雷會(huì)榮

（徐州財(cái)經(jīng)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校江蘇徐州221007）

高職數(shù)學(xué)微積分教學(xué)改進(jìn)的思考

雷會(huì)榮

（徐州財(cái)經(jīng)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校江蘇徐州221007）

微積分是高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，加強(qiáng)微積分的概念教學(xué)和直觀教學(xué)，并采用現(xiàn)代化的教學(xué)技術(shù)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化教學(xué)，將會(huì)使微積分教學(xué)化難為易，順利實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

高職；數(shù)學(xué)；微積分；改進(jìn)

微積分是高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)

最近，我校數(shù)學(xué)教研室做了一次關(guān)于《數(shù)學(xué)在專業(yè)課學(xué)習(xí)中的作用》的問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查表中有這樣一項(xiàng)內(nèi)容：在學(xué)習(xí)中你認(rèn)為哪些內(nèi)容學(xué)習(xí)起來(lái)感到容易，哪些內(nèi)容學(xué)習(xí)起來(lái)感到困難？我們向部分高職三四年級(jí)學(xué)生發(fā)放了110份調(diào)查表，收回110份調(diào)查表。調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到困難的內(nèi)容依次是：導(dǎo)數(shù)與微分、極限與連續(xù)、積分及其應(yīng)用這三章內(nèi)容，即高職數(shù)學(xué)微積分的主要教學(xué)內(nèi)容。思考其中的原因，我認(rèn)為有以下三條。

微積分概念理解難教材中的微積分定義講究嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，學(xué)習(xí)起來(lái)比較抽象，缺乏直觀性、形象性，學(xué)生在理解上存在難度，這樣，削弱了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)。

微積分的內(nèi)容與前面的學(xué)習(xí)內(nèi)容聯(lián)系密切極限的運(yùn)算與指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)均有密切聯(lián)系；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)也與以前對(duì)初等函數(shù)的掌握程度有關(guān)；不定積分，用到很多的計(jì)算技巧，聯(lián)系到很多以前學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)；定積分應(yīng)用求面積問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的難點(diǎn)在于做不出圖形。由于學(xué)生對(duì)于以前學(xué)過(guò)的知識(shí)掌握不牢固，不能做到知識(shí)的靈活運(yùn)用、融會(huì)貫通，因而這部分內(nèi)容學(xué)起來(lái)感到困難。

教學(xué)過(guò)程側(cè)重運(yùn)算教學(xué)中強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力的培養(yǎng)。不定積分中的換元積分法、分部積分法，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)過(guò)難，學(xué)生容易產(chǎn)生畏難情緒，更何況學(xué)習(xí)微積分的課時(shí)偏少，教師很難在有限的課時(shí)將概念講透徹，學(xué)生也就難以學(xué)得透徹。

如何改進(jìn)微積分教學(xué)

結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，微積分教學(xué)應(yīng)做如下改進(jìn)：

（一）重視微積分概念的教學(xué)

加強(qiáng)微積分的直觀教學(xué)，注重對(duì)概念的理解。

以實(shí)例引入概念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，達(dá)到理解概念的目的在講極限概念前，先講我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽為求圓周率如何發(fā)明“割圓術(shù)”，阿基米德用“窮竭法”求出拋物線弓形的面積等數(shù)學(xué)實(shí)例，以此引入極限概念,讓學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)的無(wú)限逼近的極限思想。學(xué)生一般都能認(rèn)識(shí)到極限是一種研究變量的變化趨勢(shì)的數(shù)學(xué)方法，它產(chǎn)生于求實(shí)際問(wèn)題的精確解。這不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且對(duì)于隨后介紹極限的定義也大有益處。在學(xué)習(xí)定積分概念時(shí)，可引入下面的例子：繡花女繡花瓣，如何計(jì)算不規(guī)則花瓣的面積呢？花瓣的面積就是密密麻麻排列的絲線的面積和。假設(shè)絲線很細(xì)且排列的密密麻麻沒(méi)有重疊，每一條絲線的面積就是它的長(zhǎng)和寬的乘積，那么所有絲線的面積就是它的長(zhǎng)和寬的乘積，這樣，所有絲線的面積和就為曲線花瓣的面積。用這個(gè)例子理解定積分概念，學(xué)生既有興趣，又能理解變化率的導(dǎo)數(shù)思想、無(wú)限分割求極限的“微元法”思想。

