滕 偉

(三亞航空旅游職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,海南三亞572000)

1 問題的提出

衛(wèi)星和飛船在國民經(jīng)濟(jì)和國防建設(shè)中有著重要作用,對它們的發(fā)射和運(yùn)行過程進(jìn)行測控是航天系統(tǒng)的一個(gè)重要組成部分,理想狀況是對衛(wèi)星和飛船 (特別是載人飛船)進(jìn)行全程跟蹤測控.測控設(shè)備只能觀測到所在點(diǎn)切平面以上的空域,實(shí)際上每個(gè)測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3℃以上的空域.在一個(gè)衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運(yùn)行過程中,往往有多個(gè)測控站聯(lián)合完成測控任務(wù).例如測控站與衛(wèi)星軌道共面的情形下,往往需要兩個(gè)測控點(diǎn)共同監(jiān)測一顆衛(wèi)星,即在計(jì)算時(shí)需要將測控站的可測區(qū)域重疊,讓衛(wèi)星始終運(yùn)行在兩個(gè)測控站可測區(qū)域的交集內(nèi);又如衛(wèi)星軌道與赤道平面有固定夾角的情形下,需要三個(gè)不共圓的測控站聯(lián)合作業(yè).但在實(shí)際中,理論研究需要提供優(yōu)化方案,所以只求最少測控站數(shù)量.另一種情況是橢圓形衛(wèi)星軌道,由于近地、遠(yuǎn)地點(diǎn)的軌道高度相差較大,加之地球自轉(zhuǎn)的影響,使得歐式幾何顯得力不從心.本文僅從理論上討論圓形衛(wèi)星軌道的測控范圍,對于撓率不同的橢球軌道面,只需對結(jié)論乘以相應(yīng)權(quán)數(shù)即可得到近似解[1].本文基于以上討論建立衛(wèi)星全程測控的數(shù)學(xué)模型,并解決以下兩個(gè)問題：1.在所有測控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下至少應(yīng)該建立多少個(gè)測控站才能對其進(jìn)行全程跟蹤測控?2.如果一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定的夾角,且在離地面高度為H的球面S上運(yùn)行.考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)衛(wèi)星運(yùn)行過程中相繼兩圈的經(jīng)度差異,至少應(yīng)該建立多少個(gè)測控站才能對該衛(wèi)星可能飛行的區(qū)域全部覆蓋?

2 模型的基本假設(shè)

2.1 模型環(huán)境假設(shè)

(1)將地球視為規(guī)則球體,固有半徑為6 400 km;

(2)以地球的赤道平面為水平面建立系統(tǒng),實(shí)際平面則應(yīng)相對加上23°50′;

(3)地面測控站不會(huì)因?yàn)閺?fù)雜的地理環(huán)境或氣象因素而減小觀測范圍,每個(gè)觀測點(diǎn)的觀測范圍均視為相等;

(4)將衛(wèi)星運(yùn)行軌道視為圓形或近似圓形,不考慮橢圓形軌道的情況;

(5)測控站包括陸地觀測點(diǎn)和海上流動(dòng)觀測船,在觀測衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)都視為無故障發(fā)生.

2.2 模型符號約定

ceil,正向取整;H,衛(wèi)星或飛船與地面的垂直距離;R,地球固有半徑,約為6 400 km;α,衛(wèi)星運(yùn)行軌道與赤道平面的夾角;β,某緯線圓上兩相鄰測控站在該圓上所對應(yīng)的圓心角;θ,測控站在衛(wèi)星運(yùn)行球面S上的可測球冠對于地心的平面圓心角的半角;n,需要建立測控站的最少緯線圈數(shù);N,某緯線圓上所需要的最少測控站個(gè)數(shù);γ,某緯線圓所在的緯度;r,某緯線圓的半徑;C,某緯線圓的周長;SAB,某緯線圓上兩個(gè)相鄰測控站A、B之間的球面弧長;ε,一個(gè)正無窮小.

3 模型求解

現(xiàn)行衛(wèi)星主要分為低軌衛(wèi)星、中高軌衛(wèi)星、高軌衛(wèi)星、極地軌道衛(wèi)星和地球同步衛(wèi)星[2],各類衛(wèi)星基本是由軌道高度進(jìn)行分類的.在此模型中,我們將先從理論層面入手,在考慮到全程覆蓋和方案優(yōu)化的情況下討論測控站的個(gè)數(shù).以下將衛(wèi)星或飛船統(tǒng)稱為衛(wèi)星.

