張洛花,田 巍,黃戰(zhàn)峰

(河南城建學(xué)院,河南平頂山467036)

0 引言

可靠控制[1]是指在設(shè)計(jì)控制器時(shí)將系統(tǒng)部件(如執(zhí)行器和傳感器)可能發(fā)生故障的情形考慮在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,使得某些部件發(fā)生故障時(shí)系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。目前,關(guān)于可靠控制的研究已取得不少成果。王福忠等[2]根據(jù)修正的Lyapunov方程和LMI理論,研究了線性系統(tǒng)魯棒區(qū)域穩(wěn)定的可靠控制問題。文獻(xiàn)[3]討論了在區(qū)域極點(diǎn)和狀態(tài)方差約束下動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的可靠控制問題。針對(duì)一類不確定線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[4]研究了區(qū)域極點(diǎn)約束下的魯棒可靠控制器的設(shè)計(jì)方法。但目前基于Delta算子系統(tǒng)可靠控制的研究還不多見。

基于傳統(tǒng)的移位算子模型的可靠控制方法,在采樣周期很小時(shí)將會(huì)引起病態(tài)條件問題。Delta算子[5]作為一種統(tǒng)一的模型描述形式,既避免了Z變換引起的數(shù)值不穩(wěn)定問題,又使得傳統(tǒng)的連續(xù)域設(shè)計(jì)方法可直接用于離散域設(shè)計(jì),在系統(tǒng)控制和信號(hào)處理領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。張端金等[6]研究了Delta算子不確定系統(tǒng)在多指標(biāo)約束下的魯棒H∞控制問題。文獻(xiàn)[7]討論了狀態(tài)不確定Delta算子系統(tǒng)的D穩(wěn)定魯棒容錯(cuò)控制問題。肖民卿[8]在傳感器故障為連續(xù)模型的基礎(chǔ)上,研究了Delta算子系統(tǒng)D穩(wěn)定可靠控制問題。

本文采用更一般的執(zhí)行器連續(xù)故障模型,研究Delta算子不確定系統(tǒng)同時(shí)在區(qū)域極點(diǎn)和H∞范數(shù)界約束下的可靠控制問題。

1 問題描述

考慮Delta算子不確定線性系統(tǒng)

其中：δ即Delta算子,定義為δ=(q-1)/T,式中T為采樣周期,q為前向移位算子;x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量。u(t)∈Rm為控制變量;w(t)∈Rl為干擾信號(hào);z(t)∈Rp為控制輸出;A,B,G,C為適當(dāng)維數(shù)的已知定常矩陣;△A,△B為系統(tǒng)不確定性,具有形式如下：[△A △B]=DF[E1E2],其中D,E1,E2為已知定常矩陣,表示系統(tǒng)不確定性的結(jié)構(gòu)信息,F為滿足FTF≤I的適當(dāng)維數(shù)的不確定性參數(shù)矩陣,I為單位矩陣。

引入狀態(tài)反饋u(t)=Kx(t),考慮到執(zhí)行器可能失效的情況,引入表示執(zhí)行器連續(xù)故障的矩陣M,并把其放在狀態(tài)反饋增益矩陣K和輸入矩陣B之間,其形式為M=diag(m1,m2,…,mp),其中：0≤mli≤mi≤mui。顯然,當(dāng)mi=0時(shí),表示第i個(gè)執(zhí)行器完全失效;當(dāng)mi=1時(shí),表示第i個(gè)執(zhí)行器正常工作;當(dāng)0≤mli≤mi≤mui且mi≠1時(shí),第i個(gè)執(zhí)行器部分失效;引入如下矩陣：

MO=diag(m01,m02,…,m0p),J=diag(j1,j2,…,jp),

L=diag(l1,l2,…,lp),|L|=diag(|l1|,|l2|,…,|lp|),

其中：

由此可知

含執(zhí)行器故障的Delta算子閉環(huán)系統(tǒng)可表示為

其中：Ac=A+BMK+DF(E1+E2MK)。

對(duì)于Delta算子系統(tǒng),穩(wěn)定性要求系統(tǒng)所有極點(diǎn)都在γ平面的圓形區(qū)域D(-1/T,1/T)內(nèi),即以(-1/T,0)為中心,1/T為半徑的圓內(nèi)。

為簡(jiǎn)便計(jì)算,引入記號(hào)

引理1[9]矩陣A的所有特征根位于圓盤D(a,r)內(nèi),當(dāng)且僅當(dāng)存在正定對(duì)稱矩陣P滿足

由引理1我們可推得如下定義：

定義1 Delta算子描述的故障閉環(huán)系統(tǒng)⑵狀態(tài)反饋二次可D魯棒容錯(cuò)鎮(zhèn)定(即λ(Ac)?D(a,r)),當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱正定矩陣P滿足

