王功波,孟云鶴,鄭 偉,湯國建

(國防科技大學航天與材料工程學院,長沙410073)

0 引 言

“懸停軌道”是指在連續(xù)推力作用下,伴隨衛(wèi)星相對于參考衛(wèi)星在一段時間內相對位置保持不變的軌道。由于相對靜止的特點,“懸停軌道”在空間操作任務中具有廣闊的應用前景[1-2]。目前針對懸停軌道的研究,都是在參考衛(wèi)星為圓軌道的前提下展開的。文獻[3-4]研究了相對圓軌道參考衛(wèi)星在徑向的正上方或正下方實現懸停的方法。文獻[5]拓寬了懸停的概念,利用幾何方法研究了相對圓軌道參考衛(wèi)星在任意位置實現懸停的一般方法。文獻[6-7]應用Hill方程對圓參考軌道上懸停伴飛的初始化及構型維持控制方法進行了研究。目前尚未見到參考衛(wèi)星為橢圓軌道時懸停軌道設計及控制的相關研究。

一般來講,嚴格意義上的圓軌道是不存在的,真實的圓軌道由于各種誤差和攝動的影響總是存在小偏心率,因此基于理想圓軌道的假設給出的懸停設計方法總是存在一定的誤差。橢圓參考軌道的懸停設計方法,不僅秉含了圓軌道的情況,還可以實現對諸如“Molniya”等大橢圓衛(wèi)星的懸停,相比圓參考軌道具有更廣泛的應用。

文章基于動力學原理,從懸停的定義出發(fā),針對橢圓參考軌道推導了實現懸停的一般方法。特別地,令偏心率為零即可得到文獻[3]中關于圓參考軌道懸停方法的結論。根據文章提出的設計方法,著重分析了參考衛(wèi)星為“Molniya”軌道時的情況,得出一些有益的結論。文章提出的方法不僅適用于設計懸停軌道,也可用于橢圓軌道的空間圓或水平圓等編隊設計工作。

圖1 慣性坐標系與動坐標系Fig.1 Inertial Cartesian coordinates and rotating coordinates

1 動力學原理

如圖 1 所示 ,o-xyz 表示慣性系,o′-x′y′z′表示動系 。設動系 o′-x′y′z′作一般運動 ,其原點o′的加速度為a′o,角速度為 ω,角加速度為 ε。動點A在動系中的位置矢量為l,速度矢量為v r,根據動力學原理,A在慣性系中的加速度a可表示為

2 懸停方法設計原理

記參考衛(wèi)星為S,伴隨衛(wèi)星為C,參考衛(wèi)星的軌道坐標系s-xyz與地心慣性系OE-XYZ的關系如圖2所示。

軌道坐標系的x軸與地心矢量重合,并由地心指向參考衛(wèi)星;y軸在參考衛(wèi)星的軌道平面內垂直于x軸并指向速度方向為正;z軸由右手定則確定,與軌道面法向重合。r s、r c分別表示參考星和伴隨衛(wèi)星的位置矢量,伴隨衛(wèi)星相對參考衛(wèi)星的位置矢量為 l。則有

設 rs及l(fā)在軌道坐標系的表示形式為rs=(rs0 0)T、l=(x y z)T,則伴隨衛(wèi)星的位置矢量r c可表示為r c=(rs+x y z)T。根據懸停的定義可知,伴隨衛(wèi)星在參考衛(wèi)星軌道坐標系中的相對速度以及相對加速度均為零,即

將式(3)代入式(1)可得

其中,ω為參考星軌道坐標系的轉動角速度,ε為參考星軌道坐標系的轉動角加速度。ω、ε在軌道坐標系中可表示為

設參考星和伴隨星的重力加速度矢量分別為gs、gc,在參考星軌道坐標系內可表示為

記參考星與伴隨星的重力加速度矢量之差為 Δg,即 Δg=gs-gc。則有

則維持懸停構型需要的持續(xù)控制加速度 acontrol,可寫為

根據衛(wèi)星軌道理論可知gs=μ/r2s,gc=μ/r2c,其中μ為地球引力常數[8]。則有

將式(8)代入式(7),并進一步簡化可得控制加速度acontrol

3 速度增量計算方法

設參考星六個軌道要素為

其中,a為軌道半長軸,e為偏心率,i為軌道傾角,Ω為升交點赤經,w為近地點幅角,f為真近點角。注意,近地點幅角w與角速度ω的區(qū)別。由衛(wèi)星軌道理論知,參考星軌道坐標系的旋轉角速度 ω為

