張榮娟,褚衍彪,宋曉秋

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

本片篇章討論了如下抽象積分方程的加權(quán)偽概自守解的存在性與唯一性

其中 t∈R,f,g,h1,h2,C:R→R是連續(xù)的函數(shù),Q:R×R×R→R也是連續(xù)的.

1.準(zhǔn)備工作

對每個 t∈R成立,且

對于每個 t∈R成立.

記 R到 X的概自守函數(shù)的集合為 AA(X).

定義 1.2 函數(shù) f∈C(R×X,X)稱為概自守的,若對任意序列存在 {αn}與函數(shù) g:R×X→X,使得

對每個 t∈R成立,且

對于每個 t∈R成立.

記 R×X到 X的概自守函數(shù)的集合為 AA(R×X,X).

引理 1.3[1]如果取函數(shù) f∈AA(X)的上確界范數(shù),即 ‖f‖AA(X)=‖f‖, 則為 Banach空間.

引理 1.4[1]如果 f:R→X為概自守函數(shù),則 f有界.

引理 1.5[2]設(shè) f∈AA(R×X,X),若存在常數(shù)L＞0,對一切 x,y∈X和 t∈R,使得 f滿足 L ip sch itz條件

如果 h∈AA(X),則 f(t,h)∈AA(X).

記 U為ρ:R→(0,∞)在 R上局部可積,且ρ＞0的函數(shù)的集合.對任意的ρ∈U,給定r＞0,設(shè)

Ub={ρ∈U∞:ρ有界且

顯然:Ub?U∞?U

對任意的ρ∈U∞,記

定義 1.6 函數(shù) f∈Cb(R,X)稱為加權(quán)偽概自守的,如果存在函數(shù) g∈AA(X)及φ∈ PAA0(R,ρ),使得

記 R到 X的加權(quán)偽概自守函數(shù)的集合為W PAA(R,ρ).

定義 1.7 函數(shù) f∈Cb(R×X,X)稱為加權(quán)偽概自守的,如果存在函數(shù) g∈AA(R×X,X),φ∈PAA0(R ×X,ρ),使得

記 R×X到 X的加權(quán)偽概自守函數(shù)的集合為W PAA(R×X,ρ).

引理 1.8[3]設(shè)ρ∈U∞,如果取函數(shù) f∈W PAA(R,ρ)的上確界范數(shù),即

則 (W PAA(R,ρ),‖·‖WPAA(R,ρ))為 Banach空間.

引理 1.9[3]加權(quán)偽概自守函數(shù) f=g+φ的分解是唯一的.即如果

其中 g1,g2∈AA(X),φ1,φ2∈ PAA0(R,ρ),則 g1=g2,φ1=φ2.

引理 1.10[3]設(shè) f∈W PAA(R×X,ρ),若存在常數(shù)L ＞0,對一切 x,y∈X和 t∈R,使得 f滿足 Lip schitz條件

如果 h∈W PAA(R,ρ),則 f(t,h)∈W PAA(R,ρ)

2.主要結(jié)果

假設(shè)以下條件成立:

C1f,g是加權(quán)偽概自守函數(shù),且存在常數(shù) 0＜α ＜1,對任意 x,y∈R,滿足 |f(x)-f(y)|≤α|x-y|;

C2函數(shù) hi(i=1,2)是連續(xù)的,u(hi)∈W PAA(R,ρ)當(dāng)且僅當(dāng) u∈W PAA(R,ρ);C3函數(shù) Q:(t,x,y)→Q(t,x,y)是加權(quán)概自守的且關(guān)于 t是連續(xù)的,Q =Q1+Q2,其中;

對任意的 v∈W PAA(R,ρ),有 Q2(.,v(.),v(h2(.))∈L1(R),存在 0≤K≤1使得|Q(t,x,y)-Q(t,w,z)|≤k|x-w|+(1-k)|y-z|;

C4t→C(t) ∈ PAA0(R,ρ),C是 L1可積的且

證明:因?yàn)?u(t)是加權(quán)偽概自守的,由 C2知 u(h2)∈W PAA(R,ρ);

由 C3易知 Q(s,u(s),u(h2(s))也是加權(quán)偽概自守的.

設(shè) Q=Q1+Q2,其中 Q1∈AA(R2,R),Q2∈PAA0(R2,R,ρ)

則Γu=Γ1(u)+Γ2(u)

下證Γ1(u)是概自守的.

因?yàn)?Q1是概自守的,設(shè) Q1(s,u(s),u(h2)))=h(s),所以,存在函數(shù) g(s)使得

‖h(s+τn)C(t-s)-g(s)C(t-s)‖ =|C(t-s)|‖h(s+τn)-g(s)‖

由 C4知 C(t-s)是有界的,所以存在一M使得上式 ＜M(h(s+τn)-g(s))

當(dāng) n→∞時,對任意固定的 s∈R,有 h(t+τn)C(t-s)→g(s)C(t-s)

另外 ‖h(s+τn)C(t-s)‖ ＜M‖h‖

由 L ebesgue控制收斂定理得

同理可證:

則Γ1u是概自守的.

下證Γ2

因?yàn)?t→C(t)∈PAA0(R,ρ),Q2(.,u(.),u(h2(.))∈L1(R)

所以 K=0,既Γ2(u)∈PAA0(R,ρ).

綜上所述:函數(shù)Γu(t)是加權(quán)偽概自守的.

定理 2.2 當(dāng)α+C0＜1時,積分方程 (1)有唯一的加權(quán)為概自守解.

證明:令 u∈W PAA(R,ρ),定義一個非線性算子

由引理 1.10和 C2易知 f(u(h1(.))∈W PAA(R,ρ),

由定理 3.2知,Λu(t)∈W PAA(R,ρ)

任意取 u,v∈W PAA(R,ρ)

因此 ‖Λ(u)(t)-Λ(v)(t)‖≤ (α +C0)‖u-v‖

當(dāng)α+C0＜1時,Λ為壓縮映射,又W PAA(R,ρ)是完備的,由 B anach不動點(diǎn)定理知,Λ有唯一的不動點(diǎn) u(t)∈W PAA(R,ρ),使得Λu(t)=u(t).

故方程 (1)有唯一的加權(quán)為概自守解.

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