引理2[10]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣X,F,Y,其中F是對(duì)稱的,則F+XHY+YTHTXT＜0對(duì)所有滿足HTH≤I矩陣H成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε＞0使得F+ε XXT+ε-1YTY＜0。

引理3[6](Delta算子界實(shí)引理)考慮線性系統(tǒng)Twz(γ)的[C Abr]能檢測(cè)實(shí)現(xiàn)

如果存在對(duì)稱矩陣P≥0和實(shí)數(shù)γ1＞0使得

則Abr穩(wěn)定且‖Twz(γ)‖∞=‖C(γ I-Abr)-1G‖∞≤γ1。

本文目的是：對(duì)于任意執(zhí)行器失效情況M,求解狀態(tài)反饋控制增益K,使得Delta算子系統(tǒng)(2)對(duì)所有容許的不確定性△A,△B,同時(shí)滿足下列指標(biāo)約束：

(a)對(duì)所有可能的連續(xù)故障M,Delta算子系統(tǒng)⑵的所有極點(diǎn)位于以(a,0)為圓心、r為半徑的圓形區(qū)域D(a,r)內(nèi),即λ(Ac)?D(a,r)。

(b)從擾動(dòng)輸入w(t)到控制輸出z(t)的傳遞函數(shù)Twz(γ)的H∞范數(shù)滿足‖Twz(γ)‖∞=‖C(γ IAc)-1G‖∞＜γ1,其中：γ1＞0是一給定的常數(shù).Twz(γ)的H∞范數(shù)定義為

‖Twz(γ)‖∞=式中,σmax(?)表示矩陣最大奇異值,v∈L2定義為‖v(t)‖2=[S∞t=0v(t)Tv(t)dt]1/2＜∞,其中：S∞t表示連續(xù)情形的Riemann積分或離散情形的Riemann求和運(yùn)算。

2 主要結(jié)果

定理1 考慮Delta算子不確定故障系統(tǒng)⑵,對(duì)于任意執(zhí)行器失效情況M,存在狀態(tài)反饋增益K,使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足條件(a)約束的充分條件是存在正定對(duì)稱矩陣P及正實(shí)數(shù)ε1,使得下面矩陣不等式有解。

證明：由引理1和Schur補(bǔ)定理可知,Delta算子系統(tǒng)⑵滿足區(qū)域極點(diǎn)配置(即λ(Ac)?D(a,r)),當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱正定矩陣P滿足

其中：Acr=Aa+BrMK+DrF(E1+E2MK)。

將式⑷展開可得

對(duì)式(5)進(jìn)行分解,并令

則式(5)等價(jià)于

因?yàn)镕TF≤I,所以由引理2知式⑹成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)ε1＞0使得

根據(jù)引理1可知上式等價(jià)于式⑶,定理1得證。

定理2 對(duì)于任意執(zhí)行器失效情況M,存在狀態(tài)反饋增益K使Delta算子不確定故障系統(tǒng)(2)穩(wěn)定且滿足‖Twz(γ)‖∞≤γ1約束的充分條件是存在正定對(duì)稱矩陣P及正實(shí)數(shù)ε2,使得下面矩陣不等式組有解。

證明：由定義1和引理3可知,Delta算子系統(tǒng)(2)穩(wěn)定且滿足‖Twz(γ)‖∞≤γ1約束則需存在正定對(duì)稱矩陣P1滿足下面矩陣不等式

把式⑽展開可得

由引理2可知,式(11)等價(jià)于式(8)(具體推導(dǎo)過程與定理1類似),定理2得證。

定理3 對(duì)于任意執(zhí)行器失效情況M,如果存在正定對(duì)稱矩陣X,矩陣Y以及正實(shí)數(shù)ε1,ε2,ε3,ε4使得下面線性矩陣不等式組有可行解

則Delta算子不確定系統(tǒng)(2)同時(shí)滿足約束條件(a)和(b)。狀態(tài)反饋控制增益K=YX-1即為所要求的可靠控制律。其中：

證明：由定理1和定理2可知,要使Delta算子不確定系統(tǒng)(2)同時(shí)滿足約束條件(a),(b),則需存在正定對(duì)稱矩陣及正實(shí)數(shù)ε1,ε2,同時(shí)滿足矩陣不等式(3)、(8)和(9)。由于定理1和定理2中的P、K是非線性的形式存在的,要直接從以上矩陣不等式中計(jì)算出P和K是非常困難的。因此,要通過變量替換的方法將非線性矩陣不等式化解為線性矩陣不等式來求解,并將故障模型化為連續(xù)故障模型的形式。

由于故障M為連續(xù)故障,即M=MO(I+L),我們將該式代入到式(3)可得

令

則式(15)等價(jià)于

又因?yàn)閨L|≤J≤I,所以,由引理2知上式成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)ε3＞0使得