將式(10)、(11)代入式(9),可得控制加速度 acontrol的表達式為

3.1 a control函數的零點

設acontrol=(acxacyacz)T,要對式(13)進行計算,必須首先求式(12)中acontrol三個分量函數的零點。設y=kx,則式(12)可寫成

由式(14)知,acx存在零點的充要條件為

即

由式(14)知,acy存在兩個零點,記為 f =θy1、f=θy2,可表示為

3.2 a control函數的積分

根據式(10)可得

則一個軌道周期內x方向的速度增量ΔvTx可表示為

如果式(16)不成立,則acx在一個周期內方向始終不發(fā)生變化,ΔvTx可表示為

同理可得一個軌道周期內y方向的速度增量 ΔvTy

一個軌道周期內z方向的速度增量ΔvTz為

速度增量 ΔvT可表示為

3.3 速度增量計算公式

下面推導速度增量 ΔvT的具體表達式。由式(14)知,式(13)可分為三個函數的積分,分別為

將式(19)代入式(12)可得

其中,c為積分常數。

如果式(16)成立,即acx存在零點,則將式(26)、(27)、(28)代入式(14)可得 acx的積分表達式為

將式(29)代入式(20),即可得到acx存在零點情況下x方向的速度增量。

如果式(16)不成立,即acx不存在零點,表明x方向的推力在一個軌道周期內方向不會發(fā)生變化,根據式(21)和(29)可得

同理,可得acy的積分表達式為

將式(31)代入式(22),即可得到y(tǒng)方向的速度增量。

同理,acz的積分表達式為

在一個軌道周期內的速度增量 ΔvTz為

將式(30)、(32)、(34)代入式(24),即可得到一個軌道周期內總的速度增量 ΔvT。

需要特別指出的是:若x=0,且y≠0,則y=kx不再成立。此時 x軸及y軸方向的速度增量分別為

3.4 e≠0與e=0時幾點不同結論

根據控制加速度式(12)以及上述速度增量的表達式可以得出,參考軌道為橢圓軌道相比參考軌道為圓軌道時有幾點顯著不同的結論。

(1)懸停的相對位置僅在徑向(x軸)有分量時,即所謂“懸掛伴飛”,圓參考軌道的控制加速度在軌道坐標系內為常值。橢圓參考軌道的控制加速度是關于偏心率和真近點角的函數,且在近地點和遠地點處取得極值。

(2)懸停的相對位置僅在 y軸方向有分量時,圓參考軌道的控制加速度為零。這是因為兩星軌道角速度近似相同,不需要控制就可以實現懸停。此時,橢圓參考軌道的控制加速度在 x軸及y軸兩個方向都存在分量,且是關于真近點角的函數。在近地點和遠地點x軸方向加速度為零,f=±90°時y軸方向加速度為零。

(3)在半長軸及懸停位置矢量相同的情況下,偏心率為零即圓參考軌道上的懸停伴飛需要的燃料是最少的,且燃耗隨著偏心率的增大而增加。

4 算例

設參考衛(wèi)星為“Molniya”,其軌道根數如表1所示。

表1中,長半軸單位為千米,角度單位為度。設伴隨衛(wèi)星在參考星徑向正下方實現“懸掛伴飛”,相對距離為1 km,即 l=(-1000 0 0)T。根據式(12)可得控制加速度關于真近點角f的函數表達式