以自然描述性的語(yǔ)言敘述概念數(shù)學(xué)思維發(fā)展的第一階段是獲得主要概念的清晰的直觀印象。概念教學(xué)盡量用自然的描述性語(yǔ)言，做到形象、直觀，學(xué)生易理解和接受。在五年制高職《數(shù)學(xué)》教材中，極限的定義采用的是描述性定義：自變量x在某種變化趨勢(shì)下，函數(shù)值f（x）越來(lái)越接近于一個(gè)確定常數(shù)A，則稱A是函數(shù)在這種趨勢(shì)下的極限。教師可多舉一些學(xué)生熟悉的函數(shù)，采用列表的方法，讓學(xué)生觀察自變量在某種變化趨勢(shì)下，相應(yīng)函數(shù)的變化趨勢(shì)，求出函數(shù)的極限，以達(dá)到理解概念的目的。同樣的題目，讓學(xué)生再用圖像的方法觀察極限，深化數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，筆者用這樣的語(yǔ)言敘述：觀察圖像時(shí)，先找準(zhǔn)確的變化趨勢(shì)，再觀察圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)變化趨勢(shì)，這符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，取得了較好的教學(xué)效果。導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)時(shí)，可先舉一個(gè)特例，如自由落體運(yùn)動(dòng)的位移公式先確立△x再求△y，求最后求說(shuō)明所求極限就是該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并說(shuō)明了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于求瞬時(shí)速度，不僅有利于下一步對(duì)一般函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義的理解，而且體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。從實(shí)際問(wèn)題中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題和用數(shù)學(xué)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模思想，改變了學(xué)生以往的“數(shù)學(xué)無(wú)用論”、“數(shù)學(xué)只為考試”的思想。

采用現(xiàn)代化的教學(xué)技術(shù)根據(jù)認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律，新穎變化的刺激容易引起人的注意。因此，在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)適當(dāng)變換授課形式，尤其是在教學(xué)內(nèi)容的處理上，盡可能以直觀動(dòng)感的教學(xué)素材吸引學(xué)生注意，應(yīng)用多媒體技術(shù)編制數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，如利用Mathematica、Maple、Matlab等軟件，制造出一個(gè)個(gè)圖文并茂、有聲有色的教學(xué)環(huán)境。這不僅可以改變以往單一的授課模式，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)可以使抽象深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單明了，縮短了數(shù)學(xué)與學(xué)生之間的距離，可更好地幫助學(xué)生思考知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。在導(dǎo)數(shù)的幾何意義、定積分概念、微分概念的教學(xué)中，均可以采用多媒體教學(xué)。例如，在微分教學(xué)中，用鮮艷顏色突出△x，一定情況下函數(shù)的增量△y與微分dy，學(xué)生從兩圖的比較中能直接感受到函數(shù)的增量與微分之間的關(guān)系，觀察結(jié)果與抽象分析一致，從而引起學(xué)習(xí)興趣。

（二）提倡使用計(jì)算機(jī)軟件、計(jì)算器

高等職業(yè)教育培養(yǎng)造就的是高級(jí)技術(shù)應(yīng)用型人才。對(duì)于技術(shù)應(yīng)用型人才，數(shù)學(xué)是他們從事專業(yè)工作的工具，學(xué)數(shù)學(xué)主要是為了解決工作中出現(xiàn)的具體問(wèn)題，這就決定了高職數(shù)學(xué)課程的工具性作用。高職數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以“理解概念、掌握方法”為核心，將計(jì)算器、數(shù)學(xué)軟件等現(xiàn)代信息技術(shù)引入課堂，教會(huì)學(xué)生運(yùn)用各種數(shù)表、計(jì)算器、數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算。允許并提倡學(xué)生在學(xué)習(xí)中使用計(jì)算機(jī)軟件或計(jì)算器簡(jiǎn)化運(yùn)算，使學(xué)生從復(fù)雜、繁瑣的計(jì)算中解放出來(lái)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，特別使運(yùn)算能力較差的學(xué)生也能順利完成這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。如不定積分的計(jì)算，讓學(xué)生掌握直接積分法、第一換元積分法，對(duì)于第二換元積分法、分布積分法只要理解其中原理，教會(huì)學(xué)生用計(jì)算機(jī)軟件、計(jì)算器計(jì)算，便于學(xué)生理解接受。借助于現(xiàn)代化教學(xué)技術(shù)，教學(xué)方法也可做些改革，可采用發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法、探究式教學(xué)法。例如，在講重要極限時(shí)，可讓學(xué)生根據(jù)極限定義，使用計(jì)算器，自主探究此函數(shù)極限。

