一、方程思想

通過適當(dāng)?shù)姆绞?，把?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)求解方程的方法，這稱為方程思想。用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造方程。

例1 是否存在三邊長為連續(xù)整數(shù)的直角三角形，若存在，請求出三邊的長;若不存在，請說明理由。

解析 先假設(shè)存在，再利用勾股定理建立方程，若方程有解，則說明存在并可求出其解;若方程沒有滿足題意的解，則說明了不存在的理由。

設(shè)三邊長為x-1、x、x+1，則由勾股定理，可得(x-1)2+x2=(x+1)2，所以x2=4x，由于x≠0，所以可得x=4，從而有x-1=3，x+1=5，因此存在滿足條件的三邊長為3、4、5。

點(diǎn)評 本題運(yùn)用方程的數(shù)學(xué)思想，使問題得到解決。

二、整體思想

對于數(shù)學(xué)問題，從大處著眼，從整體入手，可使問題由難變易，更能培養(yǎng)思維的靈活性。

例2 我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形(如圖1所示)。如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，那么(a+b)2的值是_______。

解析 由題意可知a2+b2=13，(a-b)2=1。

根據(jù)完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2可得13-2ab=1，所以2ab=12。

所以(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25。

點(diǎn)評 本題若通過已知條件求出兩直角邊的長來求(a+b)2，則很難辦到，這里把兩直角邊長的積、平方和、和的平方、差的平方分別視為整體而得到簡單的解法。

三、轉(zhuǎn)化思想

把新問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題來求解的方法。

例3 如圖2所示，已知△ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC邊上的高。

解析 要求BC邊上的高，過A作AD⊥BC于D，得AD是Rt△ABD、Rt△ADC的直角邊，可先設(shè)出BD的長為x，再由勾股定理利用AD邊過渡列出方程可得到解答。

過A作AD⊥BC于D，設(shè)BD的邊長為x，則CD的長為21-x。

在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-x2。

同理可得AD2=AC2-CD2=172-(21-x)2。

所以102-x2=172-(21-x)2，解得x=6。

所以AD2=102-62=64，即AD=8。

點(diǎn)評 當(dāng)已知的圖形不是直角三角形時(shí)，可以利用轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理求解。

四、分類思想

例4 下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片段，閱讀后，請回答下面的問題。

學(xué)習(xí)勾股定理有關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問題:“已知直角三角形ABC的兩邊長分別為3、4，請求出第三邊長的平方”。

經(jīng)片刻的思考與交流后，李明同學(xué)舉手講:第三邊長的平方為25;王華同學(xué)說:第三邊的長為7;另一些同學(xué)則提出了不同的看法……

如果你也在該課堂中，你的意見如何?為什么?

解析 本例首先要求在閱讀數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片段后，對兩名同學(xué)的說法提出自己的看法。這時(shí)應(yīng)注意題眼:“直角三角形ABC的兩邊長分別為3、4”，并對這個(gè)不確定條件進(jìn)行分析研究。設(shè)第三邊長為x，則當(dāng)x為斜邊時(shí)，由勾股定理得x2=32+42，解得x2=25;當(dāng)x為直角邊時(shí)，由勾股定理得42=32+x2，解得x2=7。所以，第三邊長的平方為25或7。

由此說明李明和王華兩同學(xué)都犯了以偏概全的答題錯(cuò)誤。

點(diǎn)評 解答本題要注意題目條件的不確定性和由不確定性引起的分類，從而利用分類討論的數(shù)學(xué)思想來解決問題。