摘要:對于含有不確定參數(shù)的采用CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合模型， 基于魯棒優(yōu)化理論的最新進(jìn)展， 結(jié)合統(tǒng)計(jì)或時(shí)間序列， 構(gòu)造形式較為簡單的橢球不確定集作為對參數(shù)不確定性的近似， 把原問題轉(zhuǎn)化為易于求解的確定型最優(yōu)化問題， 解決了該模型由于參數(shù)具有不確定性的所造成的缺陷， 得到魯棒性與最優(yōu)性都較為滿意的解. 并通過市場數(shù)據(jù)對模型的可操作性和實(shí)用性進(jìn)行驗(yàn)證.

關(guān)鍵詞:投資組合; 條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(CVaR); 魯棒優(yōu)化; 二階錐規(guī)劃(SOCP)

中圖分類號:O221.2; F830.59文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

Robust portfolio selection under ellipsoidal uncertainty

An Xiao-min，Luo Gui-Mei

(College of Mathematics and Econometrics， Hunan University， Changsha， Hunan， 410082， P.R.China)

Abstract: we will study on the portfolio selection using CVaR strategy with data uncertainty. We show how to formulate and solve robust portfolio selection problems based on the recent progress in robust optimization. By the use of statistics theory and time series techniques， we construct ellipsoidal uncertainty set which contain most possible realizations of the uncertain parameters. Wethen convert the original problem to a deterministic problem which can obtain a solution that is guaranteed to be good for most possible realizations of the uncertainty parameters. To demonstrate our model and method， we do numerical experiments with real market data.

Key words: portfolio; Conditional Value at Risk (CvaR); robust optimization; Second-Order Cone Programming (SOCP)

自Markowitz[1]于1952年創(chuàng)立投資組合理論以來， 風(fēng)險(xiǎn)度量和投資組合模型的研究已經(jīng)有了長足的發(fā)展， 金融風(fēng)險(xiǎn)也成為全球金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管當(dāng)局普遍關(guān)注的焦點(diǎn). VaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法正是在這種背景下應(yīng)運(yùn)而生的， 它表示給定概率置信水平內(nèi)的最壞情況下的損失， 因簡單實(shí)用被廣泛采納. 近年來， VaR由于不滿足凸性和次可加性等缺陷受到批評. 基于此， Rockafeller和Uryasev[2]1999年提出條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值 (CVaR)作為對VaR的一種修正. CVaR是指金融資產(chǎn)或其組合的損失額超過VaR的條件均值， CVaR滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量， 其優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃， 本文考慮采用CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合模型.

投資組合優(yōu)化決策模型中， 參數(shù)(如收益率的期望值、協(xié)方差矩陣)通常是利用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估計(jì). 由于受隨機(jī)因素的影響， 在實(shí)際當(dāng)中很難得到精確的估計(jì)值. 但眾多的學(xué)者都指出參數(shù)的微小變化會對問題的最優(yōu)解產(chǎn)生很大的影響(參見[3]等). 針對含不確定因素的優(yōu)化問題， 魯棒優(yōu)化作為一種有效的處理手段近年來引起人們的極大關(guān)注. 魯棒優(yōu)化的本質(zhì)是在將參數(shù)不確定性處理成能夠直接描述的形式(如盒狀、橢球)的前提下， 把原問題轉(zhuǎn)化為易于求解的確定型規(guī)劃問題， 使其解在輸入任何可能的參數(shù)時(shí)， 結(jié)果都接近最優(yōu).

魯棒最優(yōu)化理論與算法的一般性研究已取得了許多重要成果， 尤其是近年來Ben-Tal 和 Nemirovk[4，5]以及El Ghaoui等[6]基于橢球不確定集提出的魯棒模型， 在較好的擬合了參數(shù)的不確定性的基礎(chǔ)上， 同時(shí)兼顧了解的最優(yōu)性和可行性. 不過將魯棒思想運(yùn)用到金融問題的研究相對較少. [7，8，9]在均值-方差模型框架下， 提出了魯棒投資組合優(yōu)化方法. [10，11]分別考慮了基于VaR和CVaR的魯棒投資組合優(yōu)化模型. 但是在[11]中只考慮了收益的期望為盒狀不確定集時(shí)的魯棒對應(yīng)形式， 雖然保持了問題的難度但得到的解過于保守. 本文將考慮收益的期望為橢球不確定集的魯棒投資組合選擇模型， 得到可行性與最優(yōu)性都較為滿意的解.

