梅 瑞,張 超,張偉華

(1.河北北方學(xué)院理學(xué)院,河北張家口075000;2.北京北大方正軟件技術(shù)學(xué)院,河北廊坊065001)

1 彩票問題的介紹

目前彩票颶風(fēng)席卷全國(guó)大地,很多人為了獲得巨額的回報(bào)紛紛加入到彩民的行列.彩票的發(fā)行方式和發(fā)行種類越來(lái)越多,其中最為流行的當(dāng)數(shù)“傳統(tǒng)型”與“樂透型”.它們一般都是從一些特定的數(shù)字中選出一定數(shù)量的數(shù)字構(gòu)成一注,然后與搖出的中獎(jiǎng)號(hào)碼對(duì)照確定相應(yīng)的中獎(jiǎng)等級(jí).

隨著彩票的不斷發(fā)展,其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題也逐漸引起了許多專家學(xué)者的興趣,2002年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽就恰恰是以“彩票中的數(shù)學(xué)”作為參賽課題.彩票的中獎(jiǎng)對(duì)彩民來(lái)說(shuō)是極大的喜悅,然而這僅僅是一種偶然,其中包含著許多概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí),所以人們一開始的研究也只是集中在計(jì)算各等獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)及特殊情況的中獎(jiǎng)概率.例如[1-3],鄒植民,尹鐵開研究了電腦福利彩票中獎(jiǎng)號(hào)碼連號(hào)的概率.隨著對(duì)彩票關(guān)注程度的提高,大多數(shù)人把目光集中到了對(duì)彩票方案的評(píng)價(jià)上,主要是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)效用函數(shù)或判別函數(shù)來(lái)比較獎(jiǎng)金額與中獎(jiǎng)概率對(duì)彩民的吸引力,以衡量彩票的方案并給出建設(shè)性意見.例如,劉世民[4]等人就把彩票方案的優(yōu)劣歸結(jié)為其對(duì)彩民吸引力的大小,通過(guò)構(gòu)造經(jīng)濟(jì)中常用的效用函數(shù),把總的吸引力歸結(jié)為獎(jiǎng)金額與中獎(jiǎng)概率加權(quán)作用的結(jié)果進(jìn)而用層次分析法和熵值法確定相應(yīng)的權(quán)值對(duì)多種方案進(jìn)行了評(píng)價(jià).

彩票公司把每一期的銷售總額按比例分成兩部分,一部分留作獎(jiǎng)金,另一部分則用于福利事業(yè).彩票在獎(jiǎng)項(xiàng)的設(shè)置上分為高項(xiàng)獎(jiǎng)與低項(xiàng)獎(jiǎng),低項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金一般是固定的,而高項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金則是除去所有低項(xiàng)獎(jiǎng)后按一定的比例分配.如果某一期高項(xiàng)獎(jiǎng)落空相應(yīng)金額會(huì)流入獎(jiǎng)池中,加入到下一期的獎(jiǎng)金分配.購(gòu)買彩票中大獎(jiǎng)實(shí)際是大多數(shù)人成就了少數(shù)人獲得巨額回報(bào)的喜悅.從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看彩民的資金是部分返還給彩民,表面上彩票公司是收入大于支出不存在什么風(fēng)險(xiǎn),可問題恰恰出現(xiàn)在一等獎(jiǎng)的設(shè)置上.一般而言,一等獎(jiǎng)都會(huì)設(shè)有金額的上下限,當(dāng)中一等獎(jiǎng)的人數(shù)過(guò)多時(shí),就會(huì)出現(xiàn)每個(gè)人分得一等獎(jiǎng)金額小于下限.這時(shí)彩票公司就要進(jìn)行補(bǔ)償,而當(dāng)這個(gè)補(bǔ)償大到一定程度時(shí),彩票公司就會(huì)出現(xiàn)支出大于收入的情況.上述情況似乎是很少發(fā)生,但它總會(huì)是以正概率出現(xiàn),說(shuō)明彩票公司的確是面臨著風(fēng)險(xiǎn),這點(diǎn)也是本文研究彩票公司破產(chǎn)概率的意義所在.

2 彩票破產(chǎn)分析及相關(guān)符號(hào)

為了敘述的方便,約定下列記號(hào):

Pi表示第i等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率,Ni獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)數(shù)目,bi為第i等高項(xiàng)獎(jiǎng)的分配比例i=1,2,3,mi為第i等獎(jiǎng)的單注金額,S為總獎(jiǎng)金額,M為銷售總額,M′為獎(jiǎng)池中的金額,N為一期的投注數(shù).

這里需要指出的是 N一般是隨機(jī)的,可為了研究方便用它的期望n(E[N]=n)來(lái)替代 N,并且n足夠大.Ni,i=1,2,…,k為一些隨機(jī)變量,它們服從參數(shù)為 (n,pi)的二項(xiàng)分布 (B (n,pi))[5].由假設(shè) (2)可知,B (n,pi)i=1,2,…,k是相互獨(dú)立的.

