沈曉芳

(石河子大學(xué)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,新疆 石河子 832003)

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，有許多數(shù)學(xué)對象和內(nèi)容是約定俗成的，我們通常說的進制是指十進制，談到幾何大家會理所當(dāng)然的認為是指歐幾里得幾何等等.然而，在數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程中同時還伴隨著非常規(guī)的數(shù)學(xué)對象，學(xué)習(xí)和經(jīng)歷它們對教師處理常規(guī)對象有著不可忽視的作用，同時對教師理解其他學(xué)科從而掌握本學(xué)科的內(nèi)容也有至關(guān)重要的理論價值和實踐意義.

1 調(diào)查研究

下面就幾個實例進行闡述.

1(a)能被5整除的數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它的各個位數(shù)的數(shù)字之和能被5整除.

1(b)a+(b·c)= (a+b)·(a+c).

1(c)三角形的內(nèi)角和小于180度.

通過調(diào)查中學(xué)教師，如果上述三個結(jié)論沒有前提條件，93%的教師認為是打印錯誤和印刷錯誤. 因為1(a)中應(yīng)將5換成3；1(b)中應(yīng)將“+”和“·”互換；1(c)中應(yīng)將小于號換成等于號.

再看另外三個例子：

2(a)能被3整除的數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它的各個位數(shù)的數(shù)字之和能被3整除.

2(b)a·(b+c)= (a·b)+(a·c).

2(c)三角形的內(nèi)角和永遠是180度.

初看結(jié)論肯定是對的，再仔細看看，會意識到結(jié)論成立所隱藏的假設(shè)是2(a)成立當(dāng)且僅當(dāng)我們理所當(dāng)然的認為是十進制系統(tǒng)；2(b)成立當(dāng)且僅當(dāng)我們理所當(dāng)然的認為是在常規(guī)的代數(shù)運算中；2(c)成立當(dāng)且僅當(dāng)我們理所當(dāng)然的認為是歐幾里得幾何.

如果沒有這些假設(shè)的前提，我們改變這些常規(guī)假設(shè)，結(jié)果會怎么樣呢？對任何水平的數(shù)學(xué)教師來說，改變常規(guī)的思維方式對創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)都是有價值的，并且能夠豐富教師的學(xué)科內(nèi)容知識和教學(xué)法觀念.

2 基本理論

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是主體主動建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的過程，這是認識論的建構(gòu)主義.Skemp認為：“要理解一個新的情景意味著將它同化到自己合適的圖示中.”進一步延伸為同化到更為豐富或更抽象的圖示中.這說明當(dāng)數(shù)學(xué)概念成為一個人頭腦中許多一般的數(shù)學(xué)概念的具體的例子時，這時就構(gòu)建了一個較豐富的圖示.[1-2]比如：將熟悉的整數(shù)運算看作是加法交換群的例子或?qū)⒁粋€正方形看作是平行四邊形的特例.一個豐富的圖示構(gòu)建規(guī)定些什么？它的核心原則是皮亞杰的認知發(fā)展理論：在一個特殊的環(huán)境中，個體意識到了一個非平衡的狀態(tài)將會通過同化使?fàn)顟B(tài)達到平衡.否則，將會重新構(gòu)建一個圖示使個體能接受這種狀態(tài)[3-4].本文呈現(xiàn)了三個非平衡的學(xué)習(xí)活動的實例，因此需要再構(gòu)建新的圖示.

2.1 非常規(guī)的數(shù)字系統(tǒng)

在20世紀中葉，人們學(xué)會了數(shù)數(shù)、加法和乘法，我們的祖先將印度—阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)作為人類的一項偉大發(fā)明，為了便于應(yīng)用和理解，一直長期沿用十進制系統(tǒng).然而最初受到挑戰(zhàn)的是五進制數(shù).加法和乘法對于不同的進制需要轉(zhuǎn)化，非十進制數(shù)換算成十進制后可能是小數(shù).比如：12.345轉(zhuǎn)化成十進制數(shù)為12.345=1×5+2×1+3×1/5+4×1/25=7.7610

同一個數(shù)字規(guī)則對于不同進制是有變化的.比如，下列規(guī)則對于十進制來說是成立的：如果a能被c整除，b也能被c整除，則(a+b)也能被c整除；任何能被12整除的數(shù)一定能被3整除；81、100、121、144和169等都是完全平方數(shù).那么這些規(guī)則對于非十進制未必完全成立.上述這些實踐活動是一種構(gòu)建或再構(gòu)建非常規(guī)數(shù)字系統(tǒng)的較好的方式，轉(zhuǎn)換不同進制的位值找出規(guī)律是對教師和學(xué)生最初假定的十進制數(shù)字系統(tǒng)觀念的一個挑戰(zhàn).