圖1 共面狀況

3.1 測控站與衛(wèi)星運(yùn)行軌道共面

此時(shí)不考慮地球自轉(zhuǎn)因素,問題可簡化至平面圖形中討論.如圖1所示,內(nèi)圓為地球大圓,外圓為衛(wèi)星軌道,點(diǎn) A為任一測控站所在點(diǎn),設(shè)線段AB長為x,則

設(shè)θ為該測控站在運(yùn)行軌道上的測控弧長所對應(yīng)的圓心角的半角,下面計(jì)算θ

因一個(gè)測控站所覆蓋的圓心角為2θ,則地球大圓上至少需要的測控站個(gè)數(shù)為:

3.2 當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定夾角,且考慮地球自轉(zhuǎn)因素.

如圖2所示,O為地心,OG為赤道上一條半徑,以北半球?yàn)槔?E為衛(wèi)星所在位置,D為地表任一測控站,OE所在的斜圓周為衛(wèi)星的運(yùn)行軌道,∠EOG為衛(wèi)星運(yùn)行軌道與地球赤道平面的固定夾角,記為α,以 EF為直徑的球冠 (記為圓面 EF)為測控站D在衛(wèi)星運(yùn)行球面S上的可測范圍[3].

為了盡量做到全程測控,并考慮到優(yōu)化效果,特假定圓面EF在E點(diǎn)處與衛(wèi)星運(yùn)行軌道相切.由于衛(wèi)星軌道與赤道平面保持夾角α運(yùn)行,可將α視為已知量.在地球自轉(zhuǎn)與衛(wèi)星運(yùn)行的相互作用下,測控站 D以北及南半球?qū)ΨQ測控站以南的高緯度區(qū)域不再設(shè)置測控站,顯然,測控站分布區(qū)域理論上關(guān)于赤道對稱[4].

圖2 固定軌道夾角的一般狀況

實(shí)際上,立體OEF為以圓面 EF為底的類錐體,有限平面OEF為該錐體的縱向最大截面,故設(shè)θ=∠DOE=∠DOF,由此可知,測控站D所在的緯度為γ=α-θ.

設(shè)A、B兩點(diǎn)為D所在同緯度圓上的兩個(gè)相鄰測控站,A’、B’分別為兩站在運(yùn)行球面S上可測區(qū)域的球冠頂點(diǎn),連結(jié)OA、OB,分別延長至A’、B’,設(shè)兩塊可測區(qū)域相切于點(diǎn) C,連結(jié) OC及弦AB,可見點(diǎn)O、A、B、A’、B’、C共面,且

則∠AOB=2θ,因 OA=OB=R,則 |AB|=2R sinθ.

設(shè)該緯度緯線圓半徑 r=O′A=O′B,則該圓周長 C=2πr.

設(shè)弦AB所對應(yīng)的圓心角為β,因

以下基于α與θ的大小關(guān)系進(jìn)行討論[2],我們規(guī)定0≤α≤π(在實(shí)際問題中會(huì)出現(xiàn)π＜α＜2π的情況,例如常見軌道夾角202°,當(dāng)π≤α≤2π時(shí),我們將赤道下方的夾角看作負(fù)角,可通過赤道平面的對稱性將其轉(zhuǎn)換到0≤α≤π中討論,于是規(guī)定0≤α≤π).

當(dāng)α=0或α=π時(shí),衛(wèi)星運(yùn)行軌道在地面上的投影為赤道本身,所有測控站與運(yùn)行軌道共面,可歸納為情況3.1;

圖3 0＜α≤θ

圖 4 θ＜α≤2θ

圖 5 2θ＜α＜π

3.2.1 如圖3所示,當(dāng)0＜α≤θ時(shí)

3.2.2 如圖4所示,當(dāng)θ＜α≤2θ時(shí)

3.2.3 當(dāng) 2θ＜α＜π時(shí)

對于較γ1圈低緯度處是否仍需要設(shè)置測控站取決于θ的具體值,而由公式 (1)可知,半圓心角θ與衛(wèi)星高度 H成正比,我們將在模型評價(jià)一節(jié)對此進(jìn)行說明.

現(xiàn)假設(shè)存在低緯度圈γ2處的 N2個(gè)測控站,但若對稱測控站在衛(wèi)星的運(yùn)行球面S上的可測區(qū)域無法覆蓋赤道,至少無法在赤道處相切,則仍需在赤道設(shè)置測控站,由第2.1—(1)種情況的結(jié)論可知,該圈測控站數(shù)量為,則

4 模型驗(yàn)證

神舟七號飛船的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:α=42.2°,H=343 km

表1 神舟七號測控站名稱及對應(yīng)緯度

以此驗(yàn)證模型的理論結(jié)果

1)由公式 (1)可知

顯然有2θ＜α＜π,屬于3.2.3的討論范圍,運(yùn)用其結(jié)論可得

N=16

其中,因?yàn)?/p>

即需在三個(gè)不同緯度設(shè)置測控站,因此公式中 N2及其之后的情況不會(huì)出現(xiàn)

2)對表格中測控站的分布信息觀察發(fā)現(xiàn),神舟七號實(shí)際擁有測控站個(gè)數(shù)為16個(gè) (11個(gè)陸地測控站和5個(gè)海洋測控站),與理論結(jié)果一致.