為了研究彩票中的風(fēng)險(xiǎn)問題,做出一些假設(shè),建立數(shù)學(xué)模型:①總獎(jiǎng)金占總銷售額的比例為 r,投注者單注金額為e元;②若已得到高級(jí)別的獎(jiǎng),則不再兼得低等獎(jiǎng);③總共有k項(xiàng)獎(jiǎng),其中一、二、三等獎(jiǎng)為高項(xiàng)獎(jiǎng),后面的為低項(xiàng)獎(jiǎng),低項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金固定,高項(xiàng)獎(jiǎng)按比例分配;④一等獎(jiǎng)單注保底金額為l元,封頂金額為 u元,若一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金不足l元時(shí),則需要補(bǔ)足;⑤若某一期的高項(xiàng)獎(jiǎng)沒有領(lǐng)取,則自動(dòng)流入下期一次累計(jì),這樣獎(jiǎng)池中存在一定數(shù)目的金額.

以上的假設(shè)都是從現(xiàn)實(shí)的彩票規(guī)則中抽象出來(lái),具有很好的代表性和合理性.

3 彩票的破產(chǎn)概率[6]

如同在精算學(xué)中對(duì)保險(xiǎn)公司破產(chǎn)的分析,本節(jié)也將研究彩票公司在某一期彩票發(fā)行時(shí)導(dǎo)致支出大于收入的概率.

彩票公司每發(fā)行一期彩票就會(huì)得到一筆銷售資金M,同時(shí)支出一筆資金S作為獎(jiǎng)金,而在獎(jiǎng)池中也存在一定數(shù)目的資金M′,當(dāng)S-M-M′＞0發(fā)生時(shí),本期的彩票發(fā)行就宣告破產(chǎn).

就是彩票的破產(chǎn)概率.

對(duì)于高等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金有如下的計(jì)算方法:

當(dāng)l≤E[m1]≤u或E[M1]＞u時(shí),M r就全部作為獎(jiǎng)金返還給彩民,這是彩票公司不會(huì)面臨破產(chǎn),而當(dāng) E[m1]＜l時(shí),彩票公司就要對(duì)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金進(jìn)行補(bǔ)償,在這種情況下我們就需要關(guān)注概率(1).而由假設(shè)可知彩票公司并不是把所有的銷售資金用作獎(jiǎng)金,其中的 Mr作為獎(jiǎng)金,剩余的用于福利事業(yè).所以說(shuō)對(duì)于 (1)式可以等價(jià)為

關(guān)于 (2)我們有

定理1 (2)式的概率函數(shù)為

其中b(xi;n-?,pi),i=1,4,…,k表示二項(xiàng)分布B (n-?,pi),i=1,4,…,k的概率函數(shù),?表示 (3)中任意的 xk,xk+xk-1……xk+xk-1+…+x5.

由上式可直接得出 (3)式.

推論1 由定理1可得

其中 [M′+ne(b1r+1-r)]是指 M′+ne(b1r+1-r)的整數(shù)部分.

對(duì)于 (2)_式,表達(dá)過(guò)于復(fù)雜,可以用下面的式子來(lái)近似它:

下面可由克爾科夫 (Markov)不等式[7],得到 (2)式的一個(gè)上界.

定理2 對(duì)于彩票破產(chǎn)概率 (2),可以得到一個(gè)上界,即

定理3 彩票破產(chǎn)概率 (2)的一個(gè)下界表達(dá)如下

下面再介紹 (2)式的一個(gè)下界.

定理4 彩票破產(chǎn)概率 (2)的一個(gè)下界表達(dá)如下

證明

對(duì)于 (4)、(5)式,可以用更簡(jiǎn)單的形式表達(dá),不過(guò)首先要介紹一些知識(shí)作為鋪墊.

其中0＜x＜1,a＞0,b＞0為參數(shù),由 (7)式定義的函數(shù)稱為不完全貝塔函數(shù).通過(guò) (6)式和 (7)式,可以定義一個(gè)非常重要的工具,即不完全貝塔函數(shù)比,具體表達(dá)如下

于是對(duì)二項(xiàng)分布的分布函數(shù)B(x;n,p),就有

引理1 二項(xiàng)分布的分布函數(shù)B(x;n,p)與不完全貝塔函數(shù)比有如下關(guān)系:

關(guān)于引理1的具體證明可參照方開泰[8]等.

由定理3及引理1可得 (4)式的一個(gè)簡(jiǎn)化表達(dá)式,即

推論2

由定理4及引理1可得 (5)式的一個(gè)簡(jiǎn)化表達(dá)式,即

推論3

4 結(jié) 論

通過(guò)上述討論得到彩票破產(chǎn)概率的上、下界,如果破產(chǎn)概率滿足l≤E[m1]≤u或 E[m1]＞u,則彩票公司不會(huì)面臨破產(chǎn),如果 E[m1]＜l,破產(chǎn)概率函數(shù)可通過(guò)分析二項(xiàng)分布函數(shù)與不完全貝塔函數(shù)關(guān)系得到,彩票公司就會(huì)出現(xiàn)破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn).

[1] 鄒植民,尹鐵開.電腦福利彩票中獎(jiǎng)號(hào)碼連號(hào)的概率 [J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2006,25(04)：4-5

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[4] 劉世民,王進(jìn).彩票方案的評(píng)價(jià) [J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2003,2(05)：74-80

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