閻 石， 張海鳳， 蒙彥宇，2，3

(1. 沈陽建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110168; 2. 大連理工大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院， 遼寧 大連 116024;3. 北華大學(xué) 交通建筑工程學(xué)院， 吉林 吉林 132013)

Lamb波是超聲無損檢測(cè)中最常見的一種導(dǎo)波形式，由20世紀(jì)初 H. Lamb先生研究無限大板中正弦波問題而得名。它是一種在厚度與激勵(lì)聲波波長(zhǎng)為相同數(shù)量級(jí)的聲波導(dǎo)中由縱波和橫波合成的特殊形式的應(yīng)力波。Lamb波檢測(cè)具有快速便捷的特點(diǎn)，非常適合于板形結(jié)構(gòu)的大面積無損檢測(cè)。但是由于其在信號(hào)的激勵(lì)、傳播、接收及處理方面的復(fù)雜性，限制了Lamb波在工業(yè)生產(chǎn)中的廣泛應(yīng)用，而這個(gè)復(fù)雜性是由Lamb波的頻散特性引起的，因此，要想在無損檢測(cè)中更加有效地應(yīng)用Lamb波，必須了解Lamb波的基本原理和特點(diǎn)，并根據(jù)Lamb波的頻散特性確定檢測(cè)方案。本文基于頻散方程，采用迭代方法繪制了Lamb波的頻散曲線并通過試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證[1]。

1 Rayleigh-Lamb頻散方程

Lamb波定義為彈性擾動(dòng)在自由邊界板中的傳播，是在具有兩個(gè)平行表面的結(jié)構(gòu)中由橫波和縱波相互耦合而成的一種應(yīng)力波。它的位移不僅發(fā)生在波的傳播方向上，垂直板的方向上也有。Lamb波有兩種基本型式，即對(duì)稱(S)型和反對(duì)稱(A)型，分別用S0,S1,S2，…，Sn和A0,A1,A2，…，Am表示，兩種型式的不同是由質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于板的中間層作對(duì)稱還是反對(duì)稱型運(yùn)動(dòng)來決定的。每種型式又可以進(jìn)一步分成具有不同相速度cp的若干種模式，描述Lamb的方程是Rayleigh-Lamb方程：

對(duì)稱模式

(1a)

反對(duì)稱模式

(1b)

其中，

(2)

式中，k0為沿板水平方向的波數(shù)，b為1/2板厚，w為角頻率，w=2πf,cl為縱波速度，cs為橫波速度。

2 頻散方程數(shù)值計(jì)算

下面以對(duì)稱模式Lamb波特征方程的數(shù)值求解方法為例闡述Lamb波頻散方程的解法，反對(duì)稱模式的求解方法與此相同，這里不再贅述。

2.1 方程分析

從方程(1)、(2)可以看出Lamb波是多模式和頻散的，即k0與w的關(guān)系是非線性的，不同的模式有不同的非線性關(guān)系。因?yàn)閗0與w的關(guān)系是非線性的，因此，相速度cp=w/k0不是常數(shù)，而是隨著頻率的變化而改變，cp取不同的值，w(w=2πf)和k0也相應(yīng)地有不同的值，且一個(gè)cp值可能對(duì)應(yīng)多個(gè)w和k，所得曲線不止一條。Lamb波的這種特性反映在cp-f·d(相速度-頻厚積)平面內(nèi)就表現(xiàn)為一系列曲線，這些曲線就是Lamb波的相速度頻散曲線[3]。

以對(duì)稱模式為例，把(2)式帶入(1a)式，

(3)

當(dāng)cp=cl或者cp=cs時(shí)，即蘭姆波傳播的群速度等于縱波速度或者橫波速度，這時(shí)(3)式中存在分母為零的情況，我們把(3)式轉(zhuǎn)化為各因式相乘的形式，使各個(gè)因式都為實(shí)數(shù)，就可以在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)求解Rayleigh-Lamb方程，令

(4)

由式(4)可以看出，若以w為自變量，對(duì)cp的求解較為復(fù)雜，而以cp為自變量，對(duì)w進(jìn)行求解則相對(duì)簡(jiǎn)單，因此，數(shù)值計(jì)算時(shí)選擇cp為自變量[4]。

