孫明湘

(中南大學(xué)公共管理學(xué)院哲學(xué)系，湖南 長沙，410083)

一

排中律在傳統(tǒng)邏輯中，與同一律、矛盾律、充足理由律一道被稱為思維的基本準則，也稱形式邏輯的基本規(guī)律或元規(guī)律。它的含義是，兩個互相對立的思想不能都是假的，其中必有一個是真的?；蛘哒f，兩個互相對立的思想，不能都加否定，必須肯定其中一個?！皟蓚€互相對立的思想”是指兩個具有矛盾關(guān)系或下反對關(guān)系的命題，例如，“所有自然數(shù)都是整數(shù)”與“有些自然數(shù)不是整數(shù)”，這是一對矛盾關(guān)系的命題；“有些自然數(shù)是偶數(shù)”與“有些自然數(shù)不是偶數(shù)”這是一對下反對關(guān)系的命題。對于它們這兩對具有矛盾關(guān)系和下反對關(guān)系的命題，不可能都是假的，每一對命題中必有一個是真的。因此，當(dāng)我們在具體思維中，不能都加否定，必須肯定其中一個。既是思維的基本準則，自然要求在思維過程中被普遍遵循，不得違反。因而說它是普遍有效的，或者說，無論任何人，只要違反排中律，其思維就是混亂的，不合邏輯的，其邏輯錯誤稱模棱兩可或兩不可。這種普效性也稱直觀普效性。隨著現(xiàn)代經(jīng)典邏輯的誕生，邏輯規(guī)律都被公理化、形式化在一個邏輯系統(tǒng)內(nèi)，稱為系統(tǒng)內(nèi)定理，具有系統(tǒng)內(nèi)的普效性。排中律除作為形式系統(tǒng)要遵循的元規(guī)律外，還作為系統(tǒng)內(nèi)的定理而被形式化，比如在命題邏輯中表現(xiàn)為A∨?A，在一階謂詞邏輯中表現(xiàn)為(?x)(F(x)∨?F(x))，其普遍有效性也在系統(tǒng)內(nèi)被定義為：該公式是普遍有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，它在任意解釋下都是真的。排中律公式與系統(tǒng)內(nèi)其他定理也因此統(tǒng)稱為永真式或普遍有效式。定義中的“在任意解釋下為真”是有確定含義的，即在一階邏輯的語義模型理論中的任意解釋下為真。這個語義理論又是建立在下述基本原則或假定基礎(chǔ)上的：①外延性(與內(nèi)涵性相對，只考慮命題的外延即真值)；②二值性(與多值性相對，只考慮命題的真假二值，排中律即排除真假二值以外的第三中可能)；③個體域非空性(與空集相對，只考慮客觀存在的個體)；④實無窮性(與潛無窮相對，只考慮封閉的無窮集)。在滿足這四個假定條件下，我們說排中律具有直觀普效性或經(jīng)典邏輯內(nèi)的普效性。當(dāng)取消或修改其中任一假定，經(jīng)典邏輯則擴張或變異為非經(jīng)典邏輯，在非經(jīng)典邏輯的不同系統(tǒng)中，排中律的普效性受到挑戰(zhàn)。

二

以下分別給出非經(jīng)典邏輯中三值邏輯、內(nèi)涵邏輯、存在邏輯以及直覺主義邏輯幾個邏輯系統(tǒng)對經(jīng)典邏輯四假定之一的修正而導(dǎo)致排中律失效的實例。

1.多值邏輯是對經(jīng)典邏輯二值假定的修改，以三值邏輯為例，它認為：一個命題A，不僅具有真假(t，f)二值，而且還有第三個值(u)(u可解釋為不定、未知、可能等)，排中律的表現(xiàn)形式為A∨～A∨uA(也可表示為A∨?A，其否定詞?，既是對A的否定，也是對uA的否定，它與二值邏輯中的否定詞?具有不同的含義)，它表示一個命題要么是真的，要么是假的，要么是不確定的，例如，“或者火星上有生物，或者火星上沒有生物，或者火星上有無生物是不可判定的”，可用真值表判定[1](371)。A∨～A∨uA不是經(jīng)典邏輯中的永真式，因而不普遍有效。當(dāng)我們在三值邏輯(Bochvar三值系統(tǒng))中重新定義永真式，即一個公式是永真式(或普效式)，當(dāng)且僅當(dāng)對其變項的所有賦值，都不使該公式有假值。此時 A∨～A∨uA為三值邏輯中的永真式，我們可稱為排四律，意思是排除 t、f、u以外的第四種可能。由于排中律的效用范圍發(fā)生變化，作為排中律在三值邏輯中的表現(xiàn)形式在二值邏輯中失效(不是二值邏輯中的永真式)，而它在三值邏輯中仍然是有效的。一旦我們將第三值u看做是或者取真或者取假的值，A∨～A∨uA立即降為二值邏輯的永真式。由此我們可以有排五律，排六律，甚至排n律，在n≥3的多值邏輯系統(tǒng)內(nèi)，排中律都在其具體的系統(tǒng)內(nèi)有其表現(xiàn)形式，因而它在系統(tǒng)內(nèi)又都是普遍有效的。

