付宏偉

(孝感學(xué)院成人教育學(xué)院,湖北孝感432000)

M-P廣義逆矩陣的一些性質(zhì)

付宏偉

(孝感學(xué)院成人教育學(xué)院,湖北孝感432000)

給出了M-P廣義逆矩陣的一些重要性質(zhì)。

M-P廣義逆矩陣;共軛轉(zhuǎn)置陣;滿(mǎn)秩分解

廣義逆矩陣是20世紀(jì)20年代初由Moore提出的,但在當(dāng)時(shí)并未引起人們的注意。直到20世紀(jì)50年代中期,又由 Penrose提出,情況就發(fā)生了根本的變化,廣義逆矩陣成為了矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)研究熱點(diǎn)[1-3],這主要源于它的廣泛應(yīng)用。目前,它已在概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、數(shù)值分析、控制論、博奕論和網(wǎng)絡(luò)理論等領(lǐng)域中得到了不同程度的應(yīng)用。

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)任意一個(gè)m×n矩陣A,Penrose(1955)用下面的4個(gè)方程定義了A的廣義逆矩陣X:

其中A＊表示A的共軛轉(zhuǎn)置陣。用Penrose條件的全部或一部分可以定義各種類(lèi)型的廣義逆矩陣,但本文研究的是滿(mǎn)足以上4個(gè)條件的廣義逆矩陣 X,并把這樣的廣義逆矩陣稱(chēng)為Moo re-Penrose廣義逆矩陣,簡(jiǎn)稱(chēng)M-P廣義逆,記為A+。由以上定義可知,對(duì)于一個(gè)可逆的方陣 A,其逆矩陣A-1顯然滿(mǎn)足以上4個(gè)矩陣方程,由此可知,M-P廣義逆是通常的逆矩陣的概念對(duì)于不可逆矩陣的推廣。

符號(hào)說(shuō)明:設(shè) A ∈Cm×n,則 A+∈Cm×n,

1)η(A)表示矩陣A的左右對(duì)折陣,τ(A)表示矩陣A的上下對(duì)折陣;

2)γx(A)表示矩陣 A上移 x行之后的矩陣,λx(A)表示矩陣 A左移x列之后的矩陣。于是,γ-x(A)就表示矩陣 A下移 x行之后的矩陣,λ-x(A)就表示矩陣A右移x列之后的矩陣,而且,γ-x(A)=γm-x(A),λ-x(A)=λn-x(A);

3)τi,j(A)表示矩陣 A的第i行與第j行交換之后的矩陣,ηi,j(A)表示矩陣A的第i列與第j列交換之后的矩陣,i＜j。

2 主要結(jié)果

性質(zhì)1任何秩為 r的m×n矩陣A,它的M-P廣義逆矩陣存在且唯一。

證明若rank(A)=0,則A為m ×n零矩陣,顯然,n×m零矩陣滿(mǎn)足M-P廣義逆矩陣定義中的條件(1)～(4)。

若rank(A)＞0,對(duì)A作滿(mǎn)秩分解:A=GH,其中G與 H分別是數(shù)域F上的秩為r的m×r和r×n矩陣,易知 G＊G與 H＊H均是r階非奇異方陣,且(G＊G)-1G＊與 H＊(H H＊)-1分別是G與 H的 M-P 廣 義 逆, 令 B = H＊(HH＊)-1(G＊G)-1G＊,可驗(yàn)證,B滿(mǎn)足M-P廣義逆矩陣定義中的條件(1)～ (4)。故B是A的M-P廣義逆。

再證唯一性:設(shè) C也是A的M-P廣義逆,則

性質(zhì)2對(duì)任意秩為 r的矩陣A,都有以下結(jié)論:

1)若 A可逆,則 A+=A-1;

2)(-A)+=-A+;

3)(A+)+=A;

4)(A＊)+=(A+)＊,(A′)+=(A+)′;

5)A=AA＊(A+)＊=(A+)＊A＊A;

6)A+=A+(A+)＊A＊=A＊(A+)＊A+;