本文首先介紹CVaR的定義及采用CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合模型， 接著給出橢球不確定集下的投資組合魯棒優(yōu)化模型， 最后進(jìn)行實(shí)證分析.

1 CVaR及采用CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合模型

首先， 我們給出CVaR的定義. 設(shè) 為損失， 其中 為決策向量， 代表投資組合，代表滿足各種約束的有效投資組合的集合. 向量 代表不確定性的因素， 如跟損失有關(guān)的一些市場參數(shù). 假設(shè)隨機(jī)向量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 ， 則對于每個(gè) 而言， 損失不超過 的概率為:

.

那么， 對于任意一個(gè)決策向量 ， 在置信水平( )下， VaR和CVaR分別表示為:

， (1)

和

.

(2)

由(1)式可知，為滿足 的最小點(diǎn). 因此， 在(2)中，的概率為 . 所以 就是投資組合 在損失大于 的條件下的期望損失.

利用上述定義直接計(jì)算和優(yōu)化VaR和CVaR是相當(dāng)困難的. 為了便于計(jì)算CVaR的值， Rockafellar 和 Uryaser [2] 引入了輔助函數(shù):

，

其中 . 并且證明了如下兩個(gè)定理:

定理1 函數(shù)關(guān)于 是凸的、連續(xù)可微的， 則對任意給定的 ， 置信水平為 的CVaR可由下面的公式求得:

.(3)

令 ， 是使得(3)達(dá)到最小值的 的集合， 則 是非空、有界的閉區(qū)間(或者退化為一個(gè)點(diǎn))， 且對應(yīng)的置信水平為 的VaR值為 . 特別地，且 .

定理2在可行集 上對 最小化等價(jià)于在上對函數(shù) 求最小化. 即

.

其中等價(jià)于 且 .

用n種股票構(gòu)建投資組合， 設(shè) 為其對應(yīng)的股數(shù)， 股票的初始價(jià)格為 ， 則 為初始的投資組合的投資額.分別為n種股票的每股期望收益. 考慮在期望收益率一定(大于或等于預(yù)先給定的值 )的情況下， 極小化CVaR投資組合模型:

，(4)

，

，.

由定理2可知在計(jì)算問題(4)時(shí)可以用輔助函數(shù) 來代替 . 設(shè) 表示考察期末各股票的價(jià)格，則在該期間的損失函數(shù)為 . 那么問題的關(guān)鍵就在于 中積分的計(jì)算， 我們可結(jié)合其近似加以考慮.根據(jù) 的概率密度 抽樣得到樣本 ， 則 相應(yīng)的近似值為:

，

其中 .

結(jié)合以上條件， 問題(4)簡化為線性規(guī)劃如下:

，(5)

，

，

，

2 橢球不確定集下的投資組合魯棒優(yōu)化模型

魯棒優(yōu)化起源于70年代， Soyster[12]提出的worst-case思想. 通過構(gòu)造一盒狀不確定集， 使得針對該集合中的所有元素優(yōu)化問題的約束條件都成立， 作為最優(yōu)化問題約束條件的一種近似， 這樣含不確定參數(shù)的最優(yōu)化問題得以簡化為確定型規(guī)劃問題. 但是這種worst-case思想過于保守， 所得到的解往往不令人滿意. 90 年代， 在求解確定型凸規(guī)劃技術(shù)日臻完善的背景下， Ben-Tal 和 Nemirovki[4，5]以及El Ghaoui等[6]在Soyster 的基礎(chǔ)上等構(gòu)造了橢球及橢球交不確定集(較之盒狀， 橢球不確定集更合理的擬合了參數(shù)的不確定范圍)， 分別給出了線性規(guī)劃 (LP)， 二階錐規(guī)劃(SOCP)， 半定規(guī)劃 (SDP) 易于求解的魯棒對應(yīng)形式， 完善了魯棒優(yōu)化理論.

考慮采用CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量投資組合模型， 其中的參數(shù)， 收益的期望值的微小變化會對原問題的最優(yōu)解產(chǎn)生很大的影響 (參見[3]等)， 而由于受隨機(jī)因素的影響， 這些參數(shù)在實(shí)際當(dāng)中很難進(jìn)行精確估計(jì). 目前， 最常用的方式是利用統(tǒng)計(jì)方法對它們進(jìn)行估計(jì). 由于不同的統(tǒng)計(jì)技術(shù)會產(chǎn)生不同的估計(jì)值， 如何利用魯棒優(yōu)化方法處理這些不確定性是一個(gè)非常值得關(guān)注與研究的問題. Quaranta和Zaffaroni [11]采用了Soyster的worst-case的思想， 假設(shè)向量 與它的估計(jì)值 的偏差不超過 ，然后構(gòu)造收益的期望的盒狀不確定集:

，

并給出了仍保持線性規(guī)劃難度的魯棒形式， 但是這樣得到的解過于保守. 本節(jié)我們考慮收益的期望為橢球不確定集的魯棒投資組合選擇模型， 得到可行性與最優(yōu)性都較為滿意的解.

