摘要:利用波函數(shù)展開(kāi)法，研究平面SH波入射下，深埋圓形組合襯砌洞室的動(dòng)力反應(yīng)問(wèn)題。利用得到的級(jí)數(shù)解和數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件MathCAD編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序，討論了入射波頻率、組合襯砌結(jié)構(gòu)的厚度比、彈性模量、泊松比、密度等因素對(duì)圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響。結(jié)果表明組合襯砌確實(shí)能有效地發(fā)揮圍巖的自承能力，降低襯砌結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力集中，且在低頻入射時(shí)效果顯著。

關(guān)鍵詞:波函數(shù)展開(kāi)法;深埋洞室;動(dòng)應(yīng)力集中;SH波;級(jí)數(shù)解;組合襯砌

中圖分類號(hào):O347;P315.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 :A

Dynamic Response Analysis of deep buried Cylindrical Composite-lining Cavity Subjected to Incident Plane SH Waves

LI Gang1， ZHONG Qi-kai2，SHANG Shou-ping1

(1.College of Civil Engineering， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082， China; 2.General Contraction Company of CCTEB， Wuhan， Hubei 430064， China)

Abstract: By using wave function expansion method， dynamic response analysis of a deep buried cylindrical composite-lining cavity in an elastic space subjected to incident plane SH waves is studied. Compile program by using of the obtained series solution and mathematical application software MathCAD，discusses the main factors affecting the dynamic stress concentration factor of the surrounding rock and composite-lining structure，such as the frequency of incident waves，the ratio of size of composite-lining structure and the elastic modulus，poisson’s ratio and density of composite-lining structure and so on.The result indicates that the composite-lineing structure brings the surrounding rock’s self-supporting into full play effectively and reduces the dynamic stress concentration factor of lineing structure.Furthermore， the effect is remarkable when the frequency of the incident waves is low.

Keywords: wave function expansion method;deep buried cavity;dynamic stress concentration;SH waves;series solution;composite-lining

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，城市越來(lái)越擁擠，交通運(yùn)輸也越來(lái)越不堪重負(fù)，進(jìn)一步拓展城市空間，建設(shè)地下結(jié)構(gòu)日益受到重視。多地震國(guó)家大部分地區(qū)為地震設(shè)防區(qū)，當(dāng)前世界地震現(xiàn)象表明，多地震國(guó)家又開(kāi)始了一個(gè)新的地震活動(dòng)期。近年來(lái)地震活動(dòng)較為頻繁，特別是5.12中國(guó)汶川大地震更是讓我們認(rèn)識(shí)到地震的危害。因此，地下結(jié)構(gòu)在爆炸沖擊波和地震波下的動(dòng)力響應(yīng)的研究有著重要的意義。

深埋洞室在彈性波入射下的動(dòng)應(yīng)力集中是地下洞室抗震分析中的一個(gè)基礎(chǔ)性課題。分析的方法包括數(shù)值法和解析法。數(shù)值法包括有限差分法、有限元法和邊界元法等。解析法包括波函數(shù)展開(kāi)法、積分變換法和Green函數(shù)法等。數(shù)值法的特點(diǎn)是適用于任意形狀的洞室，而解析法是從問(wèn)題的物理本質(zhì)角度來(lái)剖析和解決問(wèn)題，因而相比數(shù)值法有物理意義明顯、概念清晰的特點(diǎn)，而且還可以用來(lái)作為數(shù)值法正確與否的判據(jù)。20世紀(jì)70年代初，Pao和Mow[1]就采用波函數(shù)展開(kāi)法開(kāi)創(chuàng)性地研究了無(wú)限空間中洞室在彈性波入射下的動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題。隨后，Lee和Trifunac[2]將解答推廣到半空間，研究了半空間中洞室對(duì)SH波的散射問(wèn)題。Lee和Karl[3-4]和Davis[5]等給出了半空間中無(wú)襯砌洞室對(duì)P波和SV波散射的解析解。劉殿魁等[6-7]采用復(fù)變函數(shù)的方法給出了SH波和P波入射下地下圓形襯砌洞室的動(dòng)應(yīng)力集中的解析解.梁建文等[8-10]給出了地下圓形襯砌洞室在平面P波和SV波入射下動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題的級(jí)數(shù)解解。

本文利用波函數(shù)展開(kāi)法，給出了深埋圓形組合襯砌洞室在平面SH波入射下，圍巖和組合襯砌動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題的級(jí)數(shù)解，擴(kuò)展了無(wú)襯砌洞室的解析解[1]，并討論了入射波頻率、組合襯砌的材料特性和厚度等參數(shù)對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響，得到了有意義的結(jié)論。

1計(jì)算模型

如圖1所示，全空間中一帶圓形組合襯砌(由剛性襯砌和柔性襯砌組成)洞室，柔性襯砌的內(nèi)外半徑分別為 和 ，剛性襯砌的內(nèi)外半徑分別為 和 全空間介質(zhì)、組合襯砌結(jié)構(gòu)均為彈性、均勻、各向同性，它們的性質(zhì)分別由拉梅常數(shù) 、 和 ， 、 和 以及質(zhì)量密度 、 和 確定。相應(yīng)的SH波波數(shù)為 、 和 。

