[摘要] 證券投資組合優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是有限的資產(chǎn)在具有不同風(fēng)險(xiǎn)收益特征的證券之間的優(yōu)化配置問(wèn)題。本文在經(jīng)典馬科維茨投資組合的均值-方差模型框架下，將蟻群算法引入模型求解，提出考慮交易成本的股票投資組合模型。實(shí)證結(jié)果表明，蟻群算法是一種解決股票投資組合優(yōu)化問(wèn)題的有效算法，不同的參數(shù)設(shè)置對(duì)算法運(yùn)行結(jié)果有顯著影響。

[關(guān)鍵詞] 投資組合交易成本蟻群算法

一、引言

由Markowitz(1952)提出的均值-方差(MV)模型在投資組合理論中占有重要的地位， 是投資分析中的一種有效的工具。Markowotz分別用期望收益率和收益率的方差來(lái)衡量投資的預(yù)期收益水平和不確定性(即風(fēng)險(xiǎn))，建立了均值-方差投資決策模型。隨后， Markowitz(1959)，Mao (1970)討論了均值-下半方差模型，在收益分布對(duì)稱(chēng)的情況下，下半方差剛好是方差的一半，但均值-下半方差有效前沿與均值-方差模型有效前沿完全一致;Konno(1991)研究了用均值絕對(duì)偏差來(lái)衡量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，提出了均值-絕對(duì)偏差模型(MAD模型)，簡(jiǎn)化了投資組合優(yōu)化的運(yùn)算;Konno和Suzuki (1995)研究了均值-方差-偏度模型，基于收益不對(duì)稱(chēng)分布的情況，是對(duì)MV模型的補(bǔ)充。這些研究使得投資組合模型越來(lái)越接近實(shí)際，但也越來(lái)越難于用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法進(jìn)行有效地求解模，許多學(xué)者把目光轉(zhuǎn)向應(yīng)用仿生算法求解投資組合模型，解決模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

蟻群算法作為近年來(lái)一種新興的仿生算法，具有較強(qiáng)魯棒性、優(yōu)良的分布式計(jì)算機(jī)制、易于與其他方法相結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，被成功用來(lái)解決如TSP、武器-目標(biāo)分配問(wèn)題、頻率分配問(wèn)題、電力系統(tǒng)故障診斷等問(wèn)題。近年來(lái)也有學(xué)者將蟻群算法應(yīng)用于證券投資組合問(wèn)題的研究，孫永征，劉亮(2008)將混合行為蟻群算法應(yīng)用到股票市場(chǎng)投資者行為研究中去，建立了基于混合行為蟻群算法的股票市場(chǎng)投資行為演化模型，研究投資者的五種行為對(duì)股票價(jià)格及市場(chǎng)穩(wěn)定性的影響。研究表明，不同投資行為與股票價(jià)格及市場(chǎng)穩(wěn)性之間存在復(fù)雜的關(guān)系。謝燕蘭(2008)利用經(jīng)典MV模型和股票技術(shù)分析中成交量、收益率等指標(biāo)，以銀行作為投資避險(xiǎn)的工具，構(gòu)建了一個(gè)針對(duì)國(guó)內(nèi)股票市場(chǎng)的證券組合投資優(yōu)化模型。然而，這些研究成果沒(méi)有考慮到股票投資過(guò)程中必然存在交易成本因素，從而降低了模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。假設(shè)交易成本是線(xiàn)性函數(shù)，本文提出考慮交易成本的股票投資組合模型，利用蟻群算法求解所建模型，并且討論了模型參數(shù)的設(shè)置對(duì)投資回報(bào)的影響。

二、蟻群算法下的投資組合模型

1.經(jīng)典的MV投資組合模型

根據(jù)投資者均為理性經(jīng)濟(jì)人的假設(shè)，Markowitz理論認(rèn)為投資者在證券投資過(guò)程中總是力求在風(fēng)險(xiǎn)一定的條件下，獲得最大的收益;或者在收益一定的條件下，將風(fēng)險(xiǎn)降到最小。則Markowitz模型可表示為以下兩種單目標(biāo)的模型:

(1)

