張業(yè)兵，張延惠

(1.淄博師范專(zhuān)科學(xué)校 物理系，山東 淄博 255130；2.山東師范大學(xué) 物理與電子學(xué)院系)

激光理論和技術(shù)的發(fā)展極大地改變了原子、分子物理學(xué)的面貌，人們研究介觀物理領(lǐng)域的焦點(diǎn)由側(cè)重體系能級(jí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)向其相關(guān)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究，自從Gutzwiller提出態(tài)密度的周期軌道理論以來(lái)[1]，用半經(jīng)典的方法來(lái)研究粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)已成為處理某些量子問(wèn)題必不可少的工具.近年來(lái)，納米器件、微腔結(jié)構(gòu)及其輸運(yùn)問(wèn)題[2]已經(jīng)成為人們研究的前沿課題.而量子臺(tái)球可以作為研究它們的理想模型，在可積或量子混沌系統(tǒng)中，對(duì)理論和實(shí)驗(yàn)都具有很好的指導(dǎo)作用.人們應(yīng)用周期軌道理論已經(jīng)研究了許多體系中一個(gè)粒子量子化的本征值譜和經(jīng)典軌道之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系[3-5].本文應(yīng)用半經(jīng)典周期軌道理論的思想，通過(guò)定義量子譜函數(shù)，研究了量子臺(tái)球在二維圓環(huán)無(wú)限深勢(shì)阱體系中的經(jīng)典軌道與量子譜的關(guān)系，并把這些軌道和體系的傅立葉變換量子譜的峰值位置一一對(duì)照.

1 量子譜函數(shù)

一個(gè)質(zhì)量為μ的粒子(為了避免與大家熟悉的量子數(shù)相混淆，此處用μ來(lái)表示粒子的質(zhì)量)，假設(shè)體系的Hamiltonian是：

(1)

在無(wú)限深圓環(huán)體系勢(shì)阱中(如圖1)，設(shè)外半徑為Rout=R，內(nèi)半徑為Rin=R(0<<1)，

其對(duì)應(yīng)的勢(shì)能可表示成：

(2)

對(duì)應(yīng)的定態(tài)Schr?dinger方程是：

圖1 同心圓環(huán)

(3)

其中本征能量和本征函數(shù)分別為En和ψn，n為標(biāo)記量子態(tài)量子數(shù).由于滿足邊界條件，在邊界處：

(4)

在周期軌道理論中，最主要的物理量是量子能態(tài)密度：

(5)

式(5)中的求和包括所有的定態(tài)的能量本征值.周期軌道理論的一個(gè)主要結(jié)論是，量子能態(tài)密度可以寫(xiě)成半經(jīng)典形式：

(6)

式中的第一項(xiàng)ρ0(E)是一個(gè)平滑的背景項(xiàng)，隨能量E的變化，ρ0(E)變化非常緩慢，因此這一項(xiàng)對(duì)態(tài)密度的貢獻(xiàn)為常數(shù).第二項(xiàng)是最關(guān)心的振蕩項(xiàng)，Sr(E)為軌道的經(jīng)典作用量，對(duì)應(yīng)著所有的基本軌道(γ=1，…，∞)，ρ表示基本軌道的多次回歸(p=1，…，∞).φr是在路徑積分過(guò)程中引入的相位修正.

假設(shè)勢(shì)阱的面積為A，勢(shì)阱的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，在邊界上體系的波函數(shù)ψ=0，這樣平滑的背景項(xiàng)ρ0(E)就可以表述為：

(7)

利用公式(5)，在動(dòng)量空間中，忽略一些不重要的因素，可以得到相等的態(tài)密度：

(8)

與公式(6)相應(yīng)的表示，在動(dòng)量空間中就可以寫(xiě)成：

(9)

上式兩邊同時(shí)乘以eikL，并對(duì)整個(gè)動(dòng)量空間積分，可以得到離散的能量項(xiàng)：

(10)

對(duì)于半經(jīng)典的振蕩項(xiàng)，經(jīng)過(guò)傅立葉變換之后，得到：

(11)

從上式可以看到在δ函數(shù)的峰值出現(xiàn)的地方，對(duì)應(yīng)著經(jīng)典軌道L=ρLr的長(zhǎng)度.

在(10)式中，因?yàn)橛?jì)算量的限制，不可能取無(wú)窮多的數(shù)值，只能取有限量的數(shù)值來(lái)計(jì)算.因此(11)寫(xiě)成：

(12)

2 二維圓環(huán)彈子球體系的量子表達(dá)

一個(gè)質(zhì)量為μ的彈子球在兩維圓環(huán)體系中運(yùn)動(dòng)，在極坐標(biāo)系下定態(tài)Schr?dinger方程為:

(13)

假設(shè)分離變量解的形式是ψ(r，θ)=R(r)Θ(θ)，由此得到角向方程和徑向方程分別為：

(14)

(15)

歸一化的角向方程解的形式是：

(16)

角動(dòng)量本征的值為：L=m?