2模型求解

柱坐標(biāo)系下相應(yīng)的波動(dòng)方程為:

(5)

對(duì)式(5)分離變量，用復(fù)數(shù)形式Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)和Bessel函數(shù)積分公式，可將入射的平面SH波表示為:

(6)

其中:

當(dāng)入射SH波遇到彈性材料構(gòu)成的散射體時(shí)，部分入射波產(chǎn)生反射，部分入射波則受柱體表面折射并在柱體里面形成一道駐波，反射波和折射波可表示為:

(7)

(8)

其中 ，為剪切波的波數(shù)， 和 為第一類Bessel函數(shù)和第一類Hankel函數(shù)。

對(duì)圖1所示模型，平面SH波僅有一個(gè)非零位移 ，當(dāng)入射波 遇到交界面 時(shí)將產(chǎn)生反射波 和折射波 ，折射波 進(jìn)入界面 又產(chǎn)生反射波 和折射波 ， 在自由界面 產(chǎn)生反射波 。這樣各層介質(zhì)中的都有兩道波，可表示為:

圍巖介質(zhì)( ， ):

(9)

柔性襯砌( ， ):

(10)

剛性襯砌( ， ):

(11)

其中 為位移幅值， 、 和 為剪切波在圍巖介質(zhì)、剛性襯砌和柔性襯砌中的波數(shù)， 為剪切波的圓頻率， 、 和 剪切波在圍巖、剛性襯砌和柔性襯砌中的傳播速度， 、 、 為待定系數(shù)。

將式(9)~(11)代入式(1)，并利用邊界條件(2)~(4)可得到求解待定系數(shù)的代數(shù)方程組，用矩陣表示如下:

(12)

其中，令 、 、 、 、 、 。由式(12)可求得各待定系數(shù)，將其代入式應(yīng)力的表達(dá)式即可求得應(yīng)力的級(jí)數(shù)表達(dá)式。

3動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)

應(yīng)力集中是指由于幾何不連續(xù)，例如孔洞、空穴、缺口、溝槽、轉(zhuǎn)角、截面突然改變等原因而引起的局部應(yīng)力的增加。一個(gè)不連續(xù)區(qū)域里的最大應(yīng)力與根據(jù)簡(jiǎn)單原理算出的標(biāo)準(zhǔn)局部應(yīng)力的比值稱作應(yīng)力集中因子。它是對(duì)在一個(gè)局部區(qū)域里的應(yīng)力集中的嚴(yán)重程度的度量標(biāo)準(zhǔn)。以SH波入射下圍巖中的最大應(yīng)力為標(biāo)準(zhǔn)局部應(yīng)力，在入射波 作用下:

(13)

最大應(yīng)力為 ，因此我們定義的DSCF為:

(14)

4數(shù)值結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文的正確性，不妨令 、 、 、 、 和 均為1.0，則本模型退化為文獻(xiàn)[1]中SH入射下空穴的動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題。本模型計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[1]完全吻合，從而驗(yàn)證了本文的正確。本模型中各層材料的物理特性參數(shù)詳見(jiàn)表1。

在DSCF的具體計(jì)算中，必須考慮求解的精度問(wèn)題。針對(duì)級(jí)數(shù)的截取可以這樣進(jìn)行，即先取不同項(xiàng)數(shù)計(jì)算，觀察相鄰計(jì)算項(xiàng)之間的誤差，當(dāng)該誤差小于某預(yù)先設(shè)定的精度時(shí)，即可用該項(xiàng)數(shù)作為實(shí)際收斂計(jì)算項(xiàng)數(shù)[8-9]。

表1各層材料的物性參數(shù)

Tab.1Physical properties for the materials of each layer

參數(shù)

結(jié)構(gòu)層彈性模量

(MPa)密度

(Kg/m3)泊松比

圍巖1500026000.2

柔性襯砌70~2008700.1

剛性襯砌3500025000.2

圖2 圍巖的DSCF隨 的變化( )

Fig.2 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for ( )

圖2給出 時(shí)，深埋圓形無(wú)襯砌、組合襯砌和單層剛性襯砌洞室圍巖的DSCF隨無(wú)量綱波數(shù) 的變化情況。圖3給出了在不同波數(shù)情況下，圍巖的DSCF隨角度 的變化圖。從圖2中可知，無(wú)襯砌洞室情況下的DSCF隨無(wú)量綱波數(shù) 的變化與文獻(xiàn)[1]一致;圓形組合襯砌洞室與圓形單層襯砌洞室的DSCF最大值分別比無(wú)襯砌洞室DSCF最大值小8.6%和11.4%，并且DSCF都隨著頻率的增加而下降。對(duì)不同的頻率，無(wú)襯砌、組合襯砌、單層襯砌三種情況圍巖的DSCF在空間上的分布相同，無(wú)襯砌情況最大，組合襯砌情況次之，單層剛性襯砌情況最小，并且當(dāng) 下，角度 對(duì)DSCF的影響幾乎與靜力值一樣，且隨著入射頻率的增大，DSCF的最大值的分布從右側(cè)逐漸變向左側(cè)，空間分布情況也由簡(jiǎn)單逐漸變得復(fù)雜，而DSCF總體上逐漸變小。

