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        淺談直角坐標(biāo)系的建立

        2010-01-26 03:37:58范曉波
        物理通報(bào) 2010年3期
        關(guān)鍵詞:未知量坐標(biāo)軸扶梯

        范曉波

        (靖江季市中學(xué) 江蘇 靖江 214523)

        正交分解法以退為進(jìn),將求解一般三角形的過程轉(zhuǎn)化為求解直角三角形的過程,是處理多力平衡問題及多力產(chǎn)生加速度問題的常用方法.運(yùn)動(dòng)的分解可以將一個(gè)復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)變成兩個(gè)簡(jiǎn)單直線運(yùn)動(dòng)的疊加,是處理勻變速曲線運(yùn)動(dòng)的基本方法之一.這兩種方法中都涉及到直角坐標(biāo)系的建立;建立的方法不同,實(shí)際運(yùn)算過程有很大差異.那么,該如何確定直角坐標(biāo)系的最佳建立方案呢?下面分別對(duì)正交分解法和運(yùn)動(dòng)的分解中坐標(biāo)系建立的原則進(jìn)行說明.

        1 正交分解法中坐標(biāo)系的建立

        1.1 正交分解法處理多力平衡問題

        建立直角坐標(biāo)系應(yīng)注意:(1)讓盡可能多的力落在坐標(biāo)軸上;(2)盡量不分解未知力.

        注意(1)可以最大限度地減少需要分解的力的個(gè)數(shù),達(dá)到減少運(yùn)算過程的目的;注意(2)能避免未知量后面帶“小尾巴”(指sinθ或cosθ),可降低中間運(yùn)算的難度.

        【例1】一個(gè)傾角為θ(90°>θ>0°)的光滑斜面固定在豎直的光滑墻壁上. 一質(zhì)量為m鐵球在水平推力F作用下靜止于墻壁與斜面之間,且推力的作用線通過球心,如圖1所示.求斜面與墻壁對(duì)鐵球的彈力大小分別是多少.

        圖1

        分析:鐵球受四個(gè)外力作用且處于靜止?fàn)顟B(tài),屬多力平衡問題,可運(yùn)用正交分解法處理;在軸坐標(biāo)沿水平方向時(shí)僅需分解一個(gè)外力,運(yùn)算過程簡(jiǎn)單.

        解:鐵球受力如圖2.建立直角坐標(biāo)系xOy,由平衡條件可得

        圖2

        解得

        說明:選擇直角坐標(biāo)系的建立方法時(shí),應(yīng)對(duì)照原則綜合考慮,而且注意(1)優(yōu)先于注意(2),即在注意(1)滿足的前提下再考慮原注意(2).

        1.2 正交分解法處理多力產(chǎn)生加速度的問題

        建立直角坐標(biāo)系應(yīng)注意:(1)讓加速度和盡可能多的力落在坐標(biāo)軸上;(2)坐標(biāo)軸指向與加速度方向趨于相同;(3)盡量不分解未知量.

        在這類問題中,建立直角坐標(biāo)系時(shí)需要考慮的因素略多.首先,加速度是矢量,同樣可以按需要進(jìn)行分解,為了簡(jiǎn)化分解過程,應(yīng)該把它也考慮進(jìn)去;其次,坐標(biāo)軸指向就是該方向上所有矢量的正方向,如果坐標(biāo)軸指向與相應(yīng)的加速度分量方向相反,必須在含加速度分量的一項(xiàng)前加一個(gè)負(fù)號(hào),否者就會(huì)在矢量性上犯錯(cuò)誤.最后,為了降低了中間運(yùn)算的難度,要考慮避免未知量后面帶“小尾巴”.

        【例2】自動(dòng)扶梯與水平方向成θ角,梯上站一質(zhì)量為m的人.當(dāng)扶梯以加速度a勻加速上升時(shí),人相對(duì)于扶梯靜止,求人受到的支持力和摩擦力.

        分析:人受力如圖3,可以看出這是一個(gè)多力產(chǎn)生加速度的問題,應(yīng)該用正交分解法解決.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,只需要分解加速度,而且沒有分解未知量,計(jì)算過程最簡(jiǎn)單.

        圖3

        解:人受力如圖,由牛頓第二定律得

        解得

        支持力方向豎直向上,摩擦力方向水平向右.

        說明:若按傳統(tǒng)方法,x軸沿扶梯(不是扶梯臺(tái)階表面)向上,y軸垂直扶梯向上,F(xiàn)f、FN均需分解,后面的運(yùn)算過程比較麻煩.

        【例3】如圖4,當(dāng)升降機(jī)以加速度a勻加速下降時(shí),物體A相對(duì)于斜面靜止,已知物體A的質(zhì)量為m,斜面的傾角為θ,求此時(shí)物體A受到的支持力和摩擦力大小.

