張 旭 陳萬平 王佐臣 孫 超

(曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院 山東 曲阜 273165)

數(shù)學(xué)物理方法是一門公認(rèn)的難度較大的課程[1]，教師普遍感到難教，學(xué)生感到難學(xué).究其原因主要是該課程數(shù)學(xué)公式多、難記憶，公式的推導(dǎo)多，語言講解相對(duì)于其他課程較少[2].另外，數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)如果僅限于教師在黑板上推導(dǎo)公式，讓學(xué)生記住一些公式、定理，考試時(shí)代入公式計(jì)算出結(jié)果，這樣更容易讓學(xué)生感到疲倦、厭學(xué)，很難有較好的教學(xué)效果.針對(duì)以上問題，我們給出提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方法興趣的幾條建議.

1 創(chuàng)設(shè)問題情境

這時(shí)再啟發(fā)學(xué)生考慮用殘數(shù)定理求解，留給他們時(shí)間讓其思考求解的辦法，然后共同建立模型求出積分.這樣學(xué)生會(huì)有山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村的感覺，從而對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)留下深刻印象，知道在實(shí)數(shù)中很難計(jì)算的積分是怎樣在復(fù)積分中得以解決的.以后學(xué)生遇到在實(shí)積分中難以完成的積分時(shí)也會(huì)考慮到在復(fù)積分中尋求解決問題的辦法.

2 知識(shí)的前后聯(lián)系

在講完哥西積分公式后，學(xué)習(xí)殘數(shù)定理的時(shí)候應(yīng)該注意很多運(yùn)用殘數(shù)定理能求解的題目也可以用哥西積分公式求解.

例如積分

c為圓周|z|=2.

用哥西積分公式

由殘數(shù)定理可得

通過這樣的問題使學(xué)生注意了知識(shí)的前后聯(lián)系，并加深了對(duì)哥西積分公式、殘數(shù)定理和拉普拉斯變換的理解.如果能引導(dǎo)他們?cè)谠撻T課程的其他知識(shí)點(diǎn)做類似的工作，必將提高學(xué)習(xí)的興趣.

3 注重聯(lián)系物理問題

數(shù)學(xué)物理方程部分問題的求解過程比較復(fù)雜，學(xué)生感到枯燥無味.因此在講述用分離變量法求解弦振動(dòng)問題、熱傳導(dǎo)問題和二維拉普拉斯方程的定解問題時(shí)，多講實(shí)際例子，少講一些給出一個(gè)方程組就直接求解的問題，會(huì)讓學(xué)生看到分離變量法的實(shí)際應(yīng)用，讓枯燥的知識(shí)形象化，從而大大增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.

例如，給出下列混合問題讓學(xué)生求解

其中A，ω為已知正常數(shù).學(xué)生通過分析可以看出這是一個(gè)非齊次邊界的弦振動(dòng)問題，用分離變量法可以求解.但是對(duì)于這樣一個(gè)混合問題不能把它看成是一個(gè)純數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生把最后的解得出來就結(jié)束了.

數(shù)學(xué)物理方法畢竟不是純粹的數(shù)學(xué)課程，它是和物理緊密聯(lián)系在一起并為學(xué)生的物理學(xué)習(xí)服務(wù)的.因此，最好和學(xué)生討論一下上述混合問題的物理意義.例如：彈簧的一端固定，另一端在外力作用下做周期運(yùn)動(dòng)，彈簧的初位移和初速度都為零，求彈簧的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.通過這樣分析我們既看到了該混合問題的實(shí)際意義，也引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)了在遇到上述的物理問題時(shí)如何建立數(shù)學(xué)模型并求解.

4 一題多解找樂趣

一題多解往往能激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣，在拉普拉斯變換中這樣的例子有很多，例如在求解L[t]時(shí)，通過讓學(xué)生尋找求解辦法，得到了下列三種解法.

解法一：

解法二：

解法三：

如果教師在平時(shí)的教學(xué)中多注意搜集類似的例子，必將激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

5 注重方法的傳授

教師講述知識(shí)的方法很重要.在講述的過程中應(yīng)加強(qiáng)思考問題、解決問題方法的傳授，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生體驗(yàn)到在問題的建立與解決的過程中前人所走過的路，從中我們能學(xué)到什么.

在得到勒讓德多項(xiàng)式Pn(x)的施列夫利積分表達(dá)式時(shí)，可以讓學(xué)生自己思考在已經(jīng)學(xué)習(xí)了勒讓德多項(xiàng)式的定義式和微分形式后怎樣來得到積分形式呢？假如自己就是施列夫利，哪個(gè)公式能夠把微分和積分聯(lián)系起來？學(xué)生通過思考就能想到前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過的哥西積分公式的推廣形式具有此功能.再聯(lián)想到洛德利格公式(勒讓德多項(xiàng)式的微分形式)為

將此結(jié)果代入洛德利格公式即可得到

此即為施列夫利積分表達(dá)式.通過以上的過程既加深了對(duì)哥西積分公式的理解，又領(lǐng)會(huì)了勒讓德多項(xiàng)式的微分形式和積分形式之間的關(guān)系.