圖3 圍巖的DSCF隨 的變化

Fig.3 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for

圖4 圍巖的DSCF隨 的變化( )

Fig.4 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for ( )

圖4~圖7給出了組合襯砌情況下圍巖的DSCF在不同入射頻率下隨組合襯砌的厚度比 、彈性模量 、泊松比 和密度 的變化情況。從圖中可以看出:圍巖的DSCF隨 的增大逐漸增大，并逐漸逼近無(wú)襯砌情況下的值，高頻下變化相對(duì)較大，但最終還是趨于無(wú)襯砌情況下的值;DSCF隨 的增大而減小，但是較小的速度隨 增大而降低，除了在高頻情況下，DSCF隨 、 增大有稍微的增大，低頻情況下幾乎沒(méi)有變化。

圖5 圍巖的DSCF隨 的變化( )

Fig.5 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for ( )

圖6 圍巖的DSCF隨 的變化( )

Fig.6 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for ( )

圖7 圍巖的DSCF隨 的變化( )

Fig.7 Dynamic stress concentration factor of the surrounding rock for ( )

圖8給出了 時(shí)，單層襯砌和組合襯砌圓形襯砌洞室襯砌內(nèi)側(cè)DSCF隨無(wú)量綱波數(shù) 的變化情況，圖9給出了單層襯砌和組合襯砌圓形洞室襯砌內(nèi)側(cè)DSCF在不同波數(shù)情況下隨角度 的變化圖。組合襯砌情況下襯砌內(nèi)側(cè)DSCF的最大值比單層襯砌情況下襯砌內(nèi)側(cè)DSCF的最大值減小了6.1%，并且隨著入射頻率的增大，減小的幅度進(jìn)一步擴(kuò)大，DSCF的分布從右側(cè)逐漸變向左側(cè)，空間分布情況也由簡(jiǎn)單逐漸變得復(fù)雜，而DSCF總體上逐漸變小。

圖8 襯砌的DSCF隨 的變化( )

Fig.8 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for ( )

圖9 襯砌的DSCF隨 的變化

Fig.9 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for

圖10 襯砌的DSCF隨 的變化

Fig.10 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for

圖11 襯砌的DSCF隨 的變化

Fig.11 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for

圖12 襯砌的DSCF隨 的變化

Fig.12 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for

圖13 襯砌的DSCF隨 的變化

Fig.13 Dynamic stress concentration factor of the lining structure for

圖10~圖13給出了在不同入射頻率時(shí)，單層襯砌和組合襯砌情況下襯砌內(nèi)側(cè)的DSCF隨組合襯砌的厚度比 、彈性模量 、泊松比 和密度 的變化對(duì)比圖，這里設(shè)定單層襯砌情況下，襯砌厚度隨 一致增大，而從圖中可以看出:襯砌的DSCF隨 的增大先逐漸減小后增大，可以看出柔性襯砌與剛性襯砌厚度的最優(yōu)比值為: ;DSCF在 較小時(shí)隨它增大而增加的較快，在 較大時(shí)變化不大;DSCF隨 的增大有所減小，而僅在高頻時(shí)，隨 的增大DSCF有稍微的增大。

4數(shù)值結(jié)果分析

利用波函數(shù)展開(kāi)法，對(duì)深埋圓形組合襯砌洞室在SH波入射下的動(dòng)力反應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了研究分析，得出對(duì)研究深埋洞室工程抗震設(shè)計(jì)有指導(dǎo)意義的結(jié)論:

1)在剛性襯砌和圍巖之間加入柔性襯砌能夠有效地發(fā)揮圍巖的自承能力，降低襯砌結(jié)構(gòu)內(nèi)壁的動(dòng)應(yīng)力集中，且組合襯砌對(duì)低頻入射下具有良好的減震作用，柔性襯砌與剛性襯砌尺寸的最優(yōu)比值為: ;

2)襯砌結(jié)構(gòu)DSCF最大值在組合襯砌情況下比單層剛性襯砌情況下降低了6.1%，且隨著入射頻率的增大，DSCF的空間變化由簡(jiǎn)單逐漸變得復(fù)雜，在多數(shù)情況下逐漸減小。

3)柔性襯砌的彈性模量應(yīng)低于圍巖的彈性模量，但不是越低越好，取值為圍巖彈性模量的1/25~1/15較好;

4)柔性襯砌的泊松比和密度對(duì)圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)力集中僅在高頻條件下有較明顯的影響，在低頻下影響不大。

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