2.2 數(shù)值計(jì)算

用迭代方法對(duì)Lamb波頻散方程進(jìn)行求解。使f·d和cp分別以一定的步長(zhǎng)在所需范圍內(nèi)掃描，當(dāng)方程函數(shù)值在某區(qū)間上變號(hào)時(shí),在此區(qū)間就存在一個(gè)根。如果變號(hào)區(qū)間的長(zhǎng)度足夠小，取區(qū)間的中點(diǎn)值作為方程的根與方程真實(shí)根之間的誤差可以滿足精度要求，在實(shí)際檢測(cè)中，聲速的精確度一般在0.01左右，如果選擇掃描步長(zhǎng)的長(zhǎng)度小于或等于實(shí)際檢測(cè)的精度，并以掃描步長(zhǎng)作為變號(hào)區(qū)間，則可取變號(hào)區(qū)間的中點(diǎn)值作為方程的根，所取得的根與真實(shí)的根之間的誤差小于檢測(cè)精度，符合實(shí)際應(yīng)用[5]。

圖1 程序流程圖

圖1為求解頻散方程的程序流程圖，在主程序中，通過函數(shù)值傳遞將cp1和cp2(cp2=cp1+Δcp)帶入子程序中,子程序?yàn)楦鶕?jù)(4)式計(jì)算cp1和cp2所對(duì)應(yīng)的y1和y2值,然后將y1和y2值返回到主程序中。通過判斷y1和y2乘積與零的大小關(guān)系，來尋找有根區(qū)間以確定方程的根并保存數(shù)據(jù)，最后把所有記錄點(diǎn)的數(shù)據(jù)繪制成曲線。在這個(gè)程序計(jì)算過程中主要涉及到兩個(gè)循環(huán)：f·d固定時(shí)，cp以一定的步長(zhǎng)迭加直到求出所有滿足方程的cp值；然后f·d以一定的步長(zhǎng)在所需范圍內(nèi)迭加，直到求出所有f·d下滿足方程的cp值。其中，在滿足求解精度的條件下，設(shè)定了一個(gè)循環(huán)次數(shù)的上限，可減少程序運(yùn)行時(shí)間且能達(dá)到精度要求，提高了運(yùn)算效率[6～8]。

2.3 算例

根據(jù)上述求解方法對(duì)Lamb波在鋁板中傳播的頻散曲線進(jìn)行了計(jì)算，根據(jù)鋁板的材料參數(shù)計(jì)算得到cl=6450 m/s,cs=3090 m/s。繪制得到相應(yīng)的相速度曲線如圖2所示。而群速度可用式(5)表示

cg=dw/dk0

(5)

(6)

進(jìn)而可根據(jù)(6)式求得群速度頻散曲線，如圖3所示。

圖2 鋁板相速度曲線

圖3 鋁板群速度曲線

由圖2和圖3可得頻散曲線的特點(diǎn)：

(1)除了S0和A0模態(tài)以外，其他模態(tài)都具有截止現(xiàn)象，即在截止頻率以上該模態(tài)是可以傳播的，而在截止頻率以下，該模態(tài)是迅速衰減不能傳播的；

(2)在某一頻率處，會(huì)同時(shí)產(chǎn)生兩個(gè)(或兩個(gè)以上)模態(tài)，但各個(gè)模態(tài)的群速度(相速度)各不相同，特別是在高頻段，這種情況更明顯；

(3)各個(gè)模態(tài)都存在頻散現(xiàn)象，即群速度隨頻率的變化而變化。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)所用的鋁板試件尺寸為500×500×1(mm)，在鋁板表面粘貼方形單面電極的壓電陶瓷片作為傳感器和驅(qū)動(dòng)器。系統(tǒng)設(shè)備主要由DG1022任意波形發(fā)射器(激勵(lì)信號(hào)發(fā)生器)、鋁板試件、DS1102E型數(shù)字示波器所組成。試驗(yàn)中所用的激勵(lì)信號(hào)為五峰波信號(hào)，激勵(lì)信號(hào)的中心頻率為300 kHz。

