胡 凡,楊希祥,江振宇,張為華

(國防科技大學(xué)航天與材料工程學(xué)院,長沙 410073)

0 引言

近年來,隨著對快速進(jìn)入空間技術(shù)需求的日益迫切,固體運(yùn)載火箭的發(fā)展已備受關(guān)注。固體運(yùn)載火箭研制作為一項(xiàng)系統(tǒng)工程,總體設(shè)計(jì)一直是其中的牽引項(xiàng)目?？傮w方案確定后,才能為分系統(tǒng)方案論證及方案設(shè)計(jì)提供依據(jù)?？傮w參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)又是總體設(shè)計(jì)的關(guān)鍵內(nèi)容,確定最優(yōu)的飛行器總體參數(shù),可使飛行器在概念設(shè)計(jì)階段即可達(dá)到整體最優(yōu)性能,最大程度挖掘飛行器設(shè)計(jì)性能[1]。運(yùn)載火箭飛行軌跡對總體參數(shù)設(shè)計(jì)有重要影響,因此從系統(tǒng)科學(xué)角度來說,運(yùn)載火箭總體參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)與軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)同時(shí)考慮,即形成軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

余夢倫院士最早在國內(nèi)提出開展這一問題的研究[2],文獻(xiàn)[1]采用余院士的觀點(diǎn),開展了系列化運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)研究,文獻(xiàn)[3]研究了空中發(fā)射有翼固體運(yùn)載火箭動力/氣動/軌道等多個(gè)學(xué)科的一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

文中研究了地基發(fā)射新型固體運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。研究的運(yùn)載火箭采用“三級固體發(fā)動機(jī)+液體末助推”串聯(lián)式結(jié)構(gòu)布局,運(yùn)載火箭姿態(tài)控制采用“側(cè)向噴流+柵格舵”方式,各級固體發(fā)動機(jī)均采用耗盡關(guān)機(jī)工作模式。

1 軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

1.1 質(zhì)量計(jì)算模型

質(zhì)量計(jì)算模型是運(yùn)載火箭發(fā)射質(zhì)量、有效載荷、結(jié)構(gòu)質(zhì)量、設(shè)備質(zhì)量和推進(jìn)劑質(zhì)量的計(jì)算方程。質(zhì)量計(jì)算是軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。質(zhì)量模型分為展開型模型和導(dǎo)出型模型。在總體方案論證階段宜使用導(dǎo)出型模型。

固體運(yùn)載火箭總起飛質(zhì)量可表示為

式中 m0,1為運(yùn)載火箭總起飛質(zhì)量;ms為有效載荷質(zhì)量;mz1為整流罩質(zhì)量;m4為末助推級(儀器/推進(jìn)艙)質(zhì)量;mp,i為第i級固體發(fā)動機(jī)裝藥量;ms,i為第i級固體發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)質(zhì)量;mg,i為運(yùn)載火箭第i子級除發(fā)動機(jī)之外的結(jié)構(gòu)質(zhì)量(包括尾段結(jié)構(gòu)質(zhì)量、尾段內(nèi)儀器設(shè)備和電纜、級間段結(jié)構(gòu)質(zhì)量、級間段內(nèi)儀器設(shè)備和電纜質(zhì)量等)。

本文中運(yùn)載火箭各級直徑固定。又由于運(yùn)載火箭采用側(cè)向噴流控制,沒采用擺動噴管時(shí)的伺服機(jī)構(gòu),因此上述結(jié)構(gòu)質(zhì)量變化不大,視為固定質(zhì)量。

運(yùn)載火箭儀器/推進(jìn)艙質(zhì)量m4可表示為

式中 mp,4為液體推進(jìn)劑質(zhì)量;mcx為儲箱質(zhì)量,它隨推進(jìn)劑質(zhì)量變化而變化;myq為除儲箱外的動力系統(tǒng)干重及控制系統(tǒng)等儀器設(shè)備質(zhì)量。

運(yùn)載火箭第i子級起飛質(zhì)量可由式(3)確定:

式中 m0,i+1為第(i+1)子級起飛質(zhì)量。

第i級發(fā)動機(jī)的ms,i和mp,i之間滿足:

式中 εi為第i級固體發(fā)動機(jī)質(zhì)量比。

1.2 動力計(jì)算模型

運(yùn)載火箭總體方案論證階段,可采用相對較簡單的發(fā)動機(jī)推力模型,將各級飛行段發(fā)動機(jī)推力簡化為平均推力,第i級固體發(fā)動機(jī)平均推力ˉPi、工作時(shí)間ti、比沖Isp,i和裝藥量mp,i間存在如下關(guān)系式:

1.3 氣動力計(jì)算模型

運(yùn)載火箭方案設(shè)計(jì)階段需考慮升力影響。阻力和升力的計(jì)算式如下:

式中 ρ為大氣密度;v為相對運(yùn)動速度;SM為特征面積;CD和CL分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù),優(yōu)化計(jì)算中采用基準(zhǔn)方案的氣動數(shù)據(jù)插值得到。

1.4 飛行程序控制模型

運(yùn)載火箭俯仰程序角設(shè)計(jì)如下:

(1)一級飛行段

運(yùn)載火箭一級在稠密大氣層中飛行,飛行程序表達(dá)式參見文獻(xiàn)[4]。

(2)二級飛行段

運(yùn)載火箭二級及二級以上飛行段大氣已較稀薄,飛行程序按真空飛行段設(shè)計(jì),采用多重參數(shù)化方法,飛行程序設(shè)計(jì)為如下形式:

式中 t3為二級發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)時(shí)刻;φ·2為二級動力飛行段姿態(tài)角變化速率;為二級滑行段結(jié)束時(shí)刻;θ為速度傾角,ωez為地球自轉(zhuǎn)角速度分量,～為二級分離時(shí)間。

(3)三級飛行段

式中 t4為三級發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)時(shí)刻;φ·3為三級動力飛行段姿態(tài)角變化速率;為三級滑行段結(jié)束時(shí)刻;～為三級分離時(shí)間。

(4)末助推段

運(yùn)載火箭彈道計(jì)算模型參見文獻(xiàn)[5]。

2 軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題描述

2.1 目標(biāo)函數(shù)

運(yùn)載火箭總體參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù),應(yīng)能充分反映主要設(shè)計(jì)性能指標(biāo)。在給定運(yùn)載能力的前提下,以起飛質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù):

運(yùn)載火箭質(zhì)量是一項(xiàng)重要戰(zhàn)略技術(shù)指標(biāo),尤其是對快速響應(yīng)的小型固體運(yùn)載火箭,其機(jī)動性、維護(hù)使用性等都與質(zhì)量密切相關(guān);另外,運(yùn)載火箭質(zhì)量可間接影響其成本。

2.2 設(shè)計(jì)變量

設(shè)計(jì)變量是指能在設(shè)計(jì)過程中確定設(shè)計(jì)方案和描述設(shè)計(jì)特性的獨(dú)立變量。根據(jù)問題性質(zhì)和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn),選擇下述13個(gè)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量:

式中 A0為發(fā)射方位角;fig為一級飛行段程序控制量;θ3為三級滑行結(jié)束時(shí)當(dāng)?shù)厮俣葍A角。

由于上述設(shè)計(jì)變量數(shù)量級相差懸殊,優(yōu)化計(jì)算中對設(shè)計(jì)變量作規(guī)范化處理。規(guī)范化公式為

2.3 約束條件

目標(biāo)軌道為太陽同步軌道時(shí),等式約束包括:

式中 h、v、i、e分別為實(shí)際入軌高度、速度、軌道傾角和偏心率;hobj、vobj、iobj、eobj分別為目標(biāo)軌道高度、速度、軌道傾角和偏心率。

不等式約束包括:

2.4 優(yōu)化算法

為提高求解精度和效率,設(shè)計(jì)了“自適應(yīng)遺傳算法+序列二次規(guī)劃”的序貫混合優(yōu)化算法。

遺傳算法(Genetic Algorithms,GA)[6]具有很好的全局尋優(yōu)特性,但基本遺傳算法在實(shí)際應(yīng)用中存在收斂速度緩慢、早熟、局部尋優(yōu)能力較差等缺點(diǎn),且對運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化這樣同時(shí)存在等式約束和不等式約束的復(fù)雜優(yōu)化問題,往往采用罰函數(shù)法處理約束條件,存在對約束處理不夠靈活的問題,為改善遺傳算法的尋優(yōu)精度,文中采用了自適應(yīng)遺傳算法(AGA)[7]。

