趙海軍

摘 要:在部分有關(guān)電磁場(chǎng)理論的教材中,編者討論短天線的輻射功率時(shí),由于作了某些近似處理而所得天線的輻射電阻值偏差較大。從天線輻射的電磁場(chǎng)理論和平均能流密度出發(fā),使物理概念和數(shù)學(xué)工具相結(jié)合,運(yùn)用矢量運(yùn)算推導(dǎo)出精確的結(jié)果,即電偶極子(短)天線的實(shí)際輻射電阻要比文獻(xiàn)中的近似結(jié)果小數(shù)十倍,因而為準(zhǔn)確把握天線的輻射能力提供了依據(jù)。

關(guān)鍵詞:電偶極子;電磁場(chǎng);天線;輻射電阻

中圖分類號(hào):TN82 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2009)21-074-02

Radiation Resistance of Electric Dipole Antenna

ZHAO Haijun

(College of Technology and Engineering,Lanzhou University of Technology,Lanzhou,730050,China)

Abstract:Deviation of the antenna radiation resistance seems larger in some textbooks about the electromagnetic theory for the editors have made some similar treatment when discussing the radiation power of short antenna.Combining the concept of physical with mathematical tools and the precise results are gained,that is the real radiation resistance of electric dipole (short) antenna is about ten times smaller than that of the approximate results in the actual literature by researching the electromagnetic field theory and average energy density.This offers evidence to grasp the radiated ability accurately.

Keywords:electric dipole;EMF;antenna;radiation resistance

0 引 言

交變運(yùn)動(dòng)中按特殊方式分布的電荷電流系統(tǒng)產(chǎn)生電磁波輻射。一種典型的裝置就是天線,天線是產(chǎn)生電磁波輻射的波源,所以天線輻射問題是電磁波輻射的基本問題。按結(jié)構(gòu)形式的不同,天線可分為線式天線和面式天線兩大類。線式天線可以看成由無限多個(gè)載有交變電流的基本小線元組成,即由電偶極子或磁偶極子組成。電偶極子是由兩個(gè)相距一定距離,帶等量異號(hào)電荷的導(dǎo)體球經(jīng)由細(xì)導(dǎo)線相連而成的系統(tǒng),以下討論電偶極子的輻射規(guī)律。

1 電偶極子的電磁場(chǎng)

假設(shè)一長(zhǎng)度非常短的直線電流元為Idl,其長(zhǎng)度dl遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)λ,即可近似地認(rèn)為其上各點(diǎn)的電流是等幅同相的,由于電流的流動(dòng),在電流元兩端出現(xiàn)等量異號(hào)電荷,一端為+Q,另一端為-Q,且電荷量的大小及正負(fù)均隨時(shí)間變化(如圖1所示)。由于天線可看成是由無數(shù)電偶極子的場(chǎng)疊加而成的結(jié)果,如果求出電偶極子的電磁場(chǎng)及天線上的電流分布,利用微積分就可求出天線所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)。

對(duì)于給定的交變電流,推遲勢(shì)為:

A(x,t)=μ4π∫J(x′,t-rc)rdV′(1)

已知線電流有JdV′=JdSdl=Idl(J為電流密度,dS是導(dǎo)線的橫截面積),又考慮到電流是簡(jiǎn)諧變化的,故上式積分值為:

A=μ4πIdlei(k?r-ωt)rez(2)

在球坐標(biāo)系中,A=Arer+Aθeθ+Aφeφ,由式(2)及圖1知:

A=Acos θer-Asin θeθ(3)

于是得:

Ar=Acos θ=μIdl4πrcos θei(k?r-ωt)

Aθ=-Asin θ=-μIdl4πrsin θei(k?r-ωt)

Aφ=0(4)

利用矢量式:×f=1rsin θ氮鄲(sin θfφ)-

礷θ鄲誩r+1r1sin θ礷r鄲-氮祌(rfφ)eθ+1r氮祌(rfθ)-

礷r鄲萫φ,將式(4)代入B=μH=×A,得:

×A=1r氮祌(rAθ)-礎(chǔ)r鄲萫φ

=(1r-ik)μIdl4πrsin θei(k?r-ωt)eφ(5)

所以得電偶極子產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為:

H=Hφeφ=(1r-ik)μIdl4πrsin θei(k?r-ωt)eφ(6)

利用麥克斯韋方程:×H=-iωεE,式(6)寫成如下形式:

Er=iωεο1rsin θ氮鄲(Hφsin θ)-礖θ鄲誩r

=Idl2πεοωr2(k+ir)cos θei(k?r-ωt)er

Eθ=iωεο1r1sin θ 礖r鄲-氮祌(rHφ)eθ

=Idl4πεοωr2(k+ir-ik2r)sin θei(k?r-ωt)eθ

Eφ=iωεο1r氮祌(rHθ)-礖r鄲萫φ=0(7)

由此可見,電偶極子產(chǎn)生的電磁場(chǎng)由式(6),式(7)確定,磁感線是圍繞極軸的圓周,電場(chǎng)線是經(jīng)面上的閉合曲線。

圖1 電偶極子的電磁場(chǎng)

2 電偶極子的輻射電阻

為了計(jì)算電偶極子的輻射電阻,首先求電偶極子輻射的平均能流密度,根據(jù)定義有:

=12Re(E*×H)=12ReereθeφE*rE*θ000Hφ

=12Re(E腸菻φer-E硆Hφeθ)

=12ReI2(dl)2sin2 θ16π2ωεor2(k3-i1r3)er+

i(1r2+k2)I2(dl)28π2ωε0r3sin θcos θeθ

=k3I2(dl)232π2ωε0r2sin2θer(8)

以電偶極子為中心做一個(gè)球面,將對(duì)該球面進(jìn)行積分即得輻射功率P:

P=∮dS=∮r2sin θdθdφ

=k3I2(dl)232π2ωε0∫2π0dφ∫π0sin3θdθ=k3I2(dl)212πωε0(9)

再考慮到波數(shù)k=ω/c=1/λ,則上式變?yōu)?

P=I212πε0cdlλ2(10)

設(shè)Ie為電流的有效值,Rr為等效輻射電阻,令P=I2eRr則:

P=12I2Rr(11)

將式(9)和式(11)進(jìn)行比較得天線的輻射電阻(單位為Ω)為:

Rr=16πε0cdlλ220dlλ2(12)

3 結(jié) 語

上述結(jié)論比鐘順時(shí)等編寫的《電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)》教材中所得結(jié)論小近40倍,比郭碩鴻編寫的《電動(dòng)力學(xué)》[6]教材中所得結(jié)論小近10倍。在這兩本教材中,編者考慮到dl瞀碩做了近似處理。由以上討論可知,天線的輻射電阻越大,表示在輸入電流一定時(shí)輻射功率越大,即天線的輻射能力就越強(qiáng),只有在知道天線的精確輻射電阻值的前提下,才能正確確定其輻射功率。

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