首先， 對于線性規(guī)劃， Ben-Tal 和 Nemirovski [4]給出了其參數(shù)屬于橢球不確定集下的魯棒問題.

定理3考慮線性規(guī)劃(只含一個(gè)約束):

s.t.，

其中參數(shù) 屬于橢球不確定集:

，

那么原問題所對應(yīng)的魯棒問題為如下的二階錐規(guī)劃

s.t. (6)

問題(5)在參數(shù)屬于橢球不確定集下的模型為:

s.t.，

，，

，，

，

，

其中 屬于橢球不確定集:

，

，，均為 維向量. 由定理3知用CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合魯棒優(yōu)化模型可轉(zhuǎn)化為如下二階錐規(guī)劃:

(7)

3 實(shí)證分析

我們采用[13]中的歷史數(shù)據(jù)方法， 記錄股票的歷史數(shù)據(jù)， 以歷史情景代替未來情景， 預(yù)測股票未來價(jià)格的可能分布， 并用若干離散的情景的加和來近似CVaR函數(shù)的積分.

選取標(biāo)準(zhǔn)普爾500中按字母順序排序的前20只股票作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)， 加上現(xiàn)金共21種資產(chǎn).假設(shè)投資者在期初持有現(xiàn)金10000000元， 取2005. 01. 03 - 2006. 11. 27各個(gè)股票的日收盤價(jià)作為原始數(shù)據(jù). 投資期為一周(2006. 11. 27 - 2006. 12. 01). 現(xiàn)金在一周后的收益為0.01%. 另外， 要求每只股票的投資額不能超過總投資的 . 取 . 我們要最小化一周的風(fēng)險(xiǎn)(5個(gè)交易日)， 采用過去某交易日的收盤價(jià)和五個(gè)交易日后的收盤價(jià)的比值來估算以當(dāng)前價(jià)格為基準(zhǔn)的5個(gè)交易日的價(jià)格. 也就是說， 對于每只股票， 其5天后可能的價(jià)格集為:

其中，為我們用歷史數(shù)據(jù)產(chǎn)生的情景數(shù)量， 本例中 . 當(dāng) 足夠大時(shí)， 就保證了從歷史模擬的角度來講， 我們得到一個(gè)較為可靠的CVaR值的估計(jì)， 此時(shí)收益期望值的估計(jì)對模型的解起著決定性的作用. 因此如何有效的估計(jì)收益期望值，就顯得非常有必要了.

為了加以對比，我們首先考慮[13]中的方法，取歷史的收益均值作為收益的期望值，也就是一般的均值-CVaR模型. 接著我們考慮給出 的置信區(qū)間， 并以此進(jìn)一步構(gòu)造關(guān)于 的不確定集，最后利用本文前面的結(jié)論， 得到投資組合模型的魯棒解. 利用Eviews軟件， 我們驗(yàn)證了本例中選用的股票價(jià)格序列符合一種特殊的單位根過程-隨機(jī)游走(Random Walk)模型

其中是白噪聲. 采用Eviews軟件， 我們利用該模型預(yù)測未來的股票價(jià)格， 并據(jù)此模型得到 的置信區(qū)間(作為盒狀不確定集). 令 ， 向量 為第 個(gè)元素為( 的分量)， 其余元素為0的 維向量，， 構(gòu)造橢球不確定集. 由此得到原問題的魯棒對應(yīng)形式為二階錐規(guī)劃 (SOCP)， 我們調(diào)用Grant和Boyd基于Matlab開發(fā)的軟件包c(diǎn)vx對其進(jìn)行求解 (詳見http://www.stanford.edu/~boyd/cvx/).

圖1即為我們計(jì)算并繪出的有效前沿， 三條曲線從上至下分別對應(yīng)收益為均值、收益為橢球不確定集和收益為盒狀不確定集時(shí)的有效前沿. 由于采用了橢球不確定集， 我們得到了可行性與最優(yōu)性都較為滿意的解.

圖1 基于CVaR的投資組合模型的有效前沿

Fig.1 Efficient frontier of portfolio selection based on CVaR

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