勾股定理及其逆定理是平面幾何中的重要定理，其應(yīng)用非常廣泛，但在應(yīng)用勾股定理及其逆定理時，同學(xué)們常常會出現(xiàn)種種錯誤，現(xiàn)歸納剖析如下。

一、忽視定理的使用條件

例1 在邊長均為整數(shù)的△ABC中，AB>AC，如果AC=4cm，BC=3cm，求AB的長。

錯解 由“勾3股4弦5”得AB=5cm。

剖析 只有在直角三角形的條件下，才能應(yīng)用勾股定理。而本題并未說明△ABC是直角三角形，因此，要用三角形三邊的關(guān)系求解。

正解 由AB >AC，AB

二、受思維定式的影響

例2 已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長。

錯解 第三邊長為==5。

剖析 同學(xué)們都習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說法，這意味著兩直角邊為3和4時，斜邊長為5。但這一理解的前提是3、4為直角邊。而本題中并未作任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，也可能為直角邊。

正解 (1)當(dāng)兩直角邊為3和4時，第三邊長為==5;

(2)當(dāng)斜邊為4，一直角邊為3時，第三邊長為=。

三、混淆勾股定理及其逆定理的概念

例3 下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是()。

A.1、2、3 B.32，42，52 C.，， D.，，

錯解 選B

剖析 未能區(qū)分勾股定理及其逆定理，對概念的理解流于表面形式。判斷直角三角形時，應(yīng)將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行平方，看是否滿足a2+b2=c2的形式。

正解 因為()2+()2=()2，故答案選C。

四、利用勾股定理解題的格式不當(dāng)

例4 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 cm，BC=4 cm，求AC的長。

錯解 在Rt△ABC中，因為∠C=90°，AB=5 cm，BC=4 cm，所以由勾股定理，得AB2=AC2+BC2，所以AC2=AB2-BC2===3。即AC的長是3 cm。

剖析 AC的長確實是3 cm，不過問題出在求解過程中的格式書寫不當(dāng)，即AC2=AB2-BC2≠。

正解 在Rt△ABC中，因為∠C=90°，AB=5 cm，BC=4 cm，

所以由勾股定理，得AB2=AC2+BC2，所以AC====3。即AC的長是3 cm。

五、出現(xiàn)漏解的情況

例5 已知:在△ABC中，AB=15 cm，AC=13 cm，高AD=12 cm，求S。

錯解 如圖1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，由勾股定理，得BD====9;CD====5。所以BC=BD+ CD=9+5=14。故S=BC#8226;AD=×14×12=84(cm2)。

剖析 由于給定的條件中并沒有給出圖形，所以求解時除了要考慮如圖1的情況外，還要考慮如圖2的情況，即要畫出所有可能的圖形。錯解正是漏掉了如圖2的情形。

正解 分兩種情況:①如圖1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，由勾股定理，得BD====9;CD====5。所以BC=BD+ CD=9+5=14。故S=BC#8226;AD=×14×12=84(cm2);②如圖2，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得BD====9，CD====5。所以BC=BD-CD=9-5=4。故S=BC#8226;AD=×4×12=24(cm2)。

六、邏輯推理錯誤

例6 已知:在△ABC中，三條邊長分別為a、b、c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1(n>1)，求∠C的度數(shù)。

錯解 因為(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2，即n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，所以a2+b2=c2，

所以由勾股定理逆定理可知∠C=90°。

剖析 本題錯在邏輯推理錯誤，一開始列出(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2這個等式，其實就等于默認(rèn)了a2+b2=c2，這是錯誤的。

正解 因為a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1;

而c2=(n2+1)2=n4+2n2+1，所以a2+b2=c2。

所以由勾股定理的逆定理可知∠C=90°。