其中，n為持有資產(chǎn)的數(shù)量，xi代表每種資產(chǎn)的持有比例，ri(i=1，…，n)為每種資產(chǎn)的期望收益率，σij表示資產(chǎn)i和資產(chǎn)j(i=1，…，n;j=1，…，n)的協(xié)方差。

2.基于蟻群算法的證券投資組合模型

蟻群算法(ants colony algorithm)是由Dorigo等于1990年為了解決組合優(yōu)化問(wèn)題而提出的一種模擬蟻群覓食行為新型進(jìn)化算法。概括而言，就是將蟻群的覓食行為視為一個(gè)復(fù)雜的路徑優(yōu)化問(wèn)題。算法的主要機(jī)理可從兩個(gè)方面來(lái)描述:(1)集體性，算法尋優(yōu)過(guò)程是一種帶有信息交換的并行過(guò)程，具有全局搜索的能力;(2)路徑的適值標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)螞蟻在從巢穴去食物源(或者從食物源返回巢穴)時(shí)，會(huì)在走過(guò)的路上留下一種化學(xué)物質(zhì)(pheromone)，被稱(chēng)為信息素，這種信息素的強(qiáng)弱與它們所走的路的長(zhǎng)度成反比。螞蟻根據(jù)信息素的強(qiáng)弱以一定的概率來(lái)進(jìn)行路徑選擇，形成了正反饋搜索過(guò)程。以上特征使得蟻群算法成為求解組合優(yōu)化問(wèn)題的一種簡(jiǎn)單、高效的手段。

在證券投資組合模型中，股票投資收益率相當(dāng)于螞蟻運(yùn)動(dòng)過(guò)程中留下的信息素，為了避免算法運(yùn)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)陷入停滯，Dorigo在蟻群模型中引入了啟發(fā)函數(shù)加速模型的收斂，對(duì)應(yīng)于證券投資組合模型，啟發(fā)函數(shù)相當(dāng)于投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，算法運(yùn)行的結(jié)果是使得組合實(shí)現(xiàn)最小風(fēng)險(xiǎn)下的最大收益。具體如下:

(1)轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算

轉(zhuǎn)移概率直接關(guān)系到蟻群算法的尋優(yōu)效率和執(zhí)行結(jié)果，由下式得出，在證券投資組合模型中，蟻群通過(guò)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的均衡確定轉(zhuǎn)移概率:

(2)

其中，信息素τi(t)按照如下規(guī)則更新:

(3)

(4)

(5)

其中，為信息素的變化量，ri為第i個(gè)證券的收益率，α、β是模型參數(shù)分別反映了螞蟻在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所積累的信息和啟發(fā)信息在螞蟻選擇路徑中的相對(duì)重要性，ρ是信息素的揮發(fā)系數(shù)，通常情況下設(shè)置ρ<1來(lái)避免路徑上信息量無(wú)限累加。

(2)啟發(fā)函數(shù)的定義

啟發(fā)函數(shù)用來(lái)加速算法收斂，并且避免算法陷入局部最優(yōu)，本文采用單只股票的標(biāo)準(zhǔn)差衡量其風(fēng)險(xiǎn)，從而構(gòu)造啟發(fā)函數(shù)，如下:

ηi=1/ρi(6)

(3)交易成本

交易成本是股票投資的一個(gè)重要問(wèn)題，大多數(shù)情況下，投資者都是從已持有的投資組合開(kāi)始，確定如何在股票市場(chǎng)上進(jìn)行調(diào)整。股票投資倉(cāng)位的調(diào)整必然需要交易費(fèi)用，交易費(fèi)用通常是新舊股票組合之差的V型函數(shù):

(7)

其中，ci(t)表示第i只股票第t期的交易費(fèi)用;

ki≥0，i=1，2，…，n，表示第i只股票的交易費(fèi)率;

，Mi(t)表示第i只股票第t期投資額，假設(shè)初始投資金額M(0)=100萬(wàn)，各股票初始倉(cāng)位Mi(0)=25萬(wàn)。

則n只股票第t期總交易費(fèi)用為:

(8)

(4)投資回收總額

個(gè)股倉(cāng)位根據(jù)上述轉(zhuǎn)移概率公式(2)結(jié)果進(jìn)行倉(cāng)位調(diào)整，第i只股票在第t期末的投資回報(bào)為:

Mi(t)=M(t-1)×xi(t)×[ri(t)+1]-ci(9)

總的投資回收額:

(10)

三、蟻群算法基本流程

設(shè)有n只股票m名投資者，股票的收益率為ri為第i個(gè)證券的收益率，τi(t)為股票i上的信息素，并設(shè)置每只股票的初始信息素。

步驟1:參數(shù)初始化。令時(shí)間t=0和循環(huán)次數(shù)NC=0，設(shè)置最大循環(huán)次數(shù)NCmax，將m個(gè)螞蟻置于n個(gè)元素(股票)上，初始化，令τij=const，(0)=0，其中cinst是常數(shù);

步驟2:設(shè)置循環(huán)次數(shù)NC←NC+1;

步驟3:螞蟻數(shù)目K←K+1;

步驟4:將各螞蟻的初始出發(fā)點(diǎn)置于當(dāng)前解集中;對(duì)每個(gè)螞蟻k(k=1，2，…，m)，按概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移Pkij公式(2)移至下一個(gè)元素(股票)j;

步驟5:若元素未遍歷完，即k

步驟6:根據(jù)公式(3)、(4)、(5)更新每條路徑上的信息素量;

步驟7:若滿(mǎn)足結(jié)束條件，即如果循環(huán)次數(shù)NC≥NCmax，則循環(huán)結(jié)束并輸出程序計(jì)算結(jié)果，否則跳轉(zhuǎn)到步驟2。

四、實(shí)證檢驗(yàn)結(jié)果與分析

為了使算法結(jié)果具有可比性，本文使用謝燕蘭(2008)文中基本數(shù)據(jù)作為樣本，以2007年7月6日～2008年1月15日的國(guó)內(nèi)A股證券市場(chǎng)每日交易資料(股價(jià)、收益率)作為運(yùn)行資料，令初始投資資金為100萬(wàn)，運(yùn)用MATLAB編程得到各模型2007年7月6日～2008年1月15日的投資回報(bào)。由于蟻群算法所需參數(shù)較多，需要討論模型參數(shù)變化對(duì)運(yùn)算結(jié)果的影響。

圖1～2選取了三組六個(gè)具有代表性的算法尋優(yōu)結(jié)果，可以觀察到本文模型較謝燕蘭模型(212.6萬(wàn)元)獲得了更好的投資回報(bào)，三個(gè)參數(shù)α，β，ρ的設(shè)置對(duì)算法最終尋優(yōu)結(jié)果有著不同的影響。其中α對(duì)投資組合回報(bào)影響較為顯著，隨著α的增大投資回報(bào)顯著增加，α=3時(shí)投資回報(bào)為356.67萬(wàn)元，而當(dāng)α=0.7時(shí)，投資收益僅為259.8萬(wàn)元，也就是說(shuō)當(dāng)投資者在第一天在某只股票的投資獲得較高的收益時(shí)，第二天繼續(xù)增加此只股票投資倉(cāng)位;β和ρ的變化對(duì)投資回報(bào)的影響顯著性不強(qiáng)，α和ρ不變，當(dāng)β=0.3時(shí)投資回報(bào)為271.56萬(wàn)元，β=3.5時(shí)投資回報(bào)為279.27萬(wàn)元，這是由于國(guó)內(nèi)A股市場(chǎng)交易規(guī)則中漲跌停板的限制在一定程度上控制了股票投資的風(fēng)險(xiǎn)，而投資時(shí)間間隔越長(zhǎng)，對(duì)當(dāng)前投資組合的影響越不明顯，這和股票投資技術(shù)分析的結(jié)論一致。

五、結(jié)論

本文利用基本蟻群算法對(duì)投資組合模型進(jìn)行了優(yōu)化，主要提出了考慮交易成本的股票投資組合模型并對(duì)其進(jìn)行了有效求解，與此同時(shí)討論了模型參數(shù)變化對(duì)算法尋優(yōu)結(jié)果的影響。實(shí)證結(jié)果表明蟻群算法能夠在有限的資源條件下，求解傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法難以解決的投資組合問(wèn)題，并且具有整體優(yōu)化，高效迅速的優(yōu)勢(shì)，具有廣闊的應(yīng)用前景。

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