表1 參考衛(wèi)星初始軌道根數Table 1 Initial orbit elements of chief satellite

圖3給出了一個軌道周期內,加速度隨真近點角的變化曲線。從圖及(37)式可以看出,總加速度在遠地點處取得極小值,約為9.11×10-6m/s2。

圖3 一個軌道周期內的加速度變化曲線Fig.3 Relationship between acceleration and true anomaly

圖4 速度增量與參考星長半軸的變化關系(e=0.741)Fig.4 Relationship between velocity increment and semi-major axis

根據式(30)、(32)、(34)可得,一個軌道周期內三個坐標軸方向的速度增量分別為 ΔvTx=9.915 m/s、ΔvTy=2.857 m/s以及 ΔvTz=0,總的速度增量大小為 ΔvT=10.317 m/s。在偏心率保持不變的條件下,改變參考衛(wèi)星的長半軸,得到維持上述構型所需速度增量與參考星軌道長半軸的變化曲線,如圖4所示。

同理,固定長半軸,速度增量與偏心率的關系如圖5所示。由圖5可以看出,在長半軸相同的條件下:所需速度增量隨偏心率的增加而增大,e=0即參考衛(wèi)星運行在圓軌道上時,所需速度增量最小;偏心率較小時,對速度增量的影響并不顯著;偏心率較大時,速度增量隨偏心率的增大而急劇增加。

圖5 速度增量與偏心率的變化關系(a=26553.375 km)Fig.5 Relationship between velocity increment and ecctricity

設伴隨星在參考星軌道坐標系的方位角為 α ,高度角為β,取值范圍分別為α∈[0,2π]、β∈[-1/2π,1/2π]。則伴隨星的位置矢量可寫成 l=l(sinβ cosβsinα cosβcosα)T。在相對距離不變的情況下,在不同位置實現懸停所需的速度增量如圖6所示。

圖6 一個軌道周期內速度增量在不同位置的等高線示意圖(a=26553.375 km,e=0.741,l=1 km)Fig.6 Velocity increment contour line during a orbital period

由圖6可以看出,速度增量受方位角的影響較小,而對高度角比較敏感,當伴隨衛(wèi)星處于參考星正上方或正下方時速度增量取到最大值。

5 誤差分析

以上結論都是在已知參考衛(wèi)星軌道的條件下得出的,實際上,參考衛(wèi)星的軌道總會存在一定的定軌誤差。因此,本節(jié)著重分析這些定軌誤差對懸停軌道設計的影響。

控制加速度acontrol可以寫成如下形式

則,定軌誤差對控制加速度的影響為

下面針對上節(jié)的懸停算例,定量分析各參數對推力的影響。

地心距r

將式(12)代入式(39),僅考慮徑向定軌誤差,并忽略高階小量,可得

考慮“Molniya”衛(wèi)星近地點徑向定軌精度100 m,代入上式可得d ac/ac＜4.3×10-5。

偏心率e

僅考慮偏心率定軌誤差

考慮偏心率定軌精度10-5,上式在遠地點取得最大值,代入數值可得d ac/ac＜1.4×10-5。

真近點角f

同理,僅考慮真近點角誤差,并假設真近點角定軌精度為10-5弧度,代入數值可計算得到:d ac/ac＜0.83×10-5

綜上所述,在徑向100 m、其它軌道根數10-5定軌精度條件下,由于定軌誤差引起的懸停推力偏差不足標準推力的萬分之一。

6 結束語

文章從懸停軌道的定義出發(fā),基于動力學原理,推導了針對任意類型參考軌道實現懸停的方法,突破了目前參考衛(wèi)星僅局限于圓軌道的限制。進一步推導了一個軌道周期內維持懸停需要的速度增量計算公式。以“Molniya”軌道為例,計算了實現“懸掛伴飛”需要的推力及速度增量,分析了速度增量與軌道高度、偏心率的關系,給出了燃料消耗與懸停相對位置的等高線視圖。最后定量分析了參考軌道定軌誤差對控制加速度的影響。文章提出的方法也可用于橢圓軌道的空間圓或水平圓等非自然編隊構型設計。

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