3.2 試驗(yàn)分析

在鋁板表面粘貼三個(gè)壓電片A、B、C，如圖4所示。取壓電片A作驅(qū)動(dòng)器產(chǎn)生激勵(lì)信號(hào)，B、C分別作傳感器接收傳感信號(hào)，通過傳播距離、傳播時(shí)間與傳播速度的關(guān)系可以求出Lamb波信號(hào)在鋁板中的傳播速度。其中，Lamb波在某個(gè)方向上的傳播速度根據(jù)不同傳播路徑的傳播距離差與傳感信號(hào)到達(dá)時(shí)間差值的比值計(jì)算得到，即

(7)

式中，l1和l2分別為兩個(gè)傳感器的位置值，t1、t2為兩列信號(hào)各自群速度的到達(dá)時(shí)刻。

圖4 鋁板上壓電片的布置

傳播時(shí)間差值的計(jì)算是利用小波分析法對(duì)兩個(gè)傳感信號(hào)分別作小波變換后對(duì)比各自的群速度到達(dá)時(shí)刻從而計(jì)算出的時(shí)間延遲。由文獻(xiàn)[9]可以知道：信號(hào)小波變換的最大峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間就是信號(hào)的中心頻率群速度cg到達(dá)的時(shí)刻。因此，本研究中選取信號(hào)小波變換后的最大峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為信號(hào)群速度的到達(dá)時(shí)刻。具有同時(shí)記時(shí)起點(diǎn)的兩傳感器所接收到信號(hào)的時(shí)間差即為兩信號(hào)小波變換后最大峰值所對(duì)應(yīng)時(shí)刻之差。如圖5所示為某一傳感信號(hào)及其小波變換。

圖5 傳感信號(hào)及其小波變換

當(dāng)信號(hào)發(fā)生器向壓電片輸入一個(gè)激勵(lì)信號(hào)后，兩個(gè)傳感壓電片就會(huì)在一段時(shí)間后接收到信號(hào)。當(dāng)然，Lamb波在傳播過程中會(huì)發(fā)生頻散，而且不同模式傳播的速度不一樣，所以Lamb波到達(dá)傳感壓電片的時(shí)間不一樣，本文考慮傳感器接收到的波形中最先到達(dá)的一個(gè)波包來研究，以去除邊界反射和散射的影響[9]。

3.3 試驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)上述方法計(jì)算可得群速度cg為5.3782 km/s,查閱圖3可知,當(dāng)f·d為0.3 mHz·mm時(shí),S0模式Lamb波的群速度值為5.4006 km/s,與此波群的速度之間的相對(duì)誤差為0.4148%,證明此波包的主要成分是S0模式的Lamb波。為了進(jìn)一步驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的有效性，用此方法求出了S0模態(tài)幾種不同f·d值下的群速度值，結(jié)果如表1所示。此表中列出了群速度試驗(yàn)值和理論值的比較，并計(jì)算出兩者之間的誤差，其中誤差=(理論值-試驗(yàn)值)/理論值，從結(jié)果可以看出試驗(yàn)值和理論值之間相差很小，誤差在1%以內(nèi)，這個(gè)誤差主要來源于波群傳播時(shí)間的確定。為了更直觀地比較結(jié)果，圖6為根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算得出的Lamb波群速度試驗(yàn)值與理論曲線的比較，可以看出，試驗(yàn)值與理論值吻合較好。

表1 群速度理論值與試驗(yàn)值對(duì)比

圖6 群速度理論曲線與試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)對(duì)比

4 結(jié) 語

Lamb波的頻散曲線對(duì)進(jìn)行Lamb波無損檢測(cè)具有重要意義。根據(jù)Lamb波的頻散方程，利用數(shù)值迭代的方法求解得到了Lamb波的相速度曲線，并根據(jù)相速度與群速度的關(guān)系推算出了群速度曲線，然后通過試驗(yàn)的方法得到了Lamb波的實(shí)際群速度值，與理論曲線進(jìn)行對(duì)比，證明了文中繪制頻散曲線的方法是有效的。對(duì)于各種不同的材料，Lamb波的頻散特性也各不相同，要想充分有效地利用Lamb波，首先必須解決頻散曲線的繪制問題。目前，各種材料的頻散曲線資料匱乏，本文提出的繪制頻散曲線的方法較為簡(jiǎn)單，所以本文所做的工作對(duì)工程應(yīng)用具有一定的實(shí)際意義。

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