成正六邊形排列;下部網(wǎng)格連接出現(xiàn)了不同程度的破壞,例如元胞30 473 與周圍五個(gè)元胞的連接“鍵”已斷開,若一個(gè)元胞的六個(gè)“鍵”全部斷裂,則這個(gè)元胞將脫落和飛離,這意味著彈體質(zhì)量在侵徹中不斷消耗,這和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合。

圖8 為質(zhì)量和初速相同、長細(xì)比不同的桿式穿甲彈侵徹靶板的最大穿深曲線。從圖中可以看出,隨著長細(xì)比的增加,桿式穿甲彈的最大穿深逐漸增加。這是因?yàn)殡S著長細(xì)比的增大,由于彈芯質(zhì)量不變,彈芯橫截面上面積比動能變大,彈芯的侵徹能力增強(qiáng),但當(dāng)長細(xì)比超過25 以后,隨著長細(xì)比的增加最大穿甲深度提高不明顯,這和有些實(shí)驗(yàn)結(jié)果的結(jié)論非常吻合[6-7]。當(dāng)然這里僅是從侵徹深度來討論,桿式穿甲彈長細(xì)比過大,還應(yīng)考慮膛內(nèi)發(fā)射和碰靶時(shí)的彈體折斷問題。

圖7 彈體局部網(wǎng)格Fig.7 The zoom of the projectile

圖8 最大穿深曲線Fig.8 The curve of penetrating depth

4 結(jié) 論

用MCA 方法對彈芯質(zhì)量相同、長細(xì)比不同的鎢合金穿甲彈侵徹靶板進(jìn)行數(shù)值模擬,在著靶速度1 km/s 下,可以得出以下結(jié)論。

(1)用粒子力學(xué)的移動元胞自動機(jī)法模擬桿式穿甲彈芯侵徹靶板過程效果較好,彈、靶相互作用的細(xì)觀破壞過程明顯直觀,彈坑形成、彈體質(zhì)量消耗、彈孔溫升均能很好描述。有利于分析穿甲過程的技術(shù)細(xì)節(jié)和更好進(jìn)行穿甲彈與裝甲防護(hù)的工程設(shè)計(jì)。

(2)長細(xì)比不同對半無限靶的最大穿甲深度也不相同,隨著長細(xì)比的增加穿甲深度增加。長細(xì)比超過25 以后對穿甲深度影響較小,這和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合。

(3)彈、靶溫度場的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀測值也比較一致,彈、靶接觸處高速沖擊和強(qiáng)烈摩擦,引起的靶板元胞溫升可超過熔點(diǎn),這和在靶場試驗(yàn)中觀測到靶板彈孔內(nèi)側(cè)有熔化快凝層存在吻合。

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