即

由Schur補(bǔ)定理可知,式⒄等價(jià)于

將式⒅分別左乘右乘diag(I,P-1,I,I)可得

同理,將式M=MO(I+L)代入式⑻可得

令

則式⒇等價(jià)于

又因?yàn)閨L|≤J≤I,所以,由引理2知上式成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)ε4＞0使得

先利用Schur補(bǔ)定理,再對(duì)式子分別左乘右乘diag(I,P-1,I,I,I)然后令X=P-1,Y=KX,N2=則式(22)可化簡(jiǎn)為式(14)。令X=P-1代入式(9),則式(9)等價(jià)于式(13)。

因此,若存在正定對(duì)稱矩陣X和矩陣Y以及正實(shí)數(shù)ε1,ε2,ε3,ε4為關(guān)于變量(X,Y,ε1,ε2,ε3,ε4)的線性矩陣不等式組(12～14)的可行解,則由此求得的狀態(tài)反饋控制增益K,不僅使得Delta算子系統(tǒng)(2)滿足區(qū)域極點(diǎn)指標(biāo)約束,而且滿足H∞性能指標(biāo)約束,即‖Twz(γ)‖∞≤γ1。

3 數(shù)值仿真

考慮Delta算子系統(tǒng)(2)的參數(shù)為：

取圓形區(qū)域?yàn)镈(a,r)=D(-15,15),采樣周期T=0.05s。

通過直接計(jì)算可知

利用MATLAB-LMI工具箱中的求解器feasp,求解定理3中關(guān)于變量(X,Y,ε1,ε2,ε3,ε4)的線性矩陣不等式組(12～14),得其可行解為：

并由K=YX-1,可求得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣為：

由此可見,在執(zhí)行器故障為連續(xù)故障模型下,通過求解定理3中的LMI組可以求得一個(gè)控制器,使得系統(tǒng)(2)保持穩(wěn)定并且同時(shí)滿足區(qū)域極點(diǎn)指標(biāo)和H∞范數(shù)指標(biāo)約束;由于是在更一般的故障模型下得到的,所以所得結(jié)果具有更小的保守性。

4 結(jié)論

本文基于連續(xù)故障模型,研究了一類Delta算子描述的不確定系統(tǒng)在區(qū)域極點(diǎn)約束下的H∞可靠控制問題。我們可以利用MATLAB-LMI工具箱得到同時(shí)滿足圓形區(qū)域極點(diǎn)和H∞性能指標(biāo)約束的魯棒可靠控制器。由于采用的是更切合實(shí)際的連續(xù)故障模型,所得的結(jié)果不僅可以處理執(zhí)行器完全失效時(shí)的情形,還可以處理其部分失效時(shí)的情形,從而降低了控制器設(shè)計(jì)的保守性。但定理3中可行解的存在性與所選取的性能指標(biāo)有密切聯(lián)系,需在可行范圍內(nèi)才有解,所以本文的結(jié)論還存在一定的局限性,有待進(jìn)一步改進(jìn)。

[1] Veillette R J,Medanic J V,PerkinsW R.Design of reliable control system[J].IEEE Trans on Automatic Control,1992,37(3)：770-784.

[2] 王福忠,姚波,張嗣瀛.線性系統(tǒng)區(qū)域穩(wěn)定的可靠控制[J].控制理論與應(yīng)用,2004,21(5)：835-839.

[3] 張剛,韓祥蘭,王執(zhí)銓.極點(diǎn)與狀態(tài)方差約束下的動(dòng)態(tài)輸出反饋可靠控制[J].控制與決策,2007,22(3)：289-293.

[4] 費(fèi)為銀,丁德銳,夏登峰.不確定系統(tǒng)D穩(wěn)定的魯棒H∞可靠性控制[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2007,19(8)：1772-1775.

[5] Middleton R H,Goodwin G C.Improved finite word length characteristics in digital control using delta operator[J].IEEE Trans.Automat.Contr.,1986,31(11)：1015-1021.

[6] 張端金,王忠勇,吳捷.Delta算子不確定系統(tǒng)的多目標(biāo)魯棒H∞控制[J].控制與決策,2003,18(2)：164-168.

[7] 劉滿,井元偉,張嗣瀛.Delta算子系統(tǒng)D穩(wěn)定魯棒容錯(cuò)控制[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2004,25(8)：715-718.

[8] 肖民卿.傳感器有故障的Delta算子線性不確定系統(tǒng)的魯棒D穩(wěn)定[J].控制理論與應(yīng)用,2009,26(2)：183-185.

[9] 張端金,吳捷,楊成梧.Delta算子系統(tǒng)圓形區(qū)域極點(diǎn)配置的魯棒性[J].控制與決策,2001,16(3)：337-340.

[10] Khargonekar P P,Petersen I R,Zhou K.Robust stabilization of uncertain linear systems：quadratic stabilizability and H∞control theory[J].IEEE Trans Automatic Control,1990,35(3)：356-361.