羅玉文

(重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 重慶 400050)

0 引 論

對于一元函數(shù)來說,理解了Newton-Leibniz公式,就理解了全部的微積分.因為這個公式包含了微分與積分的全部的內(nèi)在關(guān)系,所以我們稱這個公式為微積分基本定理.對于多元函數(shù)來說,我們也有微分與積分的概念,那么,什么是多元函數(shù)微積分的基本定理呢?也就是說,什么是體現(xiàn)多元函數(shù)微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系的公式呢?

通過對Newton-Leibniz公式的分析,我們就會發(fā)現(xiàn),Newton-Leibniz公式說明的是：函數(shù)在區(qū)間邊界是的值,等于函數(shù)的微分在區(qū)間內(nèi)部的積分.如果依此分析,那么不難感覺到,在平面上,微積分的基本定理就應(yīng)該是Green公式[1],在空間的情形,應(yīng)該就是Gauss公式,而在曲面上,微積分基本定理就應(yīng)該是Stokes公式.而事實確實如此,但是要說明這一事實,不是一件容易的事,這里要用到外微分的概念.更進一步,這三個公式與Newton-Leibniz公式一起,在外微分的柜架下,可以用一個公式統(tǒng)一來表示,這就是廣義的Stokes公式.現(xiàn)在我們來敘述這一事實.

1 外微分

首先,我們定義外微分算子 d為滿足如下條件的微分算子[2-3]：

1.d2x= d(dx);

2.dxdy=-dydx;

3.如果f為一普通函數(shù),則 df為f的全微分.

我們再定義外微分形式如下[4]：

1.函數(shù)為零次外微分式;

2.一次外微分式為形如fidxi的線性組合,其中 fi為一函數(shù);

3.二次外微分式為形如fijdxidxj的線性組合,其中fij為一函數(shù);

4.三次外微分式為形如fijkdxidxjdxk的線性組合,其中 fijk為一函數(shù).

例如,f(x)dx為一次外微分式,Pdx+Qdy也是一次外微分式,Pdxdy+Qdydz是二次外微分式,Rdxdydz為三次外微分式.

再如,由外微分算子的定義,我們有

Pdxdy=-Pdydx,

而

上式中用到了 d2x=d2y=0,dxdx=0以及 dxdy=-dydx.

2 廣義Stokes公式

為了本文的需要,我們將廣義Stokes公式敘述成我們所要的形式

這里積分的重數(shù)與區(qū)域的維數(shù)一致.

這個公式的證明需要用到較多的流形的知識,我們略過,有興趣的讀者,可以參考本文所附文獻.

現(xiàn)在我們來說明,Green公式,Gauss公式和通常的Stokes公式,就是多元函數(shù)微積分的基本定理,而且都可以用廣義Stokes公式來表示.

首先,我們設(shè)

ω= P(x,y)dx+Q(x,y)dy

由第二節(jié)的計算,我們得到

代入廣義Stokes公式,我們就得到了Green公式[1].

再設(shè)

ω= P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dzdx

我們得到

再次代入廣義Stokes公式,我們就得到了Gauss公式[1].

最后,我們設(shè)

ω=Pdx+Qdy+Rdz

其中 P,Q,R為x,y,z的三元函數(shù),類似于上述計算,我們得到

由廣義的Stokes公式,我們就得到了通常的Stokes公式[1].

同樣的道理,Newton-Leibniz公式也可以由廣義Stokes公式來表示.事實上,廣義Stokes公式不止在三維以下的空間成立,在更一般維數(shù)的空間上都是成立的.在一維、二維、三維歐氏空間及曲面上,它的特殊形式就是Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式及Stokes公式.這個公式說明了外微分式在邊界上和積分與其外微分在區(qū)域內(nèi)部的積分之間的聯(lián)系,它表達了微分與積分之間的內(nèi)在聯(lián)系,所以它是所有維數(shù)下的微積分的基本定理,是微積分理論的頂峰與終點,是所有微積分理論的全部核心與關(guān)鍵.理解了這個公式,也就理解了全部的微積分.

[1]陳傳璋,等.數(shù)學(xué)分析 (下)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1988：334-335.

[2]陳省身,陳維桓.微分幾何講義 (第二版)[M].北京：北京大學(xué)出版社,2001：74-78.

[4]Steven H.Weintraub,Dierential forms,A complement to vector calculus[M].Acdemic Press,Inc.,San Diego,1997：1-34.

[5]Spivak.Calculus on manifolds[M].W.A.Benjamin,Inc.,New York,1965：109-137.