2.對于修改外延性假定的邏輯系統(tǒng)，也統(tǒng)稱內(nèi)涵邏輯，它并未取消外延性假定，而是在外延性假定的基礎(chǔ)上又引入像“必然”、“知道”、“相信”、“允許”、“禁止”等語句算子為邏輯常項，以構(gòu)造模態(tài)邏輯、認知邏輯、道義邏輯等具體的內(nèi)涵邏輯。由于這類命題引入了內(nèi)涵性算子，其命題與該命題的否定在結(jié)構(gòu)上比外延性語句復(fù)雜的多，因此排中律可能失效。例如，在某個知道邏輯系統(tǒng)中，Kap∨Ka?p(Kap表示為a知道p)可理解為排中律在該系統(tǒng)中的表現(xiàn)形式，但它不是該系統(tǒng)中的定理，即排中律在此系統(tǒng)中無效，因為對某個認知主體a，命題“晨星是暮星”與其否定“晨星不是暮星”，他都不知道。當(dāng)然，在內(nèi)涵邏輯中并未完全拋棄外延性假定，因此，僅在外延語境(函項性原則、同一替換規(guī)則在其中適用的語境)中，排中律仍然有效。例如，在某知道邏輯系統(tǒng)中，Kap∨?Kap，Pap∨Pa?p(Pap表示在a的知識庫中，p是可能的)與Pap∨?Pap、Kap∨Pa?p等都是該系統(tǒng)中的定理；在模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)內(nèi)，排中律表現(xiàn)為 ?□p∨□p，◇?p∨□p，◇p∨?□p，◇p∨□?p等，它們也都是系統(tǒng)內(nèi)定理。但如果涉及到內(nèi)涵語境，即函項性原則和同一替換規(guī)則不適用的語境，排中律則無效，例如，盡管“晨星”和“暮星”事實上都是指同一顆星——金星，但某人a完全可能不知道金星是晨星(Kap假)，但卻知道金星是暮星(?Kap*假)，因此如果使用同一替換規(guī)則就導(dǎo)致了排中律 Kap∨?Kap*(p表示“金星=晨星”，p*表示“金星=暮星”)在內(nèi)涵語境中失效。

3.如果取消個體域非空的假定，即個體域為空集，則排中律失效。羅素給出的實例是“當(dāng)今的法國國王是禿子(p)”和“當(dāng)今的法國國王不是禿子(?p*)”都是假的，因為當(dāng)今的法國根本就沒有國王。但他認為這一排中律失效的疑難是可以化解的。他在他的摹狀詞理論或存在邏輯[2](34-40)中論述道：“當(dāng)今的法國國王不是禿子(?p*)”是對“當(dāng)今的法國國王是禿子(p)”的錯誤否定，而正確的否定應(yīng)該是“并非當(dāng)今的法國國王是禿子(?p)”，它等值于這樣一個命題：“或者當(dāng)今的法國國王不存在，或者當(dāng)今的法國國王不只一個，或者當(dāng)今的法國國王不是禿子”，在這種情況下，排中律并不失效，因為“當(dāng)今的法國國王是禿子(p)”與“并非當(dāng)今的法國國王是禿子(?p)”，這兩個命題不能都假，當(dāng)p假時，?p一定真。