再觀察其測控站所在緯度范圍可大致看出,16個(gè)測控站基本分布在赤道及南北緯附近40°的區(qū)域內(nèi),其中太平洋、大西洋分別設(shè)置了5個(gè)海洋測控站,可在同緯度海域內(nèi)自由運(yùn)行,以彌補(bǔ)該緯度陸地測控站的不足[5].根據(jù)理論結(jié)果可得γ=α-θ≈26.6°.

也就是說,設(shè)置測控站的理論最高緯度為南北緯26.6°,但若觀察喀什站就可發(fā)現(xiàn),該站的緯度已接近北緯40°.在理論推導(dǎo)過程中發(fā)現(xiàn),當(dāng)26.6°處“相切”時(shí),除了切點(diǎn)處的“瞬時(shí)測控”外,其他區(qū)域均為測控盲區(qū),這是沒有意義的.因此測控站的設(shè)置適當(dāng)向高緯度地區(qū)延伸是為了提高測控的覆蓋率,以減小衛(wèi)星經(jīng)過時(shí)的觀測盲區(qū),具有十分現(xiàn)實(shí)的意義.

但是仍然看到,在衛(wèi)星運(yùn)行至北大西洋、北美洲上空時(shí)出現(xiàn)大片測控盲區(qū),除此之外,同緯度上的太平洋及我國本土測控均有較好的覆蓋率,數(shù)據(jù)顯示神舟七號的測控覆蓋率為80%左右,若在北美洲等地設(shè)置新的測控站則可有效提高此覆蓋率.

5 模型評價(jià)

本文對衛(wèi)星測控站的設(shè)置方法進(jìn)行了理論分析和數(shù)據(jù)驗(yàn)證,得出的結(jié)論具有普遍性,具體分析過程多采用初等數(shù)學(xué)方法,但在結(jié)論中仍存在測控“盲區(qū)”,表現(xiàn)為可測區(qū)的相切圓縫隙.由圓的性質(zhì)可知,圓相切時(shí)會(huì)產(chǎn)生“縫隙”,即“盲區(qū)”.若需進(jìn)一步理論研究,則可將第四節(jié)中的θ角適當(dāng)縮小,使可測區(qū)域邊緣發(fā)生“重疊”從而縮小盲區(qū)范圍.但在實(shí)際中,地理、國情、經(jīng)濟(jì)等諸多因素仍使測控站的設(shè)置方法受到嚴(yán)重制約.為此,我們提供的模型在理論研究層面較為完備,但考慮到實(shí)際應(yīng)用時(shí),建議采用陸地與海洋測控相結(jié)合的辦法,既在理論上保證了同緯度、全運(yùn)行中的最大監(jiān)控效果,又使海洋測控法及時(shí)彌補(bǔ)了該緯度陸地測控力所不能及的空缺[6].

下面對實(shí)際問題進(jìn)行若干舉例:

2)對于地球同步衛(wèi)星[8,9],因其始終停留在赤道上空某固定點(diǎn),可知在赤道上對應(yīng)點(diǎn)處設(shè)置一個(gè)測控站即可,且此類衛(wèi)星要求在高度為36 000 km的軌道上運(yùn)行;

3)低軌衛(wèi)星、中高軌衛(wèi)星和高軌衛(wèi)星的運(yùn)行高度有極大差別,例如,低軌衛(wèi)星的軌道高度可低至200 km,而“嫦娥一號”這種高軌衛(wèi)星的運(yùn)行高度竟可達(dá)1.3×106km,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過地球半徑,二者對應(yīng)的半圓心角θ大致分別為11.4°和86.7°,這就成為了理論研究的一個(gè)絆腳石,即在這種極端狀況下幾乎無法進(jìn)行測控站的設(shè)置分析,但同時(shí)也為我們提供了一個(gè)理論依據(jù),即θ取值范圍.其實(shí),“嫦娥一號”等高軌衛(wèi)星也是在不斷變軌的,或許夾角更大,或許軌道更高,所以我們應(yīng)該考慮衛(wèi)星的實(shí)際效用,簡化理論分析,以使模型發(fā)揮最大功用.

圖6 中國衛(wèi)星測控站觀測覆蓋區(qū)

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