接下來在學(xué)習(xí)勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)(生成函數(shù))時(shí)，考慮到從拉普拉斯方程而來，因此可以分析一下拉普拉斯方程的基本解

如果要證明G(x,z)能夠生成勒讓德多項(xiàng)式Pn(x)，這時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生思考用G(x,z)生成Pn(x)的定義式還是微分形式或積分形式.再聯(lián)想到在復(fù)變函數(shù)論中學(xué)習(xí)過的泰勒級(jí)數(shù)，泰勒展開可以將一個(gè)式子展開成泰勒級(jí)數(shù)，而其中的泰勒系數(shù)cn(x)是一個(gè)積分表達(dá)式，將G(x,z)進(jìn)行泰勒展開看結(jié)果如何.

經(jīng)過計(jì)算得到cn(x)=Pn(x)，因此有

所以稱G(x,z)為Pn(x)的母函數(shù).通過這樣的分析可以讓學(xué)生理解母函數(shù)的來龍去脈，在面對(duì)由G(x,z)生成Pn(x)的哪種形式時(shí)，更是鍛煉了學(xué)生思考問題的能力，為他們以后的繼續(xù)深造打下了一定的基礎(chǔ).

6 自己建立公式

數(shù)學(xué)物理方法中的公式特別多，可以和學(xué)生一起自己建立公式，這對(duì)學(xué)生學(xué)好這門課程非常有幫助.例如勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式這一內(nèi)容可以不按書上思路，而是帶領(lǐng)學(xué)生從母函數(shù)公式出發(fā)建立屬于自己的遞推公式.以文獻(xiàn)[5]所舉為例,母函數(shù)

(1)

對(duì)(1)式的兩端分別關(guān)于z，x求導(dǎo)，得

(2)

(3)

式(2)乘以z，減去式(3)乘以(x-z)，然后比較公式兩端關(guān)于z的同次冪的系數(shù)可得

此為遞推公式一.

用(1-2xz+z2)乘式(2)，再利用式(1)，比較兩端z的系數(shù)可得

(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)=(n+1)Pn+1(x)

此為遞推公式二.

參考文獻(xiàn)[1]，利用遞推公式一和遞推公式二經(jīng)過比較復(fù)雜的運(yùn)算得出遞推公式三

對(duì)于遞推公式三，可以帶領(lǐng)學(xué)生尋求更為簡(jiǎn)單的辦法.在尋找遞推公式二時(shí)用(1-2xz+z2)乘以式(2)，自然能想到用(1-2xz+z2)乘以式(3)也應(yīng)該能得到一個(gè)遞推公式.按照上述辦法運(yùn)算可得

(4)

因此在講解勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式問題時(shí)，通過引導(dǎo)學(xué)生自己建立遞推公式，既能拓寬學(xué)生的思路又能讓學(xué)生感到這些遞推公式是大家一起建立起來的，對(duì)這些公式會(huì)產(chǎn)生親切感.因此學(xué)生對(duì)這些公式的印象會(huì)非常深刻，不容易遺忘；即使遺忘了，他們自己也會(huì)推導(dǎo)出來，從而增強(qiáng)了學(xué)好這門課程的自信心.教師的工作是教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)的，要教會(huì)他們?nèi)绾稳シ治鰡栴}，解決問題，而不是強(qiáng)迫他們學(xué)習(xí)，簡(jiǎn)單地記住一些公式應(yīng)付考試.

7 學(xué)生登臺(tái)講課

對(duì)于有些比較簡(jiǎn)單的章節(jié)可以讓學(xué)生登臺(tái)講課.有的學(xué)生比較活躍，也有講課的欲望和能力，選擇合適的內(nèi)容讓他們備課，當(dāng)一次教師，對(duì)這些學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)起到非常大的促進(jìn)作用.另外，也能激發(fā)全班同學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，特別是對(duì)那些畏懼?jǐn)?shù)學(xué)物理方法這門課程的同學(xué)來說，看到自己的同學(xué)都能站在講臺(tái)上講課，這無疑能夠增強(qiáng)他們學(xué)好該門課程的信心.

傅里葉變換這部分內(nèi)容比較適合學(xué)生講述.這部分內(nèi)容概念容易理解，公式推導(dǎo)過程和例題簡(jiǎn)潔易懂，通過嘗試發(fā)現(xiàn)學(xué)生授課的效果較好.

8 總結(jié)

數(shù)學(xué)物理方法是物理學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)課，是電動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)等后續(xù)課程的基礎(chǔ)，如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方法的興趣，加強(qiáng)學(xué)習(xí)的效果，使學(xué)生掌握好該門課程，非常值得探討.筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出了上述建議或方法.當(dāng)然它們是相互緊密聯(lián)系的，教師在對(duì)某一問題進(jìn)行講解時(shí)往往可能要同時(shí)用到幾種方法，以期達(dá)到最佳效果.

參考文獻(xiàn)

1 田麗杰，李清山，徐秀瑋，郝志仁.數(shù)學(xué)物理方法多元化雙主型教學(xué)模式的探索與實(shí)施.魯東大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009(1)：44～47

2 程樹英，程利青.數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)改革初探.電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2009(9)：16～26

3 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)物理方法.北京：高等教育出版社，1985.113～117

4 柯導(dǎo)明，陳軍寧.數(shù)學(xué)物理方法.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008.97～98

5 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)物理方法.北京：高等教育出版社，1985.340～341

6 梁昆淼編，劉法，繆國(guó)慶修訂.數(shù)學(xué)物理方法.北京：高等教育出版社，1998