2.2 非常規(guī)的運算

1(c)當(dāng)“+”和“·”在布爾運算中，則a+(b·c)= (a+b)·(a+c)是成立的.布爾運算的等式表述和物理電路可以建立一種對應(yīng)使其相互轉(zhuǎn)化.它的具體實例應(yīng)用于串聯(lián)和并聯(lián)電路中，分別用“·”和“+”代替(如圖1)[5].表1用真值表證明了等式的真實性，然而學(xué)生卻不易接受這種運算.為了避免混淆，學(xué)生一般會采用不同于常規(guī)的加法和乘法表示法.但是對于教師來說，可以看到這種使用混淆記號的好處，使得代數(shù)運算和物理背景很好的聯(lián)系在一起了.起初使用這種混淆的記號會顯得不自然，漸漸地會接受這種運算并意識到使用記號的真正含義.

圖1 物理電路與布爾運算等式的相互轉(zhuǎn)化

表1 a+(b+c)=(a+b)·(a+c)的真值表

Hadar和Hadass的研究表明：盡管數(shù)學(xué)教材中有較透徹的說明，教師仍然受算術(shù)運算的原型例子的影響.[6]教師如果能經(jīng)常給學(xué)生呈現(xiàn)多種非常規(guī)的運算實例，不僅能幫助學(xué)生克服錯誤觀念并且能證明反例證(用以證明某理論或定理不成立)的重要性.教師也要主動分析自己出現(xiàn)錯誤觀念的來源，從而使學(xué)生減少依賴特殊的例子，這種意識和觀念對于數(shù)學(xué)教師來說也是非常必要的.

2.3 非常規(guī)的幾何公理體系

幾何證明對學(xué)生和教師來說都是一種挑戰(zhàn)，學(xué)習(xí)歐幾里得幾何的困難是證明和演繹推理.需要分析已知條件有哪些？推理的原理是什么？

公理1：平面是點的集合，每個平面至少有兩條直線.

公理2：平面上任何兩個點有且僅有一條直線經(jīng)過這兩個點(兩點確定一條直線).

公理3：過直線m外的一點A有且僅有一條過A點的直線與直線m平行.

滿足上述三個公理最少需要幾個點？很容易得出是四個.如果是三個點A、B、C，因為沒有一條包含C點的直線平行于直線AB,不滿足公理3；如果是五個點A、B、C、D、E，因為有多于一條過C點的直線CD和直線CE平行于直線AB，也不滿足公理3.這個有趣的例子促進了非歐幾何的發(fā)展，由公理3引發(fā)了兩種可能：(1)平面上，過直線外一點至少有兩條直線與已知直線不相交.(2)平面上，過直線外一點不存在直線與已知直線不相交(平面上任何兩條直線都相交).這就分別是羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何(簡稱羅氏幾何和黎氏幾何).

在歐氏幾何中，如果AC與BD沒有公共點，它們是平行的.那么有沒有一種幾何有5個點是滿足上述的三個定理的？由圖2可知羅氏幾何中的4-點幾何AC與BD是平行的，5-點幾何AB與CD平行并且AB與CE平行[7].因此，直觀歐氏幾何對4-點幾何和5-點幾何都形成了障礙，克服這種障礙是教師教育中重要的一步.

圖2 4-點與5-點幾何的例子

基于非歐幾何可以得到一些結(jié)論：(1)三角形的內(nèi)角和小于二直角，并且不是常量.(2)三角形的任一個外角大于其不相鄰的兩個內(nèi)角之和.(3)三角形不一定存在外接圓……[8].證明這些定理不僅僅是一種挑戰(zhàn)，而且能幫助我們意識到我們依賴常規(guī)學(xué)習(xí)的事實.我們不能僅限于書本證明，相信感覺，這些有可能導(dǎo)致錯誤.由此可知本文序言中1(a)、1(b)和1(c)三個例子在非常規(guī)的假設(shè)下也是正確的.

3 結(jié)語

改變常規(guī)假設(shè)，改變常規(guī)的思維方式對創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)是有價值的.因為創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)可以幫助學(xué)生看到人類創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程以及認識到人類是如何選擇數(shù)學(xué)知識的常規(guī)性的，有時選擇這種常規(guī)是為了方便，比如選擇十進制；有時一個常規(guī)也可能是任意的，比如笛卡爾直角坐標系.做這些非常規(guī)的活動是非常有用的，比如普通體操訓(xùn)練是從前面不屈腿而用手觸摸地板的，做這個活動實際上不是為了摸到地板，而是拉展腿部肌肉.同樣地，構(gòu)建不同進制的運算，目的不只是為了計算數(shù)值之間的所得值的差異，而是發(fā)展一種思維，一種問題解決的技能.計算機中應(yīng)用二進制系統(tǒng)，布爾代數(shù)應(yīng)用于開關(guān)電路，非歐幾何用于地理學(xué)中.學(xué)習(xí)非常規(guī)的結(jié)構(gòu)可以更好地理解和賞識常規(guī)，從而幫助學(xué)生構(gòu)建較豐富較抽象的圖示，同化更多的新知識.

參考文獻：

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