吳六政

(四川公路工程咨詢監(jiān)理公司,四川成都 610041)

協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間算法的梁橋模態(tài)參數(shù)識別

吳六政

(四川公路工程咨詢監(jiān)理公司,四川成都 610041)

基于狀態(tài)空間系統(tǒng)識別理論和算法,對隨機子空間識別算法的特性,適用性及其在橋梁模態(tài)參數(shù)識別中的應(yīng)用進行了研究。首先由QR分解計算由系統(tǒng)輸出組成的Hankel矩陣,并構(gòu)建基于輸出的自協(xié)方差Topelitz矩陣,再對該矩陣進行奇異值分解(SVD),獲取系統(tǒng)的可觀測矩陣及可控制矩陣,依據(jù)協(xié)方差驅(qū)動的隨機子空間算法構(gòu)建結(jié)構(gòu)離散狀態(tài)矩陣并進行特征值分解,從而識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。編制了協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間算法識別橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的 Matlab程序,以某三跨連續(xù)梁橋梁的模態(tài)參數(shù)識別為例,驗證了方法的可靠性和可行性。結(jié)果證明,協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間算法可應(yīng)用于實際橋梁的模態(tài)參數(shù)識別中。

環(huán)境振動; 隨機子空間識別; 協(xié)方差; 模態(tài)參數(shù)

不同于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別,基于輸出的模態(tài)參數(shù)識別是在激勵未知的情況下對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行辨識。針對此類問題的辨識方法總體上可以分為頻域法和時域法兩類。頻域法概念直觀、運算簡單,但其識別效果不盡人意,且需要人工干預(yù),不利于實現(xiàn)在線監(jiān)測;時域法人工干預(yù)的依賴少,更適合于橋梁狀態(tài)自動監(jiān)測和報警系統(tǒng)。

隨機子空間(SSI)算法作為基于環(huán)境振動輸出識別方法中效果最好的方法之一,將其運用于結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別時仍有很多困難,如Hankel矩陣尺寸的確定,系統(tǒng)的自動定階,運算時間長等。本文考慮工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的要求,對基于協(xié)方差驅(qū)動的隨機子空間算法進行了改進,并將其運用于某三跨連續(xù)梁模態(tài)參數(shù)在線識別的數(shù)值算例中,得到了較理想的效果。

1 協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間

隨機子空間法假設(shè)所用響應(yīng)時程是隨機平穩(wěn)過程。它是以系統(tǒng)的離散時間狀態(tài)空間模型為基礎(chǔ),輸入和噪聲項由白噪聲代替即系統(tǒng)的輸入隱含在噪聲項中,利用白噪聲的統(tǒng)計特性進行計算,得到結(jié)構(gòu)的狀態(tài)序列,應(yīng)用矩陣 QR分解和奇異值分解(SVD)以及最小二乘等方法來識別離散后的系統(tǒng)離散狀態(tài)空間矩陣,以達到識別模態(tài)參數(shù)的目的。圖示出協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間模態(tài)參數(shù)識別流程圖,本文僅從Hankel矩陣和系統(tǒng)階數(shù)的確定以及模態(tài)參數(shù)的提取等方面進行討論。

圖1 協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間模態(tài)參數(shù)識別流程

1.1 Hankel矩陣的確定

Hankel矩陣行塊數(shù)2i和列數(shù)j的確定是非常重要的,它直接影響著識別的精度,甚至可能根本識別不出結(jié)構(gòu)的部分模態(tài)參數(shù)。參數(shù) j一般是越大越好,因為它確保給出系統(tǒng)離散狀態(tài)矩陣 A和輸出矩陣C的一致估計,實際操作中應(yīng)使矩陣列數(shù)j>20i。

1.2 確定系統(tǒng)階次n

Toeplitz矩陣的秩就是非零奇異值的數(shù)量,也是系統(tǒng)的階次,隨機子空間識別系統(tǒng)的重點和難點也是系統(tǒng)的階次確定。本文利用奇異值的跳躍來確定系統(tǒng)的階次,每兩個奇異值對應(yīng)于一階系統(tǒng)模態(tài),所以,系統(tǒng)的階次就是奇異值跳躍點之前的所有奇異值個數(shù)的二分之一。

1.3 模態(tài)參數(shù)的提取

由于系統(tǒng)狀態(tài)向量不一定有特定的物理意義,因此狀態(tài)空間模型的特征向量 Χ必須轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)的振型。可以計算出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)第 i階固有頻率fi、阻尼比si以及振型Υi分別為:

