劉向遠(yuǎn),梅忠義,張穗萌

(1.皖西學(xué)院數(shù)理系,安徽六安237012;

2.合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院,安徽合肥230009)

1 復(fù)擺模型

圖1所示的模型是一種鐘擺式復(fù)擺,當(dāng)支點(diǎn)確定后,整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心可以隨圖中擺錘M的移動(dòng)而變化.O點(diǎn)是整個(gè)裝置的支點(diǎn),O點(diǎn)以上部分為菱形支架,O點(diǎn)以下為帶有刻度的直桿,其長(zhǎng)度為L(zhǎng),桿上套有可移動(dòng)的圓柱形擺錘M并以桿為對(duì)稱(chēng)軸,其質(zhì)量為m,半徑為R.通過(guò)調(diào)節(jié)擺錘M,當(dāng)擺錘質(zhì)心在B點(diǎn)距支點(diǎn)O為x0時(shí),系統(tǒng)質(zhì)心正好位于O點(diǎn),此時(shí),系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0.

圖1 可變質(zhì)心復(fù)擺模型

設(shè)擺錘質(zhì)心在直桿上離開(kāi)支點(diǎn)O的距離為x,當(dāng)擺角小于5°時(shí),復(fù)擺的周期公式為

能夠證明T隨x在(x0,∞)區(qū)間內(nèi)變化存在極小值[1-2].對(duì)于不同質(zhì)量m的擺錘,T隨x變化的曲線如圖2所示.在實(shí)驗(yàn)室條件下,如果未知此復(fù)擺的有關(guān)參數(shù),要求快速、準(zhǔn)確地尋找到它的極值點(diǎn)位置,可以采用一維精確搜索法來(lái)優(yōu)選極值點(diǎn).

圖2 復(fù)擺周期T隨x變化的曲線

2 用“0.618”法、Fibonacci法、拋物線法搜尋復(fù)擺周期極值點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)方法

2.1 “0.618”法與Fibonacci法的基本思想

“0.618”法和Fibonacci法屬于一維精確搜索法中的分割法,這2種方法的基本思想是[3]:在已知的初始區(qū)間[a0,b0]內(nèi),選定兩個(gè)新的內(nèi)點(diǎn)ak,bk,然后測(cè)出ak和bk對(duì)應(yīng)的周期Tk和Tk′,并比較Tk與Tk′的大小,采取舍大取小的原則,舍去Tk與Tk′中對(duì)應(yīng)的較大的內(nèi)點(diǎn)以外的點(diǎn),保留較小的內(nèi)點(diǎn),由此建立新的搜索區(qū)間,在新的搜索區(qū)間內(nèi)再選取新的內(nèi)點(diǎn),重復(fù)以上的比較過(guò)程.按照這樣的步驟重復(fù)循環(huán),逐步縮小搜索區(qū)間,直到達(dá)到所要求的區(qū)間范圍,并且取最后區(qū)間端點(diǎn)的平均值作為極小周期點(diǎn)的位置.

2.2 “0.618”法與Fibonacci法的不同點(diǎn)

“0.618”法與Fibonacci法在確定新的內(nèi)點(diǎn)時(shí)有區(qū)別:“0.618”法確定新內(nèi)點(diǎn)所取區(qū)分系數(shù)r=0.618,為恒定值.因此

這樣,兩種方法在縮小搜索區(qū)間上有所不同,“0.618”法每次縮短搜索區(qū)間的長(zhǎng)度為38.4%,而Fibonacci法縮短搜索區(qū)間的長(zhǎng)度由1-rk來(lái)確定,是變化的.

另外,Fibonacci法中的區(qū)分系數(shù)還必須根據(jù)要求縮小的區(qū)間長(zhǎng)度來(lái)確定Fn.假設(shè)要求將極值點(diǎn)xmin縮短到長(zhǎng)度為l的區(qū)間內(nèi),則

此時(shí),取Fn在Fibonacci數(shù)列中滿(mǎn)足條件的最小整數(shù),并由此確定n值[4].當(dāng)區(qū)分系數(shù)為時(shí),應(yīng)該加上或減去很小的數(shù)值,本實(shí)驗(yàn)減去0.02.

2.3 搜尋復(fù)擺極值點(diǎn)的拋物線法

拋物線法又叫三點(diǎn)二次插值法,它是通過(guò)已知區(qū)間內(nèi)的三點(diǎn)構(gòu)造二次函數(shù)來(lái)逼近已知函數(shù)極小值的方法.如果要求將復(fù)擺的極小周期Tmin的位置xmin通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法縮小到l范圍內(nèi),設(shè)L=b0-a0,則取復(fù)擺公式的初始區(qū)間[a0,b0]內(nèi)三點(diǎn)x1

3 搜尋復(fù)擺周期極值點(diǎn)

下面采用計(jì)算機(jī)采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[8],并結(jié)合復(fù)擺的T-x曲線來(lái)研究“0.618”法、Fibonacci法、拋物線法搜索復(fù)擺極值點(diǎn)的情況.