(17)

其中m=0，±1，±2，±3，…是角動(dòng)量量子數(shù)，“+”和“-分別表示彈子球沿逆時(shí)針和順時(shí)針運(yùn)動(dòng).

令z=kr，徑向方程變?yōu)椋?/p>

(18)

此方程為m階柱貝塞耳方程，通解是第一類(lèi)貝塞耳函數(shù)和第二類(lèi)貝塞耳函數(shù)的線性組合：

R(z)=αJm(z)+βNm(z)=αJm(kr)+βNm(kr)

(19)

其中Jm(z)稱(chēng)為m階第一類(lèi)貝塞耳函數(shù)(又叫柱貝塞耳函數(shù))，Nm(z)稱(chēng)為m階第二類(lèi)貝塞耳函數(shù)(又稱(chēng)諾依曼函數(shù))，αβ為線性系數(shù).

由Dirichlet邊界條件，

可以得到：

R(km，nrfR)=αJm(km，nrfR)+βNm(km，nrfR))=0

R(km，nrR)=αJm(km，nrR)+βNm(km，nrR))=0

(20)

消去系數(shù)α、β得徑向本征方程：

Jm(km，nrfR)Nm(km，nrR)-Jm(km，nrR)Nm(km，nrfR)=0

(21)

從而可得本征能量為：

(22)

其中，a(m，nr)=km，nr/R是方程(21)m階的第nr個(gè)零點(diǎn).

由此得到徑向波函數(shù):

(23)

此處歸一化系數(shù)Am，nr滿足:

(24)

由此就可以得到圓環(huán)體系勢(shì)阱中彈子球的能量本征波函數(shù)：

(25)

3 二維圓環(huán)彈子球體系運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典表達(dá)

一個(gè)質(zhì)量為μ的彈子球，在二維無(wú)限深圓環(huán)體系勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，γmin表示運(yùn)動(dòng)的路徑與圓心的最短距離，彈子球與內(nèi)圓和外圓發(fā)生碰撞時(shí)遵循反射定律，則經(jīng)典的周期軌道的長(zhǎng)度可以用n，p，q三個(gè)整數(shù)表示，其中n=1，2，3…為回歸的次數(shù)，p=1，2，3…為粒子與外圓碰撞的次數(shù)，q=1，2，3…為粒子第一次回到初始點(diǎn)粒子轉(zhuǎn)的圈數(shù)，要求p≥2q.粒子運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典的周期軌道的長(zhǎng)度，可以分下列兩種情況討論：

(1)第一種情況，粒子沒(méi)跟內(nèi)圓發(fā)生碰撞：

γmin表示路徑到圓心的最短距離，這種情況與勢(shì)阱為圓的情況相同，(圖2為p=5，q=1的情況)，此時(shí)的要求為：

[5，1]

(26)

此時(shí)軌道的長(zhǎng)度為：

(27)

如果q不變，p無(wú)限增大，當(dāng)p→∞時(shí)，運(yùn)動(dòng)接近圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)q=1時(shí)，其軌道的總長(zhǎng)度就是圓的周長(zhǎng)，q≠1，其軌道的總長(zhǎng)度就是圓的周長(zhǎng)整數(shù)倍即2πR，4πR，6πR……：

L1(n;p→∞，q)=n2πR

(28)

(2)第二種情況，粒子跟內(nèi)圓發(fā)生碰撞，又分為兩種情況.

(29)

圖3為p=5，q=-1，負(fù)號(hào)表示粒子與內(nèi)圓發(fā)生了碰撞，p，q與圖2值相同，但是與內(nèi)圓發(fā)生碰撞的.