7)(A＊A)+=A+(A+)＊;

8)A+=(A＊A)+A＊=A＊(AA＊)+

以上結(jié)論的證明由M-P廣義逆矩陣的定義很容易驗(yàn)證得到,證明略。

性質(zhì)3設(shè)矩陣A的M-P廣義逆為A+,則η+(A)=τ(A+),τ+(A)= η(A+),并且,Aτ+(A)=η(A)A+,A+τ(A)=η(A+)A。

證明設(shè) A ∈ Cm×n,則 A+∈ Cn×m,令 P=,則η(A)=AP,τ(A)=QA=,τ(A+)=PA+,η(A+)=A+Q, 且PP=In,P＊=P,QQ=Im,Q＊=Q。由于 AA+A=A,A+AA+=A+,(AA+)＊=AA+,(A+A)＊=A+A,則

故η+(A)=τ(A+)。

故τ+(A)η(A+)。

30直接驗(yàn)證易知 Aτ(A+)=η(A)A+,A+τ(A)=η(A+)A顯然成立。

性質(zhì)4設(shè)矩陣A∈Cm×n,其M-P廣義逆為A+∈Cn×m,則(A)=λx(A+),λ(A)=γy(A+),其中1≤|x|≤m-1,1≤|y|≤n-1,x,y∈Z。

證明令則 γx(A) = PA,λx(A+)=A+Q,λy(A)=AR,γy(A+)=SA+,且QP=Im,Q＊=P,P＊=Q,RS=In,R＊=S,S＊+R 因此,有

性質(zhì)5設(shè)矩陣A∈Cm×n,其M-P廣義逆為A+∈Cn×m,則(A) =ηi,j(A+),η(A) =τi,j(A+),i＜j。

則τi,j(A)=PA,ηi,j(A+)=A+P,ηi,j(A)=AQ,τi,j(A+)=QA+且 PP=Im,OO=In,P＊=P,Q＊=Q。因此,有

該定理實(shí)際上是性質(zhì)3和性質(zhì)4的一種推廣形式,因?yàn)槿魏我粋€(gè)矩陣的上下、左右對(duì)稱(chēng)陣和上下、左右平移陣均可由該矩陣經(jīng)過(guò)若干次行與行交換、列與列交換而得到。性質(zhì)5可以用一句簡(jiǎn)單的話(huà)概括為:已知矩陣的M-P廣義逆為A+,則矩陣A的行與行、列與列作怎樣的對(duì)換,其對(duì)換之后的矩陣的M-P廣義逆就在A+的基礎(chǔ)上作相應(yīng)的列與列、行與行對(duì)換而得到。

性質(zhì)6設(shè)則

證明由于

推論1設(shè) m×n矩陣A的元素全部由0和k組成,且每行、每列最多只含有一個(gè)k,k≠0,則把矩陣A的轉(zhuǎn)置陣A′中的所有元素k全部改為之后的矩陣即為矩陣的M-P廣義逆矩陣。

證明由于這樣的m×n矩陣A總可以通過(guò)若干次行與行交換、列與列交換變成形如的矩陣,因此,再由性質(zhì)5和性質(zhì)6即知命題成立。

[1] 彭曉珍.關(guān)于廣義逆矩陣的原矩陣的唯一性[J].湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2000(2):74-77.

[2] 褚庭有.廣義逆的兩個(gè)性質(zhì)[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào),1997(1):54-56.

[3] 區(qū)詩(shī)德.Moore-Penrose廣義逆矩陣的一些性質(zhì)[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001(2):19-22.

Some Properties of M-P Generalized Inverse Matrix

Fu Hongwei
(School of Adult Education,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China)

In this paper,we give some important properties of M-P generalized inverse matrix.

M-P generalized inverse matrix;associate matrix;full rank decomposition

O151.21

A

1671-2544(2010)增-0011-03

2010-03-31

付宏偉(1974— ),男,湖北孝昌人,孝感學(xué)院成人教育學(xué)院教師。

(責(zé)任編輯:鄒禮平)