譚德俊,鄒敏燁

(湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410079)＊

操作風(fēng)險(xiǎn)損失的廣義帕累托分布參數(shù)估計(jì)及其應(yīng)用

譚德俊,鄒敏燁

(湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410079)＊

極值理論表明大于某一閥值的樣本服從廣義帕累托分布,該結(jié)論在金融風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量和保險(xiǎn)精算中有著廣泛的應(yīng)用。然而,由于其參數(shù)沒有可接受的估計(jì)方法,致使其應(yīng)用受到限制。論文在推導(dǎo)出廣義帕累托分布的條件矩的基礎(chǔ)上,研究了基于操作風(fēng)險(xiǎn)損失的廣義帕累托分布的參數(shù)估計(jì)問題。并且基于我國(guó)商業(yè)銀行1994～2008年的操作風(fēng)險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)對(duì)經(jīng)濟(jì)資本配置進(jìn)行了算例分析。

極值定理;廣義帕累托分布;參數(shù)估計(jì);操作風(fēng)險(xiǎn)損失;經(jīng)濟(jì)資本

一、引言

極值理論是研究序列極端值分布特征的理論。Fisher和 Tippett(1928)證明了若獨(dú)立同分布的序列的標(biāo)準(zhǔn)極大值收斂于某分布,則其極限分布就是廣義帕累托分布。Gnedenko(1943)證明了序列極端值分布區(qū)域應(yīng)用的極端損失尾部準(zhǔn)則。Gumbel (1958)將上述研究成果進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié),形成了以第一極值定理為重要結(jié)論的極值理論。Pickands,Balkema-De Haan證明了第二極值定理,得到了來自同一總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,只要選擇的臨界值u足夠大,超過該臨界值的樣本點(diǎn)近似地服從參數(shù)為ξ,μ,σ的廣義帕累托分布[1,2]。自Jenkinson (1955)把極值理論應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)研究以來[3],極值理論開始逐步在保險(xiǎn)和金融領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用。Bekiros(2005),Brooks等針對(duì)股票市場(chǎng)、期貨市場(chǎng)等的研究表明:極值理論方法比其他方法更準(zhǔn)確地描述序列分布的尾部特征,是一種比較準(zhǔn)確的分位數(shù)預(yù)測(cè)工具,尤其是僅采用較少的樣本便能計(jì)算出比較準(zhǔn)確的VaR值[4,5]。國(guó)內(nèi)不少學(xué)者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量以及利用極值理論進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量作了有益的研究。彭建剛等利用有序多分類Logistic模型測(cè)量違約概率[6],周好文等對(duì)應(yīng)用極值理論度量金融風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了實(shí)證研究[7],宋加山等對(duì)極值理論中閾值選取進(jìn)行了研究[8],高洪忠對(duì)廣義極值理論和它對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)的尾部分布進(jìn)行了研究[9]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究都得到了一些有用的結(jié)論,然而,實(shí)際應(yīng)用的研究中,由于超過臨界值的樣本并非所有的樣本,盡管它們近似服從廣義帕累托分布,但由于很難獲得其參數(shù)的估計(jì)值,這使得極值理論的應(yīng)用受到了嚴(yán)重的制約。就目前已有的國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)看,對(duì)形狀參數(shù)ξ估計(jì)的研究取得了比較好的成果,平均余值函數(shù)法和Hill估計(jì)法是廣泛接受的方法。而位置參數(shù)μ和尺度參數(shù)σ的估計(jì)尚未有可以廣泛認(rèn)可的結(jié)論,甚至在具體應(yīng)用中對(duì)參數(shù)的估計(jì)方法是錯(cuò)誤的。鑒于極值理論的應(yīng)用日益廣泛,以下試從分析廣義帕累托分布的條件矩入手,研究廣義帕累托分布的參數(shù)估計(jì)問題,并基于所搜集的中國(guó)商業(yè)銀行操作風(fēng)險(xiǎn)損失數(shù)據(jù),研究防范商業(yè)銀行操作風(fēng)險(xiǎn)損失所需要配置的經(jīng)濟(jì)資本數(shù)量。

二、操作風(fēng)險(xiǎn)損失的尾部分布和參數(shù)的確定

設(shè) X1,X2,…Xn是操作風(fēng)險(xiǎn)損失樣本數(shù)據(jù),用u表示閥值,假設(shè)超過閥值 u的樣本個(gè)數(shù)為nu,用X1,X2,…Xnu表示超過閥值的樣本觀測(cè)值,設(shè)樣本X1,X2,…Xnu獨(dú)立同分布,分布函數(shù)為F(x),令:

定義 X相對(duì)u的超額值的分布函數(shù)為:

顯然

由定理 (Pickands(1975),Balkema-de Haan (1974))得,對(duì)充分大的閥值 u,超額值的分布函數(shù)近似地服從廣義帕累托分布 Fξ,μ,σ(x)。其中:

由 F(x)=[1-F(u)]Fu(y)+F(u)得出:

其中,ξ是重要的形狀參數(shù),μ是位置參數(shù),而σ是分布的尺度參數(shù)。

從理論上講,閥值應(yīng)比較大。但閥值越大,用來估計(jì)尾部分布函數(shù)的樣本觀察值的數(shù)量就越少,估計(jì)的參數(shù)變化比較大,所以需要找到合適的閥值。在此先研究隨機(jī)變量 X服從形狀參數(shù)ξ>0的帕累托分布時(shí)的條件期望e(u)=E(X-u|X>u)。

由于 X的分布函數(shù)為:

下面考慮樣本平均余值函數(shù):

下面來研究操作風(fēng)險(xiǎn)損失的尾部分布的其它參數(shù)估計(jì),為此先考慮條件一階矩 E(X-u|X>u)和條件二階矩 E[(X-u)2|X>u]?？梢宰C明:

解得:

解得:

這樣便得到基于條件樣本的廣義帕累托分布的參數(shù)估計(jì)值,即操作風(fēng)險(xiǎn)損失超出閥值 u的樣本值的極端損失分布函數(shù)為:

三、操作風(fēng)險(xiǎn)損失分布及其應(yīng)用的算例分析

(一)操作風(fēng)險(xiǎn)損失分布的算例分析

算例部分所用的數(shù)據(jù)來源于中國(guó)人民銀行銀監(jiān)會(huì)網(wǎng)站和國(guó)內(nèi)幾大網(wǎng)站的財(cái)經(jīng)新聞專欄及其他相關(guān)文獻(xiàn)論文中收集到的中國(guó)商業(yè)銀行1994～2008年間的各類操作風(fēng)險(xiǎn)的損失金額數(shù)據(jù)共計(jì)305個(gè)。雖然有國(guó)有商業(yè)銀行和股份制商業(yè)銀行的區(qū)別,但是他們的客戶群體具有相似性,又處于同樣的社會(huì)、文化、政治、法律與政策環(huán)境下,因此,這些商業(yè)銀行可視為本質(zhì)上是同質(zhì)的,故把它們假設(shè)為同一個(gè)商業(yè)銀行的數(shù)據(jù),運(yùn)用其作為案例分析,具有一定的合理性。為研究的方便,假設(shè)不同年度以及同一年度各類操作風(fēng)險(xiǎn)損失相互獨(dú)立并有相同的分布。

根據(jù)前面的分析,可以用樣本數(shù)據(jù)得出的平均余值散點(diǎn)圖在超過某一特定臨界值 u0時(shí)基本呈一條直線(或至少具有正斜率)來判定超過臨界值 u0的損失值服從廣義帕累托分布并據(jù)此估計(jì) u0值。平均余值散點(diǎn)圖(u,^e(u))見圖1。

通過余值散點(diǎn)圖(u,^e(u))可以看出,當(dāng) u0值取150 000萬(wàn)元左右時(shí),除兩點(diǎn)外其余所有的點(diǎn)均呈現(xiàn)明顯的正斜率線性變化趨勢(shì)。因此,選取閥值為150 000萬(wàn)元。從而易得 nu=7,(x299)+=17 920, (x300)+=27 000,(x301)+=50 000,(x302)+= 110 000,(x303)+=120 000,(x304)+=249 400, (x305)+=7 160 640。

圖1 平均余值散點(diǎn)圖

將以上樣本數(shù)據(jù)代入式(8)、(11)、(12)就可以得到廣義帕累托分布各參數(shù)的估計(jì)值:^ξ=0.4002, ^μ=-861649.70,^σ=257919.02。將以上參數(shù)估計(jì)值代入式(13)便得到基于條件樣本的廣義帕累托分布的參數(shù)估計(jì)值,即操作風(fēng)險(xiǎn)損失超出閥值 u= 150000的樣本值的極端損失分布函數(shù)為:

(二)操作風(fēng)險(xiǎn)的經(jīng)濟(jì)資本配置

經(jīng)濟(jì)資本是指在一定的置信度下,用來吸收或緩沖風(fēng)險(xiǎn)帶來的損失的資本。VaR是指在正常的市場(chǎng)環(huán)境下,在一定的置信水平和期間內(nèi),最大損失的度量。若一定時(shí)間內(nèi),風(fēng)險(xiǎn)造成的損失為X,則置信水平 p下的VaR值VaRp由P{X VaRp}=p確定。因此,置信度 PF的經(jīng)濟(jì)資本便為V aRp,于是,如果風(fēng)險(xiǎn)損失 X的分布函數(shù)為 F(x),則VaRp= F-1(p)。

對(duì)于給定的置信度 p,VaR值可以由式(14)進(jìn)行計(jì)算得出:

將超出VaRp的極端損失的期望值記為ESp, ESp和VaR的關(guān)系如下:

由于ESp是在VaR基礎(chǔ)上衍生出來的風(fēng)險(xiǎn)度量方法,與VaR相比,它更能揭示尾部風(fēng)險(xiǎn)的極端情形,更穩(wěn)定、準(zhǔn)確。因此,對(duì)操作風(fēng)險(xiǎn)損失事件計(jì)算經(jīng)濟(jì)資本,選用ESp值比VaR值更為適合。

選取一年作為時(shí)間間隔,置信度99.9%來確定經(jīng)濟(jì)資本,即取 p=99.9%。根據(jù)式(15)即可計(jì)算操作風(fēng)險(xiǎn)在99.9%置信度下的最大損失,得:

根據(jù)式(16),超過99.9%置信水平的操作風(fēng)險(xiǎn)VaR的期望值為:

于是,在99.9%的置信度下,一年內(nèi)抵御操作風(fēng)險(xiǎn)需要配置的經(jīng)濟(jì)資本約為2 409 102.852萬(wàn)元。

四、結(jié)語(yǔ)

極值理論不研究序列的整體分布,只關(guān)心序列的極端值分布,不用事先假設(shè)樣本所來自的總體的分布類型,而是基于同一總體的樣本數(shù)據(jù)本身得到樣本極值的變化性質(zhì),因此,具有超越總體分布函數(shù)類型的估計(jì)能力,可廣泛應(yīng)用于信用風(fēng)險(xiǎn)、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、操作風(fēng)險(xiǎn)損失的尾部分布近似,由于其參數(shù)沒有有效的估計(jì)方法,其應(yīng)用受到了嚴(yán)重的制約。以上在研究廣義帕累托分布的條件期望與條件方差的基礎(chǔ)上,提出了一種基于條件矩與誤差最小相結(jié)合的綜合估計(jì)方法,在利用極值理論分析極端事件損失的概率分布方面有著比較重要的應(yīng)用,并且通過算例分析為利用廣義帕累托分布計(jì)量金融風(fēng)險(xiǎn)和配置經(jīng)濟(jì)資本提供了一種可行的途徑。

[1]Pickands,J..Statistical inference using extreme order statistics[R].Annals of Statistics,1975,3:119-131.

[2]Balkema,A.,and Laurens de Haan.Residual life time at great age[R].Annals of Probability,1974,2:792-804.

[3]Jenkinson A.F.The frequency distribution of the annual maximum(or minimum)values of meteorological elements[J]. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Scoiety,1955, (87):158-171.

[4]Stelios Bekiros D,Dimitris Georgoutsos A.Estimation of value at risk by extreme value and conventional methods:a comparative evaluation of their predictive performance[J].International Financial Markets,Institutes and Money,2005,(7):209-228.

[5]Brooks C,Clare A D,Dalle Molle J W,Persand G.A comparison of extreme value teory approaches for determining value at risk[J].Empirical Finance,2005,(3):339-350.

[6]彭建剛,屠海波,何婧,周穎輝.有序多分類logistic模型在違約概率測(cè)算中的應(yīng)用[J].財(cái)經(jīng)理論與實(shí)踐,2009,(4):2-7.

[7]周好文,楊旭,聶磊.銀行操作風(fēng)險(xiǎn)度量的實(shí)證分析[J].統(tǒng)計(jì)研究,2006,(6):47-51.

[8]宋加山,李勇,彭誠(chéng),王彪,方兆本.極值理論中閥值選取的Hill估計(jì)方法改進(jìn)[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2008,38(9):1104-1108.

[9]高洪忠.用POT方法估計(jì)損失分布尾部的效應(yīng)分析[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2004,(7):64-69.

Research on the Parameters Estimation and Application of Generalized Pareto Distribution:Based on Operational Risk Loss

TAN De-Jun,ZOU Min-ye

(College of Finance and Statistics,Hunan University,Changsha,Hunan 410079,China)

Extreme value theory(EV T)shows that the limiting distributions for the maximum of a very large collection of random observations which peak over threshold(POT)and from the same arbitrary distribution are distributed generalized Pareto distribution(GPD).The POT approach has been developed largely in financial risk measurement and actuarial insurance.But its application subjects to the parameters estimation.In this paper,after inferring the condition moments,the parameters estimation of GPD have been researched based on operational risk loss. With the operational risk loss data of Chinese commercial banks from 1994 to 2008,empirical research into economic capital allocation have been carried out.

Extreme Value Theory;Generalized Pareto Distribution;Parameter Estimation; Operational Risk Loss;Economic Capital

F830 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A 文章編號(hào):1003-7217(2010)06-0022-04

2010-06-10

教育部博士點(diǎn)基金項(xiàng)目(2006053211);湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CX2009B062)

譚德俊(1964-),男,湖南攸縣人,湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授,金融管理與金融工程博士生,研究方向:數(shù)理金融與計(jì)量金融、數(shù)理統(tǒng)計(jì)。

(責(zé)任編輯:寧曉青)