一、用于計(jì)算線段的長(zhǎng)

例1 在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c。

(1)已知:a=6，c=10，求b;

(2)已知:a=5，b=12，求c;

(3)已知:a:b=3:4，c=15，求a、 b。

解析 在直角三角形中，已知兩邊求第三邊或已知兩邊的關(guān)系和第三邊求兩邊，可直接運(yùn)用直角三角形三邊之間的關(guān)系a2+b2=c2(其中c是斜邊)或變式來(lái)計(jì)算。

(1)∵∠C=90°， a=6， c=10，∴b===8。

(2)∵∠C=90°，a=5， b=12，∴c===13。

(3)設(shè)a=3k，則b=4k，∵∠C=90°，c=15，∴a2+b2=152。

即(3k)2+(4k)2=152。

故k=3，∴a=9， b=12。

點(diǎn)評(píng) 在運(yùn)用勾股定理的表達(dá)式計(jì)算時(shí)，一定要弄清哪一條邊是斜邊，哪兩條邊是直角邊，然后正確運(yùn)用勾股定理及其變式進(jìn)行計(jì)算。

二、用于求面積

例2 如圖1，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，DA=12，CD=13，求四邊形ABCD的面積。

解析 不規(guī)則四邊形沒(méi)有面積公式，故需要將四邊形分割成三角形來(lái)解決，由AB⊥BC，連結(jié)AC，分別求出△ABC和△ACD的面積即可。

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，

∴ AC2=AB2+BC2=32+42=25。

∴ AC=5。

又∵AC2+AD2=52+122=169，而 CD2=132=169。

∴ AC2+AD2=CD2。

∴∠CAD=90°。

則S=S+S=×3×4+×5×12=36。

點(diǎn)評(píng) 若已知一個(gè)不規(guī)則四邊形的四邊長(zhǎng)度求其面積，通常連對(duì)角線把它轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形，就可以計(jì)算它的面積。

三、用于證明線段垂直關(guān)系

例3 如圖2，已知在正方形ABCD中，AF=DF，DE=CD，試判斷BF與EF的位置關(guān)系?并說(shuō)明理由。

解析 觀察圖2，會(huì)給我們BF與EF垂直的直觀印象，由于正方形中存在著較多線段間的聯(lián)系，不妨設(shè)較短線段為某一定值，從而進(jìn)行合理推測(cè)，不難發(fā)現(xiàn)，BF與EF的位置關(guān)系是:BF⊥EF。

理由如下:連結(jié)BE，設(shè)DE=k，則DF=AF=2k，CE=3k，AB=BC=4k。

在Rt△ABF中，BF2=AB2+AF2=(4k)2+(2k)2=20k2。

在Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2=k2+(2k)2=5k2。

在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2=(4k)2+(3k)2=25k2。

∴ BF2+EF2=BE2，則∠BFE=90°。

∴ BF⊥EF。

點(diǎn)評(píng) 利用三邊的數(shù)量關(guān)系判定三角形是直角三角形是證明兩線垂直的一個(gè)新思路。

四、用于圖形的剪拼

例4 如圖3，邊長(zhǎng)為3、4的兩個(gè)正方形放在一起，要求只剪兩刀拼成一個(gè)大正方形，如何畫(huà)出剪切線。

解析 本題以圖形的分割與拼接為背景，考查了勾股定理與全等三角形的知識(shí)，根據(jù)題意，可知拼成后的大正方形邊長(zhǎng)是5。

因拼成后的正方形面積為32+42=25，則它的邊長(zhǎng)為5，所以可在較大的正方形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)H，使AH=3，連結(jié)DH，由勾股定理，得:DH===5。

連結(jié)FH，∵∠FEH=90°，EH=EB+BH=4，∴FH===5。

則可得出:△DAH≌△HEF，∴∠1=∠3?！摺?+∠2=90°，∴∠2+∠3=90°。

故按圖中虛線剪開(kāi)，便可拼成一個(gè)大正方形。

五、用于求空間幾何體中的最值

例5 如圖4，圓柱形無(wú)蓋玻璃容器，高18 cm，底面周長(zhǎng)為60 cm，在外側(cè)距下底1 cm的點(diǎn)C處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開(kāi)口1 cm的F處有一只蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度。

解析 由于蜘蛛與蒼蠅均處于玻璃容器的外側(cè)，因而蜘蛛不能直接到達(dá)點(diǎn)F，需沿側(cè)面爬行，為此，可將圓柱面沿AB展開(kāi)，如圖5，顯然蜘蛛所走的最短的路線即為線段CF，從而可構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求CF的長(zhǎng)。

將曲面沿AB展開(kāi)，如圖5，過(guò)C作CE⊥AB于E。

在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=18-1-1=16(cm)，

CE=×60=30(cm)。

由勾股定理，得CF===34(cm)。

答:蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度是34 cm。

點(diǎn)評(píng) 遇到求最短路線問(wèn)題，往往想到兩點(diǎn)之間線段最短，常將空間圖形的側(cè)面(或表面)展開(kāi)成平面，然后利用勾股定理等進(jìn)行求解。

六、用于解決實(shí)際問(wèn)題

例6 樹(shù)根下有一個(gè)蛇洞，樹(shù)高15 m，樹(shù)頂有一只蒼鷹，它看見(jiàn)一條蛇迅速向洞口爬去，與洞口的距離還有3倍樹(shù)高時(shí)，鷹向蛇撲過(guò)去，如果鷹與蛇的速度相等，鷹撲擊蛇的路線是直線段，請(qǐng)說(shuō)出，鷹應(yīng)向何處撲擊才能恰好抓到蛇?

解析 由題意可知，鷹與蛇的速度相等，欲使鷹捕捉住蛇，鷹和蛇所行的路程須相等。如圖6，假設(shè)鷹在B處捕捉住蛇，則AB=BD，又DC=15 m，AC=45 m，從而可在Rt△BCD中確定BC的長(zhǎng)。

設(shè)蛇自A點(diǎn)向洞口C爬行，鷹從樹(shù)頂點(diǎn)D向蛇撲去，它們相遇于洞口前B處，設(shè)BC為x m，則AB=3×15-x=45-x。

∵鷹與蛇的速度相等，∴BD=AB=45-x。

在Rt△BCD中，由勾股定理得(45-x)2=x2+152。

解之得:x=20。

即鷹應(yīng)向蛇離洞口20 m處撲去，才能恰好抓到蛇。

點(diǎn)評(píng) 解這類(lèi)實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后再用所學(xué)知識(shí)解決它。