式中,λi表示系統(tǒng)特征值,λi和 λi互 為共軛,Χ是以特征向量為列向量組成的 n階矩陣。

2 試驗驗證

按上述SSI算法,以MATLB為開發(fā)平臺,編制了相應(yīng)的橋梁模態(tài)參數(shù)識別程序,并以某等截面連續(xù)梁橋為例,驗證了本文方法及程序的正確性。該橋的跨徑組成為 3×40m,橋梁的全長120m,截面高度2.1m,橋面寬12.3m。圖示出了該橋的計算模型,全橋共劃分 30個單元,31個節(jié)點,單元長度4m。

安裝傳感器的測試節(jié)點共 15個,即在第 2,4,6,…,26, 28,30個節(jié)點處設(shè)置傳感器。每次測試得到 15條時程響應(yīng)記錄數(shù)據(jù),即輸出通道數(shù)為 15。試驗中采樣頻率選為 100 Hz,測試時長 20.47 s,即測得的 2 047個時間點上的數(shù)據(jù)。振動測試中總是不可避免地存在噪聲的影響,利用Matlab產(chǎn)生隨機數(shù)模擬高斯白噪聲,本文計算過程中的噪聲水平考慮為5%。

圖2 連續(xù)梁橋結(jié)構(gòu)計算簡圖

2.1 系統(tǒng)階次的確定

隨機子空間方法識別中,系統(tǒng)階次是一個經(jīng)驗參數(shù),需要事先給定,本文根據(jù)Toeplitz矩陣非零奇異值的數(shù)量來確定系統(tǒng)的階次。在工程應(yīng)用中,系統(tǒng)識別的目的是得到比較準確的模態(tài)參數(shù)。雖然 i的取值幾乎不影響系統(tǒng)的階次,卻可以多取幾個不同的 i值,確保系統(tǒng)的階次更準確。對比無噪聲時的奇異值分解結(jié)果,加了噪聲之后,時程響應(yīng)得奇異值分解結(jié)果沒有受到太大的影響。

2.2 模態(tài)參數(shù)的識別

確定系統(tǒng)階次后,根據(jù)協(xié)方差驅(qū)動的隨機子空間方法,識別出結(jié)構(gòu)的前 5階模態(tài)參數(shù):自振頻率、模態(tài)和阻尼。表 1示出了結(jié)構(gòu)的自振頻率和阻尼。圖 3示出了前兩階振型。同時對時程響應(yīng)進行 FFT變換,并求出自功率譜如圖 4所示。從連續(xù)梁橋的輸出自功率譜圖形可以看出,其峰值階次無間斷,且對應(yīng)的頻率值和隨機子空間識別一致。

圖3 SSI識別模態(tài)結(jié)果

圖4 測試數(shù)據(jù)的自功率普圖

由表 1可知,協(xié)方差驅(qū)動的隨機子空間算法識別出的模態(tài)參數(shù)與計算的模態(tài)參數(shù)非常接近,前 4階頻率的識別誤差在 1%之內(nèi),第 5階識別的誤差較大,接近 5%。

3 結(jié) 論

有上述理論研究和數(shù)值實驗研究可得如下結(jié)論:

(1)協(xié)方差驅(qū)動的隨機子空間模態(tài)參數(shù)識別能夠正確地識別橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù),具有一定的識別精度;

(2)Hankel矩陣的i值和系統(tǒng)的階次系統(tǒng)的確定,是協(xié)方差隨機子空間法識別模態(tài)參數(shù)的重要過程,目前還沒有統(tǒng)一的通用的方法,其值的選定直接影響識別結(jié)果;

(3)數(shù)據(jù)量的大小也影響識別結(jié)果,在條件允許的情況下,應(yīng)盡可能采用較多的數(shù)據(jù)進行計算;

(4)由于隨機子空間理論上Hankel矩陣的列數(shù)j應(yīng)該趨于無窮大,實際上不可能實現(xiàn)無窮大,要求j>>i就可以了,由此得到的Toep litz矩陣也有一定的近似性。

(5)協(xié)方差驅(qū)動的隨機子空間方法計算數(shù)據(jù)量非常大,應(yīng)尋找更快更穩(wěn)定的改進算法。

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2010-07-19