（三）高職數(shù)學(xué)教學(xué)必須充分體現(xiàn)以應(yīng)用為目的，以“必需、夠用”為度，少而精的原則，結(jié)合專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容改革

按需決定數(shù)學(xué)內(nèi)容，注意在日常教學(xué)中突出數(shù)學(xué)與日常生活、科技的聯(lián)系，突出專業(yè)應(yīng)用性，突出培養(yǎng)人才的目的，并以此不斷強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。比如，直接選取與專業(yè)課、生活相關(guān)的習(xí)題，讓學(xué)生充分感受到微積分是分析現(xiàn)實(shí)世界的有力工具，體會(huì)微積分的力量。例如，講重要極限可補(bǔ)充連續(xù)復(fù)利的概念，推導(dǎo)連續(xù)復(fù)利的計(jì)算公式。講微分計(jì)算近似值時(shí)可補(bǔ)充核彈頭的相關(guān)計(jì)算，核彈頭是核武器的核心，利用微分學(xué)原理及其近似計(jì)算方法，能夠證明隨著核彈頭的爆炸能量的增加，并沒(méi)有使核武器的作用范圍和有效距離顯著增加，反而有所減弱，因此，核彈頭規(guī)格的設(shè)計(jì)不宜過(guò)大。核武器的威力主要取決于核彈頭爆炸時(shí)所釋放出的能量。核彈頭在與它的能量的立方根成正比的距離內(nèi)會(huì)產(chǎn)生0.3516kg/cm2的超高壓，該距離稱為有效距離，用D表示，單位為cm，x表示能量，單位為kg，則根據(jù)實(shí)驗(yàn)知其作用范圍為讓學(xué)生求出上述兩個(gè)函數(shù)當(dāng)x=100000，△x=1；x=1000000，△x=1的微分值即可說(shuō)明問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時(shí)結(jié)合專業(yè)，對(duì)經(jīng)濟(jì)專業(yè)的班級(jí)，補(bǔ)充與今后工作中大量接觸的利息、最小投入、最大收益、邊際分析等知識(shí)，讓學(xué)生更能體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的作用。

（四）提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)不僅培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思想方法，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。教學(xué)中可結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，補(bǔ)充數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)名題等，擴(kuò)充學(xué)生的知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。例如，講極限時(shí)，講“劉徽割圓”、莊子的“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”；講極限時(shí)，補(bǔ)充數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉的生平，講歐拉因?yàn)檫^(guò)度勞累，28歲時(shí)右眼失明，59時(shí)左眼也失明；在雙目失明后，仍靠口述完成了多篇論文，讓學(xué)生明白成功需要努力。通過(guò)數(shù)學(xué)家成功的故事，讓學(xué)生思考、規(guī)劃好自己的人生。講牛頓—萊布尼茲公式時(shí)，補(bǔ)充牛頓、萊布尼茲的故事，數(shù)學(xué)史上關(guān)于這個(gè)公式的爭(zhēng)議及影響兩個(gè)國(guó)家關(guān)系的趣事。這不僅擴(kuò)充了學(xué)生的知識(shí)，同時(shí)增加了課堂的趣味性、生動(dòng)性，讓學(xué)生樂(lè)學(xué)數(shù)學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

[1]彭厚富，等.從積分的應(yīng)用看積分學(xué)的改革[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),1997,(8).

[2]朱曉杰，等.注重應(yīng)用實(shí)例提高高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量與效果[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，（6）.

[3]王高峽，唐瑞芬.再談美國(guó)的微積分教學(xué)改革[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000，（11）.

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1672-5727（2010）02-0110-02

雷會(huì)榮（1971—），女，陜西大茘人，碩士，徐州財(cái)經(jīng)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校講師，研究方向?yàn)楦呗殧?shù)學(xué)教育。