        圖4

        分析:物體受力如圖5,同樣屬于多力產(chǎn)生加速度的問題,應(yīng)該用正交分解法解決.按照注意(1)、(2),可用的直角坐標(biāo)系建立方式仍有兩種.

        在圖6中,支持力和靜摩擦力需要分解,但它們本身就是未知量,分解后分量表達(dá)式中分別含θ的正弦函數(shù)和余弦函數(shù),后續(xù)的數(shù)學(xué)計(jì)算有一點(diǎn)難度.

        圖5

        圖6

        在圖7中,重力和加速度需要分解.由于它們和θ均為已知量,分解后分量仍未已知量,無需進(jìn)行其它計(jì)算,數(shù)學(xué)處理過程較為方便,即對(duì)照注意(2),選擇第二種建立直角坐標(biāo)系的方式最佳.

        圖7

        解:物體受力如圖,由牛頓第二定律得

        解得

        說明:按注意(3)建立直角坐標(biāo)系,可以最大限度簡(jiǎn)化計(jì)算過程,達(dá)到低強(qiáng)度、高效率,同時(shí)正確率也有了保障.

        3 運(yùn)動(dòng)的分解中坐標(biāo)系的建立

        建立直角坐標(biāo)系應(yīng)注意:(1)分運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)盡可能簡(jiǎn)單;(2)有利于待求問題的展開和討論.

        利用運(yùn)動(dòng)的分解解決勻變速曲線運(yùn)動(dòng)問題時(shí),坐標(biāo)系的建立應(yīng)仔細(xì)推敲,有時(shí)候需要打破常規(guī),另辟蹊徑.

        【例4】如圖8所示,長斜面OA的傾角為θ,放在水平地面上.現(xiàn)從頂點(diǎn)O以速度v0平拋一小球,不計(jì)空氣阻力,求小球在飛行過程中離斜面的最大距離s.

        圖8

        分析:小球做平拋運(yùn)動(dòng),如果仍將x軸沿水平方向,y軸沿豎直方向,很難寫出某一時(shí)刻球與斜面間距離的表達(dá)式,更加無法分析何時(shí)該距離最大.為了有利于問題展開,本題可將x軸沿斜面方向,則球與斜面間距離就變成了小球在y軸方向的位移大小.

        解:按圖示直角坐標(biāo)系分解平拋運(yùn)動(dòng),x方向的分運(yùn)動(dòng)為初速度是v0cosθ、加速度是gsinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng);y方向是初速度是v0sinθ、加速度是gcosθ的勻減速直線運(yùn)動(dòng).

        當(dāng)垂直于斜面的分速度vy減小為零時(shí),y方向的位移最大,即球離斜面的距離最大.所以

        說明:學(xué)物理不能墨守成規(guī),在掌握常規(guī)方法的基礎(chǔ)上還要能夠根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)變通,這樣,才可以不斷提高自己的思維能力.

        有些問題中,雖然研究物體做直線運(yùn)動(dòng),但考慮到解題的方便,也可以考慮利用運(yùn)動(dòng)的分解處理.這時(shí)候,同樣需要考慮直角坐標(biāo)系的建立方法.

        【例5】一個(gè)質(zhì)量為m的帶負(fù)電小球處在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中,某時(shí)刻將它以初速度v0從A點(diǎn)射出,且初速度v0與水平方向成θ角.一段時(shí)間后小球沿直線到達(dá)最高點(diǎn)B,如圖9所示.求小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中電勢(shì)能的變化量.

        圖9

        分析:電場(chǎng)力、重力均為恒力,合外力必定是恒力,小球做勻變速直線運(yùn)動(dòng).由于電勢(shì)能變化量可用電場(chǎng)力做功來量度,因此電場(chǎng)力應(yīng)盡量單獨(dú)保留,不要分解或與其他力合成.可以建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,將實(shí)際的直線運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻減速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng).

        對(duì)x方向的分運(yùn)動(dòng)使用動(dòng)能定理得

        WF=-ΔEp

        所以

        說明:運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解解決此題要比直接對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律或功能關(guān)系處理簡(jiǎn)單得多.這是對(duì)傳統(tǒng)觀念的一種突破,值得認(rèn)真研究,仔細(xì)體會(huì),以掌握該處理思想的精髓.

        從上面幾道例題的分析中可以看出,直角坐標(biāo)系建立得是否恰當(dāng),對(duì)解題過程有著重要的影響,因此,在運(yùn)用正交分解法或運(yùn)動(dòng)的分解處理問題前,一定要結(jié)合實(shí)際,仔細(xì)推敲,找出最佳的建立方案,用自己的智慧讓解題過程變得輕松有趣,讓物理的學(xué)習(xí)過程變成一種享受!

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