謝善娟

(寧德師范高等?？茖W(xué)校物理與電氣工程系,福建寧德 352100)

拋體運(yùn)動(dòng)是日常生活中一種常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象,也是力學(xué)教材中經(jīng)常討論的典型問(wèn)題.在考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí),拋體除受重力作用外,還受科里奧利力作用.在一般的理論力學(xué)教材中[1],科里奧利力的效應(yīng)多以自由落體為例進(jìn)行討論,有關(guān)文獻(xiàn)[2-4]也對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)作了分析.但在方法上通常都是使用傳統(tǒng)的解析法,采用了近似處理.本文將借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB,利用數(shù)值計(jì)算的方法,求得精確、直觀的結(jié)果,分析地球自轉(zhuǎn)對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響.

1 拋體運(yùn)動(dòng)方程

1.1 運(yùn)動(dòng)微分方程

在考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí),質(zhì)量為 m的拋體,其動(dòng)力學(xué)方程為：

其中ω為地球自轉(zhuǎn)角速度,v是拋體的速度.以北半球緯度為 r的某點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在地球上建立直角坐標(biāo)系 O-xyz,x軸沿地面水平向南,y軸沿地面水平向東,z軸垂直地面指向天頂.于是可得(1)式在O-xyz坐標(biāo)系內(nèi)的投影方程為[1]為：

(2)式是二階線性微分方程組,解析求解過(guò)程比較繁瑣,可以將其變換為一階線性微分方程組,然后利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值求解.

1.2 拋體運(yùn)動(dòng)軌跡

設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn) O處,以初速 v0、拋射角θ向正東拋出某物體,則初始條件為 t=0時(shí),x=y=z=0,=0,=v0cosθ,=v0sinθ.取緯度 r=40°、v0=400 m/s、θ=30°,用MATLAB求解微分方程組 (3),繪制出忽略地球自轉(zhuǎn)和考慮地球自轉(zhuǎn)兩種情況下的拋體運(yùn)動(dòng)軌跡圖 (如圖1所示).該圖說(shuō)明在考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí),由于科里奧利力的作用,拋體運(yùn)動(dòng)發(fā)生了偏移,以下針對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行具體分析.

2 拋體運(yùn)動(dòng)的偏移量分析

地球自轉(zhuǎn)使拋體的落地點(diǎn)發(fā)生了偏移.偏移量的大小與緯度、拋射角和初始速度的大小有關(guān).

圖1 忽略地球自轉(zhuǎn)和考慮地球自轉(zhuǎn)的拋體運(yùn)動(dòng)軌跡

2.1 緯度對(duì)偏移量的影響

設(shè) v0=500 m/s,分別取拋射角θ=50°和75°運(yùn)行程序,可得到圖2和圖3.

圖2 南北偏移量與緯度的關(guān)系

圖3 東西偏移量與緯度的關(guān)系

圖2給出了南北偏移量隨緯度的變化曲線.從圖2中可看出,在兩極南北偏移最大,而在赤道南北偏移為零.并且往正東方向發(fā)射的拋體,在北半球其落地點(diǎn)南偏,在南半球則為北偏.

圖3給出了東西偏移量隨緯度的變化曲線.圖3說(shuō)明,往正東方向發(fā)射的拋體,其落地點(diǎn)可能出現(xiàn)東偏或西偏.這種偏移的結(jié)果相當(dāng)于拋體的射程增大或減小.該效應(yīng)在赤道最顯著,而在兩極為零.

2.2 拋射角對(duì)偏移量的影響

圖4 南北偏移量與拋射角的關(guān)系

圖5 東西偏移量與拋射角的關(guān)系

圖4給出了南北偏移量隨拋射角的變化曲線.從圖中可看出,當(dāng)拋射角θ≈0.95 rad時(shí),即θ≈54°時(shí),南偏值最大.該最大的南偏值和對(duì)應(yīng)的拋射角也可以利用MATLAB編程精確求出.

圖5給出了東西偏移量隨拋射角的變化曲線.從圖中可看出,當(dāng)拋射角θ≈1.04 rad時(shí),即θ≈60°時(shí),東西偏移量為零;當(dāng)θ＞60°時(shí),存在西偏現(xiàn)象 (射程減小);當(dāng)θ＜60°時(shí),存在東偏現(xiàn)象 (射程增大).由圖可知,在θ≈0.52rad時(shí),即θ≈30°時(shí),東偏現(xiàn)象最顯著.該結(jié)果與文獻(xiàn) [2]理論分析的結(jié)果相同.

2.3 初始速度大小對(duì)偏移量的影響

表1對(duì)不同初始速度大小情況下,地球自轉(zhuǎn)對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的影響進(jìn)行了比較.從表1可以看出,隨著發(fā)射速度的增大,拋體的南偏、東偏以及射高均增大,而且當(dāng)初始速度較大時(shí),偏移相當(dāng)顯著.這也說(shuō)明了,當(dāng)發(fā)射速度較大時(shí),地球自轉(zhuǎn)是一個(gè)必須考慮的因素.從表1還可以看出,地球自轉(zhuǎn)使拋體的飛行時(shí)間增長(zhǎng)了,但增長(zhǎng)量很小.

表1 不同初速大小情況下地球自轉(zhuǎn)對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的影響 (緯度40°,拋射角30°)

3 結(jié)論

(1)地球自轉(zhuǎn)使拋體的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生偏移,這種現(xiàn)象在初始速度較大時(shí),相當(dāng)顯著.

(2)拋體的南偏效應(yīng)在兩極最顯著,在赤道為零.往正東方向發(fā)射的拋體,在北半球落地點(diǎn)南偏,在南半球落地點(diǎn)北偏.偏移量隨拋射角的不同而變化,拋射角約54°時(shí),偏移量最大.

(3)拋體的東偏效應(yīng)在赤道最顯著,在兩極為零.往正東方向發(fā)射的拋體,東西偏移的結(jié)果將使射程增大或減小,當(dāng)拋射角約為60°時(shí),射程的凈偏移為零;當(dāng)拋射角大于60°時(shí),射程減小 (西偏);拋射角小于60°時(shí),射程增大 (東偏).且拋射角約為30°時(shí),東偏量最大.

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程：第2版 [M].北京：高等教育出版社,1986：254-258.

[2]吳永懋.考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)拋體運(yùn)動(dòng)的偏移 [J].大學(xué)物理,1990,(2)：5-6.

[3]冷水根.關(guān)于拋射體偏移問(wèn)題的商榷 [J].力學(xué)與實(shí)踐,1998,(1)：46-47.

[4]李拓.自由落體和拋體偏離的另一種解法 [J].大學(xué)物理,2005,(8)：61-63.

[5]胡靜,彭芳麟,管靖.理論力學(xué)計(jì)算機(jī)模擬 [M].北京：清華大學(xué)出版社,2002：136-139.

[6]張志涌.精通MATLAB6.5版 [M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2003：247-249.