4.真正對排中律構(gòu)成挑戰(zhàn)的是將經(jīng)典邏輯中的實無窮假定修改為潛無窮的直覺主義邏輯[3](273)。實無窮假定是將無窮視為實際存在的、已經(jīng)構(gòu)造完成的、可以認識的整體。正因為如此，我們才可以說，對于全域中的任一對象或者具有某性質(zhì)，或者不具有某性質(zhì)?；蛘哒f，任一命題及其否定不能都假，必有一真。而直覺主義邏輯中的潛無窮假定卻否認無窮是完成的、固定的實體，認為無窮是潛在的，處在不斷構(gòu)造過程中的、開放的、發(fā)展中的整體。另外，直覺主義邏輯對命題的真值做了不同于經(jīng)典邏輯中對命題真值的符合論解釋，它認為一個命題是真的，是指該命題有一個可構(gòu)造性的證明(簡稱可證)。例如，給出命題“存在一個自然數(shù)是奇素數(shù)”的可證性，就是在潛無窮的自然數(shù)中實際找到或能保證找到一個奇素數(shù)。排中律A∨?A，在直覺主義邏輯中即A可證或?A可證。但在直覺主義邏輯潛無窮假定下，A與其否定命題?A都可能不可證，即排中律失效(或A∨?A不是直覺主義邏輯中的定理)。例如，命題 A“所有人都會死”與?A“有些人不會死”都不可證。因為，在潛無窮的人的集合中，我們無法斷定所有人具有或不具有“會死”的性質(zhì)。具體說，欲證 A真，由于不能直接證明(若全稱命題A的主項是一歸納集合，可以運用數(shù)學(xué)歸納法證明其有性質(zhì)p)，試用反證法，先假定A假，即證?A真，也即證明“有些人不會死”，但在潛無窮域中，此命題亦不可證。由此A與?A都不可證，排中律無效。由此我們還可推論出反證法(經(jīng)典邏輯中的否定消去規(guī)則?－：若?A→B∧?B則A)在直覺主義邏輯中不成立。

三

以上論述說明，在經(jīng)典邏輯中普遍有效的排中律，在非經(jīng)典邏輯中未必有效。因為經(jīng)典邏輯是建立在上述四個假定或基本原則之上的。修改其中任一假定的非經(jīng)典邏輯都可能導(dǎo)致排中律在其中失效。正如馬克思主義哲學(xué)所說的：任何真理都是相對的，都有一定的適用范圍和條件，離開這一定的范圍或條件，真理也就向謬誤轉(zhuǎn)化。任何真理當(dāng)然也包括邏輯真理(邏輯中的重言式或普遍有效式即為邏輯真理)。作為邏輯真理的排中律也是如此。還需要強調(diào)的是，非經(jīng)典邏輯不論是在經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)上的擴張或是變異，都只是對經(jīng)典邏輯的局部修正，而不可能是根本修正。排中律也只是在某些非經(jīng)典邏輯中不是普效式，或者說只是能找到反例的可滿足式。仍以直覺主義邏輯為例，它所倡導(dǎo)和積極從事的直覺主義數(shù)學(xué)是對構(gòu)造性數(shù)學(xué)的重大貢獻，它從構(gòu)造性觀點出發(fā)，認為排中律雖然沒有被證明為真，但也沒有被證明會導(dǎo)致荒謬；它是一個不導(dǎo)致荒謬的命題。相反，誰要是說排中律荒謬，他便陷入荒謬，即布勞維爾的“排中律荒謬的荒謬(??(A∨?A))”。但布勞維爾絕對否定非構(gòu)造性數(shù)學(xué)則是錯誤的。構(gòu)造性數(shù)學(xué)和非構(gòu)造性數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的兩個方面，都是關(guān)于世界的形式方面的認識，布氏片面強調(diào)構(gòu)造性，比如導(dǎo)致他接受潛無窮立場和拒絕對無窮集合使用排中律，結(jié)果不得不舍棄古典數(shù)學(xué)中的大部分寶藏。這是對數(shù)學(xué)的很大傷害。正如真理具有相對性也具有絕對性一樣，排中律的有效性除了上述所分析的相對性外，也具有絕對性，即在它所適用的范圍內(nèi)，“任意兩個對立的思想(一個思想與其否定)都不能為假，必有一真”這一排中律的內(nèi)容又是無條件的。這種用自然語言描述的，非形式化的，作為思維基本規(guī)律的排中律，還廣泛應(yīng)用于元邏輯的研究(通常以有窮性作為研究方法或工具)，例如，在討論一邏輯系統(tǒng)的完全性時，其古典完全性指對于任一公式A而言，或者A是可證的，或者?A是可證的。其語義完全性是指對于任一公式A，如果A是普遍有效的，則A是該系統(tǒng)中可證的；如果A不是普遍有效的，則?A是可滿足的。顯然，這都是對排中律的具體應(yīng)用?？傊?，排中律的普效性是相對性與絕對性的辨證統(tǒng)一。

[1]S.C.克林.元數(shù)學(xué)導(dǎo)論·下冊[M].北京: 科學(xué)出版社,1984.

[2]陳波.邏輯哲學(xué)[M].北京: 北京大學(xué)出版社,2005.

[3]張家龍.數(shù)理邏輯發(fā)展史[M].北京: 社會科學(xué)文獻出版社,1993.