幾種特殊情況：第一，粒子運(yùn)動(dòng)路徑與內(nèi)圓相切，f=cos(πq/p)，則此種情況的軌道長(zhǎng)度也為(27)即：

L2(n;p，q，f=cos(πq/p))=L1(n;p，q)

(30)

第二，粒子由外圓上的某點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)內(nèi)圓反射后直接按原路徑返回到出發(fā)點(diǎn)(對(duì)應(yīng)著[p，q]=[2，1])以及這種方式的多次回歸情況(back-and-forth)，此時(shí)角動(dòng)量的粒子數(shù)為零，即m=0，這種

[5，-1]

情況軌道的長(zhǎng)度為：

L3(n；f)=n[2(1-f)R]=L2(n;2，1，f)

(31)

(32)

如果q不變，p→∞時(shí)，對(duì)應(yīng)著彈子球回到初始點(diǎn)在內(nèi)外圓之間經(jīng)過(guò)了無(wú)限次碰撞，其軌道的總長(zhǎng)度為：

(33)

4 量子譜與經(jīng)典軌道的對(duì)應(yīng)

通過(guò)上面的討論，寫(xiě)出了粒子在二維圓環(huán)體系幾種典型情況經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的軌道長(zhǎng)度，求出了粒子在二維圓環(huán)勢(shì)阱體系量子波函數(shù)和能量本征值，又利用周期軌道理論和傅利葉變換寫(xiě)出了量子譜函數(shù)的表達(dá)式，下面通過(guò)計(jì)算來(lái)尋找經(jīng)典與量子的對(duì)應(yīng).

經(jīng)典具體軌道如圖5所示，方括號(hào)內(nèi)兩個(gè)值中第一個(gè)為彈子球與外圓碰撞的次數(shù)，后面一個(gè)值為粒子從初始點(diǎn)出發(fā)第一次回到初始點(diǎn)所轉(zhuǎn)的圈數(shù)，有負(fù)號(hào)表示與內(nèi)圓發(fā)生了碰撞：

圖4 f=0.2時(shí)圓環(huán)體系量子譜與經(jīng)典軌道的對(duì)應(yīng)

圖5 f=0.2圓環(huán)體系，彈子球運(yùn)動(dòng)的部分經(jīng)典軌道

編號(hào)量子峰的位置經(jīng)典軌道的形態(tài)經(jīng)典軌道的長(zhǎng)度11.61[2,1]1.6023.192[2,1]3.2034.823[2,1]4.8045.21[3,1]5.2055.51[3,-1]5.5065.69[4,1]5.6675.85[5,1]5.8886.31[∞,1]6.2896.394[2,1]6.40106.95[4,-1]6.97117.975[2,1]8.00128.45[5,-1]8.48139.50[5,2]9.51149.586[2,1]9.60

表1是圓環(huán)中彈子球體系的量子譜傅立葉變換峰的位置與經(jīng)典軌道的對(duì)照，從圖4，圖5和表1可以看出，把經(jīng)典軌道與傅立葉變換量子譜進(jìn)行對(duì)照，在誤差允許的范圍內(nèi)，經(jīng)典軌道與傅立葉變換量子譜有很好的對(duì)應(yīng)，每條峰都對(duì)應(yīng)著一條和幾條經(jīng)典的軌道.各種量子峰的高度是不同的，量子峰的高低反映其對(duì)應(yīng)經(jīng)典軌道的條數(shù)的多少.

5 結(jié)論

本文利用分離變量法求出了二維無(wú)限深勢(shì)阱圓環(huán)彈子球體系的本征值和本征函數(shù)，給出精確的數(shù)值解.應(yīng)用幾何的方法根據(jù)不同情況，分別給出了經(jīng)典軌道的信息(形狀、軌道長(zhǎng)度)，并把這些軌道和體系的傅立葉變換的量子譜的峰值一一對(duì)照.又計(jì)算出了當(dāng)Rin=0.2時(shí)，不同情況的經(jīng)典軌道的長(zhǎng)度，通過(guò)比較它們的傅立葉變換譜和經(jīng)典軌道，結(jié)果發(fā)現(xiàn)量子譜的峰位置與經(jīng)典軌道的長(zhǎng)度在誤差允許的范圍內(nèi)符合的很好，為了便于理解，分別畫(huà)出了量子譜的圖像、經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的軌道圖像，列出了二者的對(duì)應(yīng)表，這些特點(diǎn)可以通過(guò)這些表和圖清晰、直觀的顯現(xiàn)出來(lái).從而證明了周期軌道理論的正確性，進(jìn)一步說(shuō)明半經(jīng)典理論為經(jīng)典和量子力學(xué)提供了很好的橋梁作用.這種理論可以用來(lái)解釋光譜學(xué)中強(qiáng)電磁場(chǎng)中的原子結(jié)構(gòu)，微腔輸運(yùn)中的相關(guān)技術(shù)，半導(dǎo)體微結(jié)設(shè)計(jì)的連接，尤其在是兩維或是三維彈子球系統(tǒng)中[6-8]，由于半導(dǎo)體器件中電子的輸運(yùn)性質(zhì)依賴(lài)于腔體的形狀，因此對(duì)圓環(huán)彈子球體系的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究，在未來(lái)還有較高的應(yīng)用價(jià)值.

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