序列二次規(guī)劃(Sequential Quadratic Programming,SQP)收斂性好、計(jì)算效率高、邊界搜索能力強(qiáng),且能有效處理含約束問題[8],在飛行器軌跡優(yōu)化領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[8-9]。但該算法需預(yù)先給定優(yōu)化設(shè)計(jì)變量初值,迭代初值的優(yōu)劣直接影響算法的性能,而對實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)問題來說,較好初值的給定往往十分困難。

綜合上述2種算法的互補(bǔ)特性,設(shè)計(jì)了“AGA+SQP”的序貫混合優(yōu)化策略,即首先采用遺傳算法獲得“廣義”最佳可行解,然后將此可行解作為SQP的迭代初值進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算?！皬V義”最佳可行解是指在利用AGA進(jìn)行尋優(yōu)時(shí),可適當(dāng)放寬約束條件,以在更大范圍內(nèi)為SQP提供較好迭代初值。優(yōu)化策略流程如圖1所示。

圖1 基于AGA和SQP的序貫混合優(yōu)化策略Fig.1 Sequential hybrid op tim ization strategy based on AGA and SQP

3 優(yōu)化結(jié)果與分析

應(yīng)用上述建立的固體運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)模型,研究“三級固體+液體末助推”的運(yùn)載火箭優(yōu)化設(shè)計(jì),運(yùn)載能力設(shè)計(jì)為將270 kg有效載荷送入300 km太陽同步軌道。考慮運(yùn)載火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量偏差、比沖偏差、秒流量偏差等因素對運(yùn)載能力的影響,優(yōu)化計(jì)算時(shí)末級液體推進(jìn)劑設(shè)計(jì)30 kg安全余量。固體發(fā)動機(jī)地面比沖2 450 N·s/kg,真空比沖2 860 N·s/kg,末助推級干重(不含儲箱)160 kg,液體發(fā)動機(jī)推力3 kN,比沖3 060 N·s/kg,整流罩質(zhì)量170 kg。

起飛推重比約束為,1.5≤N0≤2.5;過載約束nmax≤14.5g,nymax≤0.01g;攻角約束|α|max≤3°;動壓約束q≤0.09 MPa;分離高度約束H≥22 km。

自適應(yīng)遺傳算法種群規(guī)模取為80,最大進(jìn)化代數(shù)50,交叉概率0.75,變異概率0.05,連續(xù)5代最優(yōu)值不變即中止計(jì)算,序列二次規(guī)劃方法采用SNOPT軟件實(shí)現(xiàn)。優(yōu)化結(jié)果如表1和表2所示。

優(yōu)化結(jié)果表明,優(yōu)化方案運(yùn)載火箭起飛質(zhì)量比原方案減小13.62%,各項(xiàng)約束條件均得到很好滿足。

表1 設(shè)計(jì)變量最優(yōu)解Tab le 1 Op tima l solution in particle swarm

表2 對應(yīng)最優(yōu)解的性能參數(shù)Table 2 Trajectory parameters corresponding to optimal solution

目標(biāo)函數(shù)和部分設(shè)計(jì)變量收斂曲線如圖2～圖4所示。由圖2～圖4可看出,自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化階段最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值一直遞減,這是因?yàn)樽赃m應(yīng)遺傳算法中,遺傳算子的操作具有方向性,進(jìn)化都是向著優(yōu)良個(gè)體進(jìn)行,未出現(xiàn)染色體退化現(xiàn)象,序列二次規(guī)劃算法應(yīng)用階段,迭代收斂速度很快。

圖2 目標(biāo)函數(shù)收斂曲線Fig.2 Convergence curve of objective function

圖3 一級發(fā)動機(jī)裝藥量收斂曲線Fig.3 Convergence curve of charge for the first stage solid rocketmotor

圖4 二級發(fā)動機(jī)裝藥量收斂曲線Fig.4 Convergence curve of charge for the second stage solid rocket motor

4 結(jié)論

(1)建立了固體運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型;

(2)為有效求解軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題,綜合考慮自適應(yīng)遺傳算法和序列二次規(guī)劃方法優(yōu)缺點(diǎn),設(shè)計(jì)了“自適應(yīng)遺傳算法+序列二次規(guī)劃”的序貫混合優(yōu)化算法;

(3)采用建立的優(yōu)化模型和設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法,有效解決了13個(gè)設(shè)計(jì)變量、10個(gè)約束條件的固體運(yùn)載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,優(yōu)化方案運(yùn)載火箭起飛質(zhì)量比基準(zhǔn)方案減小13.62%。

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