取復(fù)擺的初始區(qū)間[0,1],則區(qū)間長(zhǎng)度L=1.000 0 m,要求將搜索區(qū)間縮小到可以接受的的范圍l≤0.020 m,則采用Fibonacci法時(shí),得Fn>50,由Fibonacci數(shù)列知n=10,F10=55.表1為用“0.618”法測(cè)得的10組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),表2為Fibonacci法測(cè)得的9組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),表3為拋物線法測(cè)得的4組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

圖3是根據(jù)表1,“0.618”法測(cè)得數(shù)據(jù)的9個(gè)區(qū)間端點(diǎn)在T-x曲線上的位置以及趨近于極值點(diǎn)的情況.圖中從左到右第6個(gè)點(diǎn)為極值點(diǎn).此時(shí)復(fù)擺的極值點(diǎn)位置xmin=0.457 4 m,極小周期T=2.005 57 s.

圖4是根據(jù)表2,Fibonacci法測(cè)得數(shù)據(jù)的8個(gè)區(qū)間端點(diǎn)在T-x曲線上的位置以及趨近于極值點(diǎn)的情況.從圖中看,從左到右第5個(gè)點(diǎn)為極值點(diǎn),其中第5和第6個(gè)點(diǎn)因?qū)嶒?yàn)值相近,重疊在一起.此時(shí)復(fù)擺的極值點(diǎn)位置xmin=0.455 4 m,極小周期Tmin=2.005 54 s.

圖5是根據(jù)表3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),其中7個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在T-x曲線上趨近于復(fù)擺極值點(diǎn)的情況,從左至右,第5個(gè)點(diǎn)即為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的極值點(diǎn),與第4個(gè)點(diǎn)靠得很近.此時(shí),取Tmin=2.005 53 s,xmin==0.454 5 m.

表1 “0.618”法搜尋復(fù)擺極值點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表2 Fibonacci法搜尋復(fù)擺極值點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表3 拋物線法搜尋復(fù)擺極值點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖3 “0.618”法搜索復(fù)擺極值點(diǎn)的情況

圖4 Fibonacci法搜索復(fù)擺極值點(diǎn)的情況

由以上結(jié)果可以看出:

1)以上實(shí)驗(yàn)中,按實(shí)驗(yàn)要求,“0.618”法用了15次測(cè)量(不包括重復(fù)數(shù)據(jù)點(diǎn)),Fibonacci法用了17次測(cè)量.由于在“0.618”法的內(nèi)點(diǎn)中出現(xiàn)了較多的重復(fù)數(shù)據(jù),使得“0.618”法比Fibonacci法的測(cè)量次數(shù)較少.由此可見(jiàn),盡管從理論上講Fi-犫狅狀犪犮犮犻法比“0.618”法收斂速度快,但是由于受到實(shí)驗(yàn)條件的影響,實(shí)際情況并非如此.

圖5 拋物線法搜尋復(fù)擺極值點(diǎn)的情況

2)Fibonacci法搜索復(fù)擺極值點(diǎn)比“0.618”法精度高.以上實(shí)驗(yàn)中,這2種方法都通過(guò)第8組數(shù)據(jù)比較后,即8次搜索后,Fibonacci法將搜索區(qū)間長(zhǎng)度縮小到0.018 9 m,而“0.618”法將搜索區(qū)間長(zhǎng)度縮小到0.021 3 m.因此,采用實(shí)驗(yàn)的方法搜尋復(fù)擺的極值點(diǎn),從搜索精度來(lái)看,Fibonacci法比“0.618”法較高,但從搜尋速度上看Fibonacci法并非占優(yōu)勢(shì).

3)拋物線法搜尋復(fù)擺極值點(diǎn)比“0.618”法和Fibonacci法速度較快且精度較高.從以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出,拋物線法經(jīng)過(guò)7次測(cè)量和4組數(shù)據(jù)的比較就可以將最小周期點(diǎn)位置縮小到l=0.015 5 m范圍內(nèi).

4 結(jié)束語(yǔ)

“0.618”法、Fibonacci法和拋物線法都屬于最優(yōu)化方法中的一維精確搜索法,在實(shí)驗(yàn)中將這些方法應(yīng)用于物理學(xué)中復(fù)擺的極值點(diǎn)搜尋,拋物線法較“0.618”法和Fibonacci法效果好,測(cè)量次數(shù)少,而且精度較高;使用Fibonacci法較“0.618”法在搜尋精度上有較好的提高,但是在搜尋速度上并不占優(yōu)勢(shì).不僅如此,還可以用這些方法搜尋物理學(xué)中其他單值單峰的極值點(diǎn)問(wèn)題,在具體應(yīng)用這些方法時(shí)適當(dāng)?shù)貞?yīng)用它們的優(yōu)點